Topologii jest gałąź matematyki badająca geometryczne właściwości obiektu zakonserwowane ciągłego odkształcenia, bez rozrywania czy klejenie, jako elastyczny, który można rozciągnąć bez pękania. Na przykład identyfikujemy okrąg i elipsę , koronę i ścianę boczną cylindra obrotowego , kielich i torus (patrz animacja); to znaczy, że są odpowiednio homeomorficzne .
W topologii badamy przestrzenie topologiczne : są to zbiory wyposażone w pojęcie sąsiedztwa wokół każdego punktu. Te aplikacje ciągłe między tymi spacjami zachować to pojęcie. Definicja sąsiedztwa jest czasami wywoływana przez odległość między punktami, co daje metryczną strukturę przestrzeni . Dzieje się tak w szczególności w przypadku linii rzeczywistej , płaszczyzny , przestrzeni trójwymiarowej lub bardziej ogólnie przestrzeni euklidesowej i ich podzbiorów, takich jak okrąg , kula , torus i inne rozmaitości riemannowskie .
W przestrzeni topologicznej lokalne pojęcie sąsiedztwa można zastąpić globalnym pojęciem otwartości , które jest sąsiedztwem każdego z jego punktów. Zbiór otworów jest również nazywany „topologią”. Ta topologia może być kompatybilna ze strukturą algebraiczną , stąd definicja grupy topologicznej i topologicznej przestrzeni wektorowej , w szczególności w analizie funkcjonalnej .
Topologia ogólna definiuje pojęcia i zwykłe konstrukcje przestrzeni topologicznych. W topologii algebraicznej Associates każdym topologicznej przestrzeni niezmiennego algebraicznych, takich jak numery , w grupach , w modułach lub pierścienie , które je odróżniają, zwłaszcza w kontekście teorii węzłów . Topologia różnica ogranicza się do badania odmian różniczkowych , w której każdy punkt ma homeomorficzną sąsiedztwa do piłki skończonego wymiaru.
Słowo „topologia” (po grecku ἡ τοπολογία ) pochodzi od skojarzenia dwóch greckich nazw ὁ τόπος ( ho topos , rodzaj męski) i ἡ λογία ( he logia , rodzaj żeński), co oznacza odpowiednio „miejsce” i „studium”. Dosłownie topologia oznacza „badanie miejsca” lub „badanie tematyczne”. Interesuje ją zatem zdefiniowanie, czym jest miejsce (zwane też „ przestrzenią ”) i jakie mogą mieć właściwości. Dawną nazwą było analysis situs , czyli „studium miejsca”.
Termin „topologia” został wprowadzony w języku niemieckim w 1847 r. Przez Johanna Benedicta Listinga w Vorstudien zur Topologie .
Topologia opiera się na pojęciach granicy i ciągłości , zastosowanych w pierwszej kolejności do rzeczywistych ciągów i funkcji zmiennej rzeczywistej . Te koncepcje analizy są wykorzystywane z XVIII, XX wieku zwłaszcza Euler i Lagrange , ale będzie określona w XIX p wieku : Cauchy- określa zbieżność sekwencji lub cyklu , Abel ujawnia zbieżność i Bolzano wyjaśnia ciągłość okazać twierdzenie wartości pośrednich .
W tym samym czasie Riemann wprowadził odmiany , które nosiłyby jego imię i które stały się odrębnymi przestrzeniami badawczymi w ramach topologii różniczkowej . Wspólne traktowanie tych przestrzeni i rzeczywista analiza będzie pochodzić z definicji dzielnic Hilberta .
Około 1860 roku Weierstrass zdefiniował pojęcie punktu akumulacji , którego istnienie wykazał w dowolnym nieskończonym i ograniczonym zbiorze liczb rzeczywistych.
Henri Poincaré opublikował Analysis Situs w 1895 roku, wprowadzając pojęcia homotopii i homologii . Te niezmienniki łączą liczbę przeplatających się i charakterystykę Eulera (zdefiniowaną ponad sto lat wcześniej) w tym, co stanie się topologią algebraiczną .
Dopiero w 1906 roku, dzięki badaniu coraz bardziej abstrakcyjnych zbiorów , pojawiła się koncepcja przestrzeni metrycznej , wprowadzona przez Frécheta , który ujednolicił prace nad przestrzeniami funkcyjnymi Cantora , Volterry , Arzelà , Hadamarda , Ascoli i innych.
