Pafnouti Czebyszewu

Pafnouti Czebyszew w 1865 r. Kluczowe dane

Narodziny	16 maja 1821 r. Borowsk ( Imperium Rosyjskie )
Śmierć	8 grudnia 1894 r Sankt Petersburg ( Imperium Rosyjskie )
Narodowość	Rosyjski
Obszary	Matematyka
Instytucje	Petersburski Uniwersytet Państwowy
Dyplom	Uniwersytet Państwowy w Moskwie
Znany z	Wielomian Czebyszewa
Nagrody	Nagroda Demidoffa (1849)

Pafnouti Lvovich Czebyszewa (w języku rosyjskim : Пафнутий Львович Чебышёв ), urodzony 4 maja 1821 (16 maja 1821 r.w kalendarzu gregoriańskim ), w Okatovo blisko Borowsk , zmarł 26 listopada 1894 roku (8 grudnia 1894 r w kalendarzu gregoriańskim ) w Petersburgu jest rosyjskim matematykiem . Jego imię zostało po raz pierwszy zapisane we francuskim Tchebychef . Jest również w transkrypcji Tschebyschef lub Tschebyscheff (formy niemieckie), Czebyszow lub Czebyszew (formy anglosaskie).

Jest znany ze swojej pracy w dziedzinie prawdopodobieństwa , statystyki i teorii liczb .

Czebyszew należy do rosyjskiej szkoły matematycznej założonej za czasów Katarzyny Wielkiej przez Daniela Bernoullego i Eulera . Wyłonił się z niej także jego współczesny Łobaczewski , wynalazca pierwszej geometrii nieeuklidesowej .

Czebyszew podejmuje obszerny program zainicjowany przez Jacquesa Bernoulliego , Abrahama de Moivre i Siméona Denisa Poissona w celu rygorystycznego stwierdzenia i wykazania twierdzeń granicznych, czyli ustalenia asymptotycznych tendencji zjawisk naturalnych. Ustanawia bardzo ogólne prawo wielkich liczb i podaje nową, genialną metodę dowodową opartą na nierówności stwierdzonej przez Bienaymé i wykazanej przez niego samego.

W teorii liczb Czebyszew uzyskał w latach 1848-1852 wyniki potwierdzające przypuszczenie Gaussa i Legendre'a dotyczące rozrzedzenia liczb pierwszych . Jeśli te wyniki nie pozwoliły mu udowodnić hipotezy (twierdzenia o liczbach pierwszych ), to mimo wszystko pozwoliły mu zbliżyć się do niej znacznie, a ponadto zademonstrować przypuszczenie sformułowane przez Bertranda : „Dla każdej liczby całkowitej n równej 2 istnieje liczba pierwsza od n do 2 n ”.

Zaprojektował również mechanizm zwany „ koniem Czebyszewa ”, który przekształca ruch obrotowy w ruch zbliżony do ruchu liniowego.

Po nim Liapounov i Markov , jego uczniowie, będą kontynuować jego pracę, a ta rosyjska tradycja prowadzi do Kołmogorowa , twórcy współczesnych prawdopodobieństw.

Nierówność Bienaymé-Czebyszewa służy do udowodnienia słabe prawo wielkich liczb .
Nierówności Czebyszewa w teorii liczb (które nie mają nic wspólnego z poprzednią) służą do udowodnienia wspomnianej powyżej hipotezy Bertranda (zwanej również twierdzeniem Czebyszewa).
Na jego cześć nazwano wielomiany Czebyszewa .
W elektronice analogowej istnieje rodzina filtrów zwana „ filtrami Czebyszewa ”.

