Reprezentacje skończonej grupy

Młoda szkoła matematyczna, szkoła amerykańska, wpływa na powstającą teorię. W tym czasie University of Chicago był liderem w badaniach na nowym kontynencie. RC Archibald pisze: „W latach 1892 - 1908 Uniwersytet Chicago nie miał sobie równych w Stanach Zjednoczonych jako instytucja zajmująca się zaawansowaną matematyką. „ Teoria jest badana z innego punktu widzenia, Leonard Eugene Dickson napisał w 1896 r. Swoją pracę doktorską na Uniwersytecie w Chicago o liniowych grupach dowolnych ciał skończonych, uogólniając wyniki Jordana. Pokazuje, że każde przemienne pole skończone jest rozszerzeniem Galois pola pierwszego. Został opublikowany w Europie w 1901 roku . Heinrich Maschke , uczeń Kleina, dołączył do University of Chicago w 1892  ; udowadnia swoje twierdzenie, które głosi, że każda reprezentacja jest bezpośrednią sumą reprezentacji nieredukowalnych. Zgodnie z duchem szkoły chicagowskiej dowód dotyczy również ciał skończonych (z nieuniknionym warunkiem na zlecenie grupy). Niemiecki matematyk Alfred Loewy  (de) opublikował ten wynik bez dowodu dwa lata wcześniej, w 1896 roku . Wreszcie Joseph Wedderburn dołączył do University of Chicago w latach 1904 - 1905 i pracował z Dicksonem nad strukturami półprostych algebr, których ważnym przykładem są algebry grup skończonych. Jednak dopiero w 1907 roku w Edynburgu opublikował swój być może najsłynniejszy artykuł, klasyfikując wszystkie półproste algebry i kończąc prace Moliena i Frobeniusa. Wkład Chicago można podsumować w dwóch zasadniczych punktach dla teorii reprezentacji: podejście oparte na determinantach grupowych wychodzi z użycia na rzecz pojęcia reprezentacji, upraszczając obliczenia, a teoria jest badana na polach cech. Any.

Inna figura teorii reprezentacji jest niezbędna dla uproszczenia demonstracji i wzbogacenia teorii. Issai Schur jest uczniem Frobeniusa. W 1901 roku obronił pracę magisterską o racjonalnych reprezentacjach grupy skończonej na złożonej przestrzeni wektorowej.

Pracował nad tym tematem w latach 1904–1907 i użył lematu w swoim imieniu . Jeśli do zademonstrowania wystarczy kilka wierszy, znacznie upraszcza to dużą liczbę dowodów, zwłaszcza dotyczących znaków i ich ortogonalności.

Teza Schura wniosła kolejny ważny wkład w tym okresie. Analiza racjonalnego aspektu reprezentacji pozwala na wprowadzenie do teorii narzędzi arytmetyki . To wzbogacenie jest źródłem wielu demonstracji, można na przykład zacytować fakt, że każda nieredukowalna reprezentacja ma stopień, który dzieli porządek grupy (por. „  Algebra grupy skończonej  ”).

William Burnside , po Frobeniusie, jest powszechnie uważany za drugiego twórcę teorii reprezentacji. Jego zainteresowanie skończonymi grupami poprzedza prace Frobeniusa. Jest autorem artykułu z 1895 roku pokazującego, że jakakolwiek skończona grupa posiadająca cykliczną maksymalną 2-grupę nie jest prosta .

Natychmiast rozumie wkład teorii reprezentacji. Niemniej jednak jego podejście różni się od podejścia Frobeniusa czy Schura. Spośród około pięćdziesięciu artykułów opublikowanych na temat teorii grup, większość jego pracy polega na wykorzystaniu wyników teorii do ustalenia podstaw klasyfikacji grup skończonych.

Otwiera domysły, takie jak problem Burnside'a z 1902 r., Dotyczący typu skończonego i skończonych grup wykładników i używa reprezentacji do zbadania tej kwestii . To przypuszczenie, pomimo wielu prac, takich jak praca Efima Zelmanova, który zdobył dla niego medal Fieldsa w 1994 roku , nadal pozostaje zasadniczo otwarta w 2006 roku.