W 1914 roku Felix Hausdorff uogólnił pojęcie przestrzeni metrycznej; ukuł termin „przestrzeń topologiczna” i zdefiniował to, co dziś nazywane jest oddzielną przestrzenią lub przestrzenią Hausdorffa.
Wreszcie kolejne niewielkie uogólnienie w 1922 r. Autorstwa Kuratowskiego dało aktualną koncepcję przestrzeni topologicznej.
Rozwój znormalizowanych przestrzeni wektorowych (zwłaszcza o nieskończonych wymiarach ) zawdzięczamy przede wszystkim Hilbertowi ; Banach w dużej mierze uzupełnił tę teorię w latach trzydziestych XX wieku.
Pojęcie zwartej całości , zapoczątkowane w 1900 r., Rozwinęło się dzięki pracom Alexandroffa , Urysohna i Tychonova .
Brak dwadzieścia trzy problemy Hilbert nosił na topologii, jeszcze w zarodku na początku XX -go wieku . Hipoteza Poincarégo jest w centrum uwagi z siedmiu Problemów Millennium Prize w 2000 roku będzie to pierwszy w pełni wykazać przez Perelman na początku XXI th century z przypuszczeń geometryzację z Thurston .
Centralnym pojęciem w topologii jest pojęcie granicy . Weźmy na przykład zamkniętą powierzchnię, na przykład dysk. Z ściśle określonego punktu widzenia są punkty, które są na dysku i te, których na nim nie ma. Jednak ten punkt widzenia nie jest zadowalający pod względem geometrycznym. Punkty znajdujące się na okręgu ograniczającym dysk mają określony status, są na granicy . Ponadto w definicji dysku mamy do wyboru: czy rozważamy zbiór punktów, których odległość do środka jest mniejsza lub równa promieniu, czy też rozważamy zbiór punktów, których odległość do środka jest równa ściśle mniej niż promień? W pierwszym przypadku mówimy, że dysk jest zamknięty, w drugim przypadku mówimy, że dysk jest otwarty. Mówiąc bardziej ogólnie, powiemy, że powierzchnia jest zamknięta, gdy zawiera wszystkie swoje punkty graniczne . Powiemy, że powierzchnia jest otwarta, jeśli dla każdego z jej punktów istnieje dysk wyśrodkowany w tym punkcie, który jest zawarty w tej powierzchni.
Ta idea ograniczenia jest bardzo wizualna. Topologia stara się sformalizować to pojęcie. Można to zrobić na kilka sposobów. Najłatwiej jest zdefiniować odległość . W naszym przykładzie po prostu używamy odległości euklidesowej. Punkty graniczne to te, które znajdują się blisko (to znaczy w tak małej odległości, jak sobie tego życzymy) zarówno do punktów na naszej powierzchni, jak i do punktów, których nie ma. Zdefiniowanie odległości na zbiorze nadaje mu metryczną strukturę przestrzeni . Ten pogląd wystarczy do rozwiązania wielu problemów. Jednak użycie odległości obejmuje liczby rzeczywiste i dlatego wprowadza ograniczenie, które trzeba było przezwyciężyć. W tym celu doprowadzono nas do zdefiniowania pojęcia bliskości w bardziej abstrakcyjny sposób, bez odwoływania się do argumentów liczbowych, jest to pojęcie sąsiedztwa . Ze względów technicznych równoważne i prostsze jest definiowanie otwartych bezpośrednio przed sąsiedztwem, więc w ten sposób zwykle definiujemy topologię: decydując, które części są otwarte .
Pojęcie limitu jest nie tylko statyczne, ale także dynamiczne. Topologia umożliwia zrozumienie ograniczeń funkcji lub zestawów. Spójrzmy na sekwencję odwrotności liczb całkowitych zaczynając od 1: 1/1, 1/2, 1/3, 1/4,…, 1 / n ,… Ostatecznie ten ciąg będzie dążył do zera. To łączy więcej lub pomniejszając fakt, że 0 jest punktem granicznym zbioru 1 / n .
Należy zauważyć, że większość pojęć topologii, w szczególności ciągłości, jest konsekwencją pojęcia granicy. Dzieje się tak zwłaszcza w przypadku pojęcia pochodnej, która jest rozumiana jako granica tempa wzrostu, stycznej, która jest granicą strun.
Topologia jest zatem teorią jednoczącą: wyjaśnia wiele zjawisk za pomocą kilku początkowych aksjomatów .