Biografia

Pafnouti Lvovich Chebyshev urodził się dnia 16 maja 1821 r.w Okatowie, małym miasteczku w zachodniej Rosji , na zachód od Moskwy , z zamożną rodziną. Jego ojciec był wówczas emerytowanym oficerem w armii cesarza Rosji i walczył z najeźdźcami napoleońskimi. Czebyszew miał ośmioro rodzeństwa, a jego bracia kontynuowali edukację wojskową ojca. On z powodów medycznych nie będzie mógł zrobić tego samego; w rzeczywistości ma jedną nogę krótszą od drugiej, co utrudnia mu dostęp do broni. Spędzając czas inaczej niż inne dzieci w jego wieku, bardzo wcześnie skoncentrował się na większej aktywności naukowej, a jego zdolności intelektualne zostały szybko dostrzeżone. Jego matka i kuzyn będą początkowo zajmować się jego edukacją szkolną, matka uczy go pisania i czytania, podczas gdy kuzyn uczy go francuskiego i arytmetyki . Później francuski będzie dla niego środkiem przekazywania swoich prac matematycznych innym naukowcom w Europie podczas międzynarodowych konferencji.

W 1832 roku , kiedy Czebyszew miał 11 lat, rodzina przeniosła się do Moskwy. Miał tam nauczyciela matematyki Pogorelskiego, uważanego wówczas za najlepszego. Był więc doskonale przygotowany do studiowania nauk matematycznych iw 1837 wstąpił na prestiżowy Uniwersytet Moskiewski . Tam Czebyszew był pod wpływem Nikołaja Dmetriewicza Brashmana, ówczesnego profesora matematyki stosowanej od 1834 roku , i był zafascynowany jego pracą w inżynierii mechanicznej i hydraulicznej. Brashman uczył swoich studentów teorii całkowania i funkcji algebraicznych oraz obliczeń prawdopodobieństwa . W 1841 Czebyszew uzyskał pierwszy stopień studiów uniwersyteckich i kontynuował na tym samym uniwersytecie, aby uzyskać stopień magistra , nadal pod kierunkiem Brashmana. Jego pierwsza publikacja, napisana w języku francuskim, dotyczyła całek wielokrotnych . Wysłał go do Liouville w 1842 roku i ukazał się w Journal of Pure and Applied Mathematics w 1843 roku . Kontynuował poszukiwanie międzynarodowego uznania wysyłając do „ Journal de Crelle ” ( Journal für die Reine und angewandte Mathematik ) swoją drugą publikację w 1844 r. , wciąż napisaną po francusku, tym razem na temat zbieżności serii Taylora . Latem 1846 obronił pracę magisterską. W tym samym roku Journal für die reine und angewandte Mathematik opublikował nową publikację Czebyszewa na temat tej tezy, w której realizował on program Bernoulliego i Poissona polegający na nadaniu teoretycznego szkieletu twierdzeniom granicznych prawdopodobieństw poprzez opracowanie rygorystycznych wyników, ale elementarnych . W 1847 został zaproszony do wygłoszenia pracy magisterskiej w Petersburgu: całkowanie za pomocą logarytmów. Zatrudniony w tym samym roku przez Bouniakovski aby edytować pracy Eulera w liczbie teorii , opublikował książkę zatytułowaną teoria sravneny , który ukazał się w 1849 roku i która służyła do wspierania doktorat w tym samym roku. Teza ta została jednak opublikowana dopiero po jego śmierci, zadowolił się opublikowaniem kilku z tych wyników w 1853 roku .

Czebyszew został awansowany na profesora nadzwyczajnego w Petersburgu w 1850 roku . Dwa lata później odbył podróże do Francji , Anglii i Niemiec . Rozmawiał tam z wielkimi matematykami, w tym z francuskim Bienaymé . Spotkania te były punktem zwrotnym w jego życiu, który skłonił go do podjęcia badań nad teoriami mechanizmów i teoriami przybliżeń, z których czerpał wielkie prawa, które dziś noszą jego imię. Możemy przytoczyć, na przykład, wielomiany Czebyszewa , że Czebyszewa filtry lub nierówność Bienaymé-Czebyszewa , który zostanie wystawiony w następnym rozdziale. Nawiązał kontakty z zachodnimi uczonymi i regularnie powracał do Francji od 1873 do 1893, gdzie zorganizował pół tuzina konferencji w głównych miastach kraju. W 1893 roku na Wystawie Światowej w Chicago wystawił siedem swoich wynalazków, w tym specjalny damski rower. Odszedł z profesury na uniwersytecie w Petersburgu w 1892 roku . Można zauważyć, że w swojej karierze otrzymał wiele odznaczeń honorowych od miasta, w którym nauczał: od najmłodszych lat był młodszym akademikiem Akademii Nauk w Petersburgu ( 1853 ), następnie akademikiem nadzwyczajnym ( 1856 ). i wreszcie akademik ( 1859 ). W 1893 został wybrany honorowym członkiem Petersburskiego Towarzystwa Matematycznego . Był także świetnym korespondentem w Rosji z kilkoma zachodnioeuropejskimi akademiami: Liege ( 1856 ), Berlinem ( 1871 ), Bolonią ( 1873 ), Paryżem ( 1874 ), Londynem ( 1877 ), Włochami ( 1880 ) i Sztokholmem ( 1893 ); otrzymał Legię Honorową w nagrodę za swoją pracę we współpracy z wielkimi francuskimi matematykami swoich czasów. Śmierć zwyciężyła8 grudnia 1894 r w Moskwie.