Jego praca w 1905 roku doprowadziła go do studiowania kardynała grupy rozwiązalnej . Jako dowód jednego ze swoich twierdzeń używa jednego z twierdzeń Sylowa i wielu aspektów teorii reprezentacji, takich jak postacie Frobeniusa lub arytmetyka Schura. Ponownie daje wstępną odpowiedź na wielkie pytanie, szeroko badane w XX -tego  wieku. Ostatecznie zdecydował o tym John Thompson, który w 1970 roku otrzymał medal Fieldsa za swój artykuł napisany wspólnie z Walterem Feitem i który pokazuje, że każda grupa o nieparzystej kolejności jest możliwa do rozwiązania .

Burnside pisze podręcznik dotyczący teorii grup. Druga edycja, pochodząca z 1911 roku, jest nadal aktualna.

Wprowadzenie na przykładzie

Symetryczna grupa o indeksie trzecim

Pierwsze pytanie związane z teorii jest poszukiwanie zestawu liniowego aplikacji odwrócenia, która łączy w sobie elementy skończonej grupie G . W tym przykładzie G jest grupą permutacji zbioru trzech elementów oznaczonych S 3 . Skojarzenie φ między elementami grupy a zastosowaniami liniowymi musi być zgodne z prawem grupy. Jeżeli g i h są dwoma elementami grupy, mapa liniowa związana z gh musi być kompozycją map powiązanych z g i h  :

∀sol,godz∈solφ(solgodz)=φ(sol)φ(godz).{\ Displaystyle \ forall g, h \ w G \ quad \ varphi (gh) = \ varphi (g) \ varphi (h).}

Mówimy o morfizmie grup . Najprostszym przykładem jest aplikacja, która z dowolnym elementem wiąże liniową aplikację tożsamości. To skojarzenie jest oczywiście reprezentacją, ale nie budzi zainteresowania, mówimy o przedstawieniu trywialnym . Drugi przypadek wiąże się z elementem S 3 , -1, jeśli permutacja jest transpozycją, a 1 w innym przypadku, reprezentacja ta nosi nazwę podpisu . Przestrzeń wektorowa ma nadal wymiar 1.

Trzeci przypadek ilustruje rysunek po prawej stronie. Przestrzeń wektorowa ma wymiar 2 i jest wyposażona w iloczyn skalarny . Rozważamy trzy wektory i , j i k o normie 1, z których każdy tworzy kąt 2π / 3 z pozostałymi dwoma. Grupa S 3 działa na trzech wektorów tj permutacji g grupy można stosować do zestawu trzech wektorów, które określa się stosowanie zestawu { i , j , k } w sobie. Istnieje unikalny sposób rozszerzenia tych mapowań na liniowe odwzorowania E, a wszystkie jego liniowe odwzorowania są odwracalne. W ten sposób zdefiniowano trzecią reprezentację. W przeciwieństwie do pozostałych dwóch, ta jest wierna , to znaczy, że z dwoma różnymi elementami G łączymy dwie różne mapy liniowe. W pewnym sensie, grupa utworzona przez przekształceń liniowych jest kopia z S 3 , więc mówimy o grupie izomorfizmu .

Zauważamy, że każda z badanych reprezentacji dotyczy tylko izometrii , a nawet zastosowań liniowych, które zachowują odległości i kąty. Teoria wskazuje, że zawsze jest możliwe zapewnienie przestrzeni wektorowej, w której mapy liniowe działają z iloczynem skalarnym, takim jak ma to miejsce.

