Madhava z Sangamagramy

Madhava z Sangamagramy Biografia

Narodziny	1350 Sangamagrama ( w )
Śmierć	1425 Nieznana lokalizacja
Imię w języku ojczystym	സംഗമഗ്രാമ മാധവൻ i संगमग्राम के माधव
Dom	Sangamagrama ( w )
Zajęcia	Matematyk , astronom

Inne informacje

Obszary	Astronomia , matematyka
Religia	hinduizm

Madhava de Sangamagrama (1350-1425) to indyjski matematyk , ojciec analizy matematycznej . Założył Mathematical and Astronomical School of Kerala .

Obliczanie pi

Około 1400, Madhawa z Sangamagramy znalazł serię które noszą jego imię (w) , które odpowiadają w nowoczesnym języku, zmiany w całej serii lub szereg Taylora z funkcji trygonometrycznych sinus , cosinus i tangens .

Arcus tangens rozwój , odnaleziony przez James Gregory i Gottfried Wilhelm Leibniz w XVII -tego wieku, jest seria nazywa Madhawa-Gregory-Leibniz (jeden lub dwa z tych trzech nazw są często pomijane):

{\ Displaystyle \ arctan (x) = x - {\ Frac {x ^ {3}} {3}} + {\ Frac {x ^ {5}} {5}} - {\ Frac {x ^ {7} } {7}} + \ cdots = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} x ^ {2k + 1}} {2k + 1}} \ quad (x \ in \ left [-1,1 \ right]).}

Jego zastosowanie do $x = 1$ , znane również pod nazwą serii (lub formuły) Madhavy-Leibniza , daje wyrażenie liczby $π$ :

{\ Displaystyle \ pi = 4 \ lewo (1 - {\ Frac {1} {3}} + {\ Frac {1} {5}} - {\ Frac {1} {7}} + \ cdots \ prawej) = 4 \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {2k + 1}}}

ale zbieżność tego naprzemiennego szeregu jest zbyt powolna, aby w praktyce obliczyć kilka miejsc po przecinku: potrzeba około 1000 wyrazów, aby uzyskać przedział 2,10 –3 osiągnięty przez Archimedesa .

Stosując ją zamiast tego do $x = 1 / \sqrt 3$ , szereg zbiega się znacznie szybciej :

{\ Displaystyle \ pi = 6 \ cdot {\ Frac {1} {\ sqrt {3}}} \ lewo (1- {1 \ ponad 3 \ cdot 3} + {1 \ ponad 5 \ cdot 3 ^ {2} } - {1 \ over 7 \ cdot 3 ^ {3}} + \ cdots \ right) = {\ sqrt {12}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {(2k + 1) 3 ^ {k}}},}

co pozwoliło Madhavie podać jako przybliżenie $π$ liczbę 3,14159265359, która ma 11 poprawnych miejsc dziesiętnych. Rekord został pobity w 1424 roku przez perskiego matematyka Al-Kashi , któremu udało się podać 16 miejsc po przecinku.

Uwagi i odniesienia

(w) George E. Andrews , Richard Askey i Ranjan Roy, Funkcje specjalne , UPC , 1999, 682 str. ( ISBN 978-0-521-78988-2 , czytaj online ) , str. 58.
(w) RC Gupta, „ W pozostałym okresie w serii Madhavy-Leibniza ” , Ganita Bharati , t. 14, n kość 1-41992, s. 68-71.
Roy, Ranjan, The discovery of the series form for π by Leibniz, Gregory and Nilakantha , Math. Mag., 1990, 63, 291-306.

Link zewnętrzny

(en) John J. O'Connor i Edmund F. Robertson , „Madhava of Sangamagramma” , w archiwum MacTutor History of Mathematics , University of St Andrews ( czytaj online ).