Z życia osobistego wiemy, że nigdy się nie ożenił i zawsze mieszkał sam w dużym, bogato zdobionym domu. Miał córkę, ale nigdy jej oficjalnie nie rozpoznał. Wychowała ją siostra Czebyszewa i Czebyszew pomagał jej finansowo nawet po ślubie z pułkownikiem.

Jego badania, jego praca, jego praca

W swojej pracy Czebyszew koncentrował się zarówno na matematyce podstawowej, jak i stosowanej. W ten sposób wynalazł kilka maszyn liczących. Studiował również teorię liczb, demonstrując postulat Bertranda lub wyniki funkcji wskaźnika Eulera . Wiele jego prac dotyczyło prawdopodobieństw i dlatego jest znany z wielomianów, które noszą jego imię. Przedstawił je w artykule o mechanice, który zawierał wszystkie jego odkrycia pod koniec życia. Wiele jego artykułów zostanie napisanych po francusku i opublikowanych w czasopiśmie Crelle. Pod koniec swojej kariery Czebyszew chciał być matematykiem międzynarodowym, a nie rosyjskim.

Od początku studiów Czebyszew wykazywał wrodzony zmysł badawczy i jako profesor-badacz będzie prowadził swoje życie. Jego prace dotyczyły głównie prawdopodobieństw i przybliżeń, i doprowadziły do wielomianów, które noszą jego imię. Doprowadzi go to między innymi do badania wielomianów ortogonalnych . W 1852 przedstawił postulat Bertranda . Następnie wraz ze swoim przyjacielem Bienaymé opracował nowoczesną teorię prawdopodobieństw

Praca w rachunku prawdopodobieństwa

W odniesieniu do swojej pracy nad prawdopodobieństwem Czebyszew położył podwaliny pod zastosowanie teorii prawdopodobieństwa do statystyki , uogólniając twierdzenia Moivre'a i Laplace'a w swoim artykule „O dwóch twierdzeniach dotyczących prawdopodobieństwa”. Uogólni również w teorii całek funkcji beta i zbada całki postaci . Doprowadzi go to do znalezienia algorytmu znajdowania optymalnego rozwiązania w układzie równań liniowych, dla którego znamy przybliżone rozwiązanie. $\ int {x ^ {p} (1-x) ^ {q} dx}$

Wielomiany Czebyszewa

Definicja

W wielomiany Czebyszewa są zdefiniowane jako wielomian interpolacji klasyfikowane ogólnie . Wykorzystywane są w wielomianowych przybliżeniach funkcji cyfrowych. Są one ustawione na interwał przez . $T_ {n}$ $[-1; 1]$ $T_ {n} (\ cos x) = \ cos nx ~$

Tak więc, mając przynależność do naturalnych liczb całkowitych, nazywamy wielomian stopnia Czebyszewa mapą określoną wzorem: $nie$ $nie$

${\ displaystyle T_ {n}: [- 1; 1] \ rightarrow [-1; 1], \ qquad T_ {n} (x) = \ cos (n \, \ arccos (x))}$

Relacja rekurencyjna między wielomianami Czebyszewa

Oświadczenie: mamy a , a dla wszystkich należących do $T_ {0} (x) = 1 ~$ $T_ {1} (x) = x ~$ $nie$ $\ mathbb {N}: \ quad T _ {{n + 2}} (x) = 2x \, T _ {{n + 1}} (x) -T_ {n} (x)$

Zainteresowanie

Interpolacji Lagrange'a powoduje problem zbieżności (ze względu na zjawisko Runge ). Czebyszew zauważył, że używając pierwiastków tych wielomianów jako punktów interpolacji, możemy zmniejszyć margines błędu spowodowanego przez interpolację; co więcej, w tym celu studiował te wielomiany. Z drugiej strony zobaczymy później, że wielomiany Czebyszewa są używane w elektryczności analogowej w kontekście filtrów . Są one również używane do udowodnienia twierdzenia o aproksymacji Weierstrassa, którego twierdzenie jest następujące: Każda funkcja ciągła w przedziale jest jednorodną granicą ciągu wielomianów.

Hipoteza Gaussa-Legendre

Od 1848 roku , uzyskuje się wyniki na domysłach Gaussa-Legendre'a ( 1792 - 1797 ). Niech będzie liczba liczb pierwszych mniejsza niż . Gaussa i Legendre'a przypuszczać, że funkcja jest asymptotycznie równoważne do gdy dąży do nieskończoności. Czebyszew wzmocnił wiarygodność tego przypuszczenia, udowadniając z jednej strony, że funkcja jest asymptotycznie rzędu , a z drugiej strony, że jeśli ogólny ciąg terminów jest zbieżny, to jego granica wynosi 1. Jeśli chodzi o pierwszy wynik, jaki pokazuje, a dokładniej: na wszystko, co mamy wystarczająco duże ${\ styl wyświetlania \ pi (n)}$ $nie$ ${\ styl wyświetlania \ pi (n)}$ ${\ displaystyle {\ frac {n} {\ ln n}}}$ $nie$ ${\ styl wyświetlania \ pi (n)}$ ${\ displaystyle {\ frac {n} {\ ln n}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi (n) \ ln n} {n}}}$ $x$

{\ displaystyle a <{\ frac {\ pi (x) \ ln x} {x}} <{\ frac {6} {5}} a,}

gdzie stała wynosi 0,92129... Te ostatnie nierówności nazywamy nierównościami Czebyszewa (w teorii liczb; nie mylić z innymi nierównościami wykazanymi przez Czebyszewa). $w$

Riemann próbował również udowodnić hipotezę Legendre-Gauss, ale bez powodzenia. Przestudiował zera funkcji zeta, postawiając hipotezę (hipoteza Riemanna ), że wszystkie mają część rzeczywistą równą 1/2. To założenie jest 8 th Hilbert problemem i nadal nie wykazały.

Postulat Bertranda (zwany także twierdzeniem Czebyszewa)

Stany Dla każdej liczby całkowitej istnieje co najmniej jedna liczba pierwsza między liczbami całkowitymi a .

n> 1

nie

2n

Dzięki nierównościom dla z powyższego paragrafu, z domniemanymi stałymi wystarczająco bliskimi 1 (0,92129 ... i 1,10555 ...), Czebyszewowi udaje się udowodnić, że dla wszystkiego , co potwierdza i potwierdza hipotezę postawioną przez Bertranda. $\ pi (x)$ ${\ styl wyświetlania \ pi (2n-3) - \ pi (n)> 0}$ ${\ styl wyświetlania n> 3}$

Historia Przypuszczenie to zostało sformułowane i zaakceptowane przez Josepha Bertranda w 1845 roku, a następnie udowodnione przez Czebyszewa w 1850 roku . Edmund Landau zauważa, że możemy w zasadzie użyć metody Czebyszewa do wykazania, że dla dowolnej liczby całkowitej istnieje liczba pierwsza między a , pod warunkiem, że . Innymi metodami inni matematycy wykazali wyniki tego typu dla wartości mniejszych. Na przykład Robert Breusch (en) , w 1932 , pokazuje, że dla każdej liczby całkowitej istnieje liczba pierwsza między a .

{\ displaystyle n> n_ {0} (\ epsilon)}

nie

{\ styl wyświetlania (1+ \ epsilon) n}

{\ displaystyle \ epsilon> {\ frac {171} {175}} \ cdot {\ frac {1} {5}}}

\ epsilon

{\ styl wyświetlania n> 47}

nie

{\ styl wyświetlania 9n / 8}

Nierówność Bienayme-Czebyszewa

Czebyszew dużo pracował w ramach prawdopodobieństw , jest też uważany za tego, który zapoczątkował współczesną teorię prawdopodobieństwa . W 1867 r. opublikował artykuł „Wartości średnie”, w którym przedstawił i zademonstrował nierówność Bienaymé-Czebyczowa , aby podać ogólne prawo wielkich liczb.

Stany :

lub prawdziwy zmienną losową z oczekiwaniem i wariancji . Więc ...

X

E (X) = m

V (X) = \ sigma ^ {2}

P (| Xm |> \ lambda \ sigma) \ leqslant 1 / \ lambda ^ {2}

Twierdzenia graniczne

Jacques Bernoulli , Abraham de Moivre i Siméon Denis Poisson pracowali już nad twierdzeniami granicznymi. Czebyszew wznowił pracę i wykazał asymptotyczne tendencje zjawisk naturalnych. Ustanowił bardzo ogólne prawo wielkich liczb i dał nową metodę dowodową opartą na nierówności stwierdzonej przez Bienaymé i przez niego wykazanej.

Filtry Czebyszewa

W elektronice analogowej istnieje rodzina filtrów zwana filtrami Czebyszewa . Nazywa się je tak ze względu na ich matematyczne cechy, które wywodzą się z wielomianów Czebyszewa .

Filtry Czebyszewa to rodzaj filtra charakteryzujący się akceptacją tętnienia, zarówno w paśmie przepuszczania, jak i w paśmie tłumionym. W przypadku pasma przepustowego mówimy o filtrach Czebyszewa bezpośrednich lub typu 1; w przypadku pasma tłumionego mówimy o filtrach odwróconych Czebyszewa lub typu 2. Filtry, które wykazują tętnienie zarówno w paśmie przepuszczania, jak i tłumieniu, nazywane są filtrami eliptycznymi .

Filtr typu 1 (bezpośredni)

Filtr Czebyszewa typu 1 ma wiele tętnień pasma przepustowego, ale w stałym porządku zapewnia lepszą selektywność niż filtr Butterwortha . Maksymalna wartość tętnień pasma przepustowego jest parametrem projektowym filtra. Im wyższa jest ta wartość (w stałym porządku), tym filtr jest bardziej selektywny (tj. jego nachylenie jest bardziej strome poza pasmem przepuszczania). W pobliżu częstotliwości odcięcia The przesunięcie fazowe jest bardziej zakłócone niż w filtrze Butterworth , co może być szkodliwe, zwłaszcza dla transmisji danych (zakłócenia fazy). W przypadkach, w których tętnienie i przesunięcie fazowe nie stanowią problemu, ten typ filtra jest dość powszechny.

Filtr typu 2 (odwrócony)

Filtr Czebyszewa typu 2 jest podwójnym filtrem Czebyszewa typu 1. Wykazuje monotoniczną ewolucję pasma przepustowego i falistości w paśmie tłumionym. Krzywa odpowiedzi oscyluje pomiędzy serią maksimów o wartości określonej przez producenta filtra i serią punktów, w których tłumienie jest całkowite: są to bieguny. Ze względu na obecność biegunów na skończonych częstotliwościach filtr Czebyszewa typu 2 ma podstawową konfigurację, która z punktu widzenia realizacji analogowej wykorzystuje proste elementy z szeregowymi lub równoległymi obwodami LC. Nadal w analogii, potrzeba dostrojenia obwodów LC prowadzi do komplikacji projektowych. Z drugiej strony, w przypadku technologii cyfrowej nie ma większych trudności projektowych niż w przypadku typu 1, od którego jest on wówczas często preferowany (ze względu na lepszą charakterystykę przepustowości).