Czwarta reprezentacja jest ważna, ponieważ zastosowana technika ma zastosowanie do wszystkich skończonych grup i do dowolnego pola. Oznaczymy { a i } dla i od 1 do 6, różne elementy S 3 i uważamy te elementy za podstawę przestrzeni wektorowej o wymiarze 6. Definiujemy φ ( a i ) jako mapę liniową, która na podstawa ( a 1 , ..., a 6 ) wiąże bazę ( a i . a 1 , ..., a i . a 6 ). Obraz bazy przez φ ( a i ) będący podstawą, ta liniowa mapa jest zatem automorfizmem przestrzeni wektorowej. Ta reprezentacja jest regularną reprezentacją grupy. Jest to trochę bardziej złożone, tutaj przestrzeń wektorowa ma wymiar 6, więc potrzebujesz macierzy 6 × 6 , aby ją przedstawić. Warto go rozłożyć na czynniki , to znaczy znaleźć stabilne podprzestrzenie wektorowe na podstawie wszystkich liniowych odwzorowań reprezentacji, których suma bezpośrednia jest równa całej przestrzeni. W każdej z podprzestrzeni reprezentacja jest mniejsza, a zatem prostsza. Gdy polem podstawowym jest ℂ , znajdujemy w rzeczywistości rozkład na cztery podprzestrzenie, dwie o wymiarze 1 i dwie o wymiarze 2. Na tych o wymiarze 1 znajdujemy raz trywialne przedstawienie, a raz sygnaturę. W przypadku wymiaru 2, za każdym razem, przy bliskim izomorfizmie, znajdujemy reprezentację wymiaru 2 już przywołaną w tym paragrafie.

Ten konkretny przypadek jest stosunkowo prosty, został rozwiązany przed pojawieniem się teorii reprezentacji metodą obliczeniową. W powiązanym artykule przedstawiono nowoczesne i nieobliczeniowe demonstracje.

Symetryczna grupa o indeksie czwartym

Pochodzenie reprezentacji pochodzi z teorii Galois . Charakterystycznym przedmiotem tej teorii jest wielomian , który dla uproszczenia został tutaj wybrany ze współczynnikami w liczbach wymiernych, np. P ( X ) = X 4 + X + 1. Oś analizy teorii Galois polega na badaniu najmniejszego pola K zawierającego wszystkie pierwiastki P ( X ), nazywa się to ciałem dekompozycji i można je traktować jako podpole ℂ, zbioru liczb zespolonych. Poznanie budowy tego ciała sprowadza się do poznania jego grupy automorfizmów, zwanej także grupą Galois . Odpowiada zestawowi bijekcji K , które uwzględniają zarówno dodawanie, jak i mnożenie. To wciąż ograniczona grupa.

Te wyniki nie kończą pytania, determinacja grupy Galois jest często trudną kwestią. Jednym ze sposobów zrozumienia tego jest rozważenie K jako przestrzeni wektorowej na polu liczb wymiernych, każdy element grupy pojawia się wtedy jako zbiór macierzy, a ta grupa macierzy jest kopią grupy Galois. Ten kierunek badań natychmiast prowadzi do złożoności obliczeniowej, wymagającej narzędzi teoretycznych, które prowadzą do twierdzeń. Trudność tę ilustruje przykład wielomianu P ( X ). Grupa Galois jest reprezentowana przez 24 macierze 24x24, co daje wiele współczynników do manipulowania dla grupy, która okazuje się być S 4 , grupą permutacji zbioru czteroelementowego.

Dobra technika nadal polega na faktoryzacji, czyli poszukiwaniu rozkładu przestrzeni o wymiarze 24 w bezpośredniej sumie mniejszych podprzestrzeni wektorowych, które są stabilne przy każdej liniowej mapie grupy. Początkowo poszukuje się reprezentacji niepodlegających rozkładowi na czynniki, tj. Które nie zawierają żadnej stabilnej podprzestrzeni wektorowej we wszystkich liniowych mapach grupy, nazywa się je reprezentacjami nieredukowalnymi . Są potencjalnymi czynnikami dekompozycji dużej reprezentacji wymiaru 24, pokazano, że każdy czynnik nieredukowalny jest reprezentowany tyle razy, ile wymiar jego przestrzeni wektorowej w dużej reprezentacji.

