Odchylenie Czebyszewa

W matematyce , a dokładniej w teorii liczb , stronniczość Czebyszewa polega na stwierdzeniu, że w większości przypadków jest więcej liczb pierwszych postaci 4 k  + 3 niż postaci 4 k  + 1. Zjawisko to po raz pierwszy zauważył Pafnouti Czebyszew w 1853 r., ale nie ma jeszcze rygorystycznej demonstracji.

Dokładny opis

Niech π ( x ; 4, 1) (odpowiednio π ( x ; 4, 3)) będzie liczbą liczb pierwszych postaci 4 k  + 1 (odpowiednio 4 k  + 3) mniejszą od x . Z ilościowej wersji twierdzenia o postępie arytmetycznym mamy

to znaczy asymptotyczna gęstość liczb pierwszych postaci 4 k  + 1 w zbiorze wszystkich liczb pierwszych wynosi 1/2. Moglibyśmy pomyśleć, że zbiór x, dla którego π ( x ; 4, 1) > π ( x ; 4, 3) również ma asymptotyczną gęstość 1/2, ale w rzeczywistości przypadek π ( x ; 4, 3 ) ≥ π ( x ; 4, 1) jest znacznie częściej; Na przykład w zestawie głównego X <26833, The (duże) nierówność jest zawsze prawdziwe, i tylko równe dla x = 5, 17, 41 i 461 (kontynuacja A007351 w OEIS ); 26 861 to najmniejsza liczba pierwsza x, dla której π ( x ; 4, 1) > π ( x ; 4, 3) - co zaobserwował John Leech w 1957 r. - a następna to 616 841.

Uogólnienia

Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli 0 <  a , b  <  q są liczbami pierwszymi z q , jeśli a jest modulo p kwadratem i jeśli b nie jest modulo p kwadratem , mamy π ( x ;  q ,  b )> π ( x ;  q ) ,  a ) częściej niż przeciwna nierówność (innymi słowy, te x mają asymptotyczną gęstość > 1/2); wynik ten został wykazany jedynie przez przyjęcie uogólnionej hipotezy Riemanna . Knapowski i Turán przypuszczali, że gęstość  x, dla której π ( x ; 4, 3) > π ( x ; 4, 1) wynosi 1, ale (nadal przy uogólnionej hipotezie Riemanna) można wykazać, że ten zbiór ma gęstość logarytmiczną w przybliżeniu równą 0,9959.


Wynik wynosi, dla k = -4, aby określić najmniejszą liczbę pierwszą p taką, że (gdzie jest symbolem Kroneckera ); dla danej liczby całkowitej k (niezerowej) możemy zadać sobie pytanie, jakie jest najmniejsze p spełniające ten warunek

Ciąg tych p dla k = 1, 2, 3, ... to

2, 11100143, 61981, 3, 2082927221, 5, 2, 11100143, 2, 3, 577, 61463, 2083, 11, 2, 3, 2, 11100121, 5, 2082927199, 1217, 3, 2, 5, 2, 17, 61981, 3, 719, 7, 2, 11100143, 2, 3, 23, 5, 11, 31, 2, 3, 2, 13, 17, 7, 2082927199, 3, 2, 61463, 2, 11100121, 7, 3, 17, 5, 2, 11, 2, 3, 31, 7, 5, 41, 2, 3 ... (kontynuacja A003658 z OEIS )

Dla liczb całkowitych ujemnych k = −1, −2, −3, ... ciąg p jest

2, 3, 60898113029, 26861, 7, 5, 2, 3, 2, 11, 5, 608981813017, 19, 3, 2, 26861, 2, 643, 11, 3, 11, 31, 2, 5, 2, 3, 608981813029, 48731, 5, 13, 2, 3, 2, 7, 11, 5, 199, 3, 2, 11, 2, 29, 53, 3, 109, 41, 2, 60898113017, 2, 3, 13, 17, 23, 5, 2, 3, 2, 1019, 5, 263, 11, 3, 2, 26861, ... (kontynuacja A003657 z OEIS )

We wszystkich przypadkach, jeśli | k | nie jest kwadratem, są bardziej p jako że od p takie, że jeśli uogólniona hipoteza Riemanna jest prawdziwa .

Uwagi i referencje

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z anglojęzycznego artykułu z Wikipedii zatytułowanego "  Skrzywienie Czebyszewa  " ( patrz lista autorów ) .
  1. PL Czebyszew: „List profesora Czebyszewa do M. Fussa w sprawie nowego twierdzenia dotyczącego liczb pierwszych zawartych w formach 4 n  + 1 i 4 n  + 3”, Bull. Klasa fizyki. Acad. Chochlik. Nauka. Petersburg , tom. 11, 1853, s.  208 .
  2. (w) Michael Rubinstein i Peter Sarnak , „  Skrzyżowanie Czebyszewa  ” , Eksper. Matematyka. , tom.  3 n o  3,1994, s.  173-197 ( DOI  10.1080/10586458.1994.10504289 , przeczytaj online ).
  3. (w) Andrew Granville i Greg Martin, „  Wyścigi liczb pierwszych  ” , American Mathematical Monthly , tom.  113 n o  1,2006, s.  1-33 ( JSTOR  27641834 , czytaj online ).
  4. (w) S. Knapowski i P. Turán, "Porównawcza teoria liczb pierwszych, I" Acta Math. Acad. Nauka. Zawieszony. , lot. 13, 1962, s.  299-314 .

Zobacz również

Bibliografia

(en) J. Kaczorowski, „O rozkładzie liczb pierwszych (mod 4)”, Analiza , t. 15, 1995, s.  159-171

Linki zewnętrzne