Kontynuacja jego pracy przez jego uczniów

Przed śmiercią Czebyszew zapewnił swoim studentom na uniwersytecie w Petersburgu bezcenną edukację. Jego uczniowie, Markow i Lapunow , zastąpili go i pogłębili jego pracę, zapoczątkowując w ten sposób rosyjską tradycję wokół prawdopodobieństwa, która doprowadzi do pracy Kołmogorowa , prawdziwego ojca współczesnego prawdopodobieństwa. Z drugiej strony Lapunow ustanawia teorię stabilności i ruchu układów mechanicznych określonych przez skończoną liczbę parametrów. Przed nim problemy stabilności rozwiązywano przez linearyzację równań różniczkowych i zaniedbywanie czegokolwiek wyższego. Znaczącym postępem Lapunowa jest rozwinięcie ogólnej metody rozwiązywania problemów stabilności. Markov ze swojej strony studiował teorię prawdopodobieństwa, wnosząc wiele do tej gałęzi matematyki i opracował słynne łańcuchy Markowa , ustalił proste rozwiązanie, aby określić górną granicę pochodnej wielomianu , znając granicę wyższą tego wielomianu. Inne dzieła Czebyszewa zostały podjęte na całym Zachodzie, zwłaszcza dzięki licznym kontaktom, które nawiązał podczas swoich podróży.

Uwagi i referencje

PL Czebychef, Works , 2 tomy, St. Petersburg. 1899 i 1907. Wydane przez A. Markoffa i N. Sonina. Przedruk Nowy Jork, Chelsea 1962. Online: obj. 1 i obj. 2 .
(w) John J. O'Connor i Edmund F. Robertson , „Pafnuty Lvovich Chebyshev” w archiwum MacTutor History of Mathematics , University of St Andrews ( czytaj online ).
Christian Houzel i Jean-Pierre Bourguignon , „ Rosyjskie szkoły matematyki i fizyki teoretycznej ” ( Archiwum • Wikiwix • Archive.is • Google • Co robić? ) , Francja Culture.com Continent sciences – Stéphane Deligeorges (konsultacja: 23 października 2010 r. ) .
(w) Athanasius Papadopoulos, „ Euler i Czebyszew: od kuli do płaskiego i do tyłu ” na HAL ,2016( arXiv 1608.02724 ) ,s. 4. Opublikowano w: Proceedings in Cybernetics, 2 (2016) s. 55--69.
Acta Mathematica , tom. 14, 1890-91, s. 305-315 .
Jeśli Gauss poprawnie przedstawił tę hipotezę w 1792 r. odręcznie w tabeli logarytmów , została ona jednak opublikowana dopiero po jego śmierci (1855) w jego kompletnych pracach, których Czebyszew nie mógł zatem poznać w 1848 r. Z drugiej strony Legendre opublikował tę hipotezę w słabszej formie w 1797-8 (IV rok) w swojej teorii liczb , a następnie w jego ostatecznej formie w 2 nd edycji 1808.
(od) E. Landau, Handbuch der Lehre von der Verteiligung der Primzahlen ,1909( przeczytaj online ).
Journal of Mathematics Czystej i Stosowanej , 2 nd serii vo. 12, 1867, s. 177-184 .

Zobacz również

Powiązane artykuły

Linki zewnętrzne

Ewidencja organów :
Zasoby badawcze :
- (pl) Projekt Genealogia Matematyki
Uwagi w ogólnych słownikach lub encyklopediach : Brockhaus Enzyklopädie • Deutsche Biography • Enciclopedia italiana • Encyclopædia Britannica • Encyclopædia Universalis • Encyclopædia Treccani • Gran Enciclopèdia Catalana • Swedish Nationalencyklopedin • Proleksis enciklopedija • Store nors
(ru) " Mechanizmy Czebyszewa "
Wielomiany Czebyszewa na Math-Linuksie .
Aleksandr Vasil'evich Vasil'ev , PL Tchébychef i jego praca naukowa ,1898( przeczytaj online )