Istnieje 5 nieredukowalnych reprezentacji, ostatecznie nie tak trudnych do wyjaśnienia. Dwa pierwsze są trywialne reprezentacja i podpis każdego wymiaru 1. Aby wybrać trzecie, wystarczy zauważyć, że S 4 ma wyróżniającą podgrupy kopię grupy Klein. Iloraz obu grup jest równy S 3 . Istnieje reprezentacja wymiaru 2, która z każdym elementem S 4 wiąże reprezentację swojej klasy, jeśli ten element jest ilorazowy przez grupę Kleina. Ta reprezentacja odpowiada reprezentacji S 3 określonej w poprzednim paragrafie.

Czwarty jest otrzymywany przez rozważenie przestrzeni o wymiarze 4, mającej bazę ortonormalną ( e i ) dla i wahającą się od 1 do 4. Z g , elementem S 4 , kojarzymy mapę, która u podstawy kojarzy tę samą podstawę, ale Ten czas permutowane przez g . Ta aplikacja rozciąga się na izometrię. Nie jest to jeszcze poprawna reprezentacja, ponieważ zawiera kopię trywialnej reprezentacji, ale poszukiwana jest ortogonalna podprzestrzeń wektora trywialnej reprezentacji. Odpowiada grupie obrotów sześcianu, pokazanej po prawej stronie. Ostatni jest po prostu produktem tego przedstawienia i podpisu.

Reprezentacje, znaki i algebra grupowa

Reprezentacje grupowe

Reprezentacją grupy G skończonej celu jest danych ( V , p) o ograniczonej przestrzeni trójwymiarowej wektorem i p morfizmem z G we wszystkich GL ( V ) automorfizmów V . Uzyskujemy następujące właściwości:

∀s,t∈solρ(s)∘ρ(t)=ρ(st)mitρ(1)=jareV{\ displaystyle \ forall s, t \ in G \ quad \ rho (s) \ circ \ rho (t) = \ rho (st) \ quad i \ quad \ rho (1) = Id_ {V}}

Jak pokazują poprzednie przykłady, reprezentacja może wydawać się złożona. Pierwszym celem jest zmniejszenie go poprzez poszukiwanie reprezentacji podrzędnych. Sub reprezentacja jest dane podprzestrzeni wektora V, który jest stabilny przez każdy obraz p. Jeśli taka podprzestrzeń nie istnieje (oprócz zerowej przestrzeni wektorowej i całej przestrzeni V ) mówimy o reprezentacji nieredukowalnej .

Jest to ważny wynik, zwane twierdzenie MASCHKE za stwierdzając, że jeżeli charakterystyka pola ma nie dzielić kolejność grupy G , to przestrzeń V jest bezpośrednim suma od niesprowadzalnych podprzestrzeni. Sytuacja opisana w dwóch przykładach nie jest wyjątkiem.

Sytuacja ta jest na przykład inna niż w przypadku redukcji endomorfizmu . W wymiarze 2 nilpotentny endomorfizm drugiego rzędu ma jądro , które jak każde jądro jest stabilne przez endomorfizm. Nie ma jednak czegoś takiego jak stabilny suplement, ponieważ każdy dodatkowy jest wysyłany przez endomorfizm do jądra.

Istnieje tylko skończona liczba nieredukowalnych reprezentacji dla danej skończonej grupy, z wyjątkiem izomorfizmu. Reprezentacje izomorficzne są ogólnie identyfikowane w teorii. Izomorfizm τ pomiędzy dwoma reprezentacjami ( V , ρ) i ( V „p”) jest Izomorfizm miejsc wektora z V w V " tak, że:

∀s∈solρs′=τ-1∘ρs∘τ{\ displaystyle \ forall s \ in G \ quad \ rho '_ {s} = \ tau ^ {- 1} \ circ \ rho _ {s} \ circ \ tau \;}

Logika zastosowana w przykładach jest logiką teorii. Najpierw określa się reprezentacje nieredukowalne. Prosta metoda pozwala poznać liczbę różnych, nieredukowalnych reprezentacji dla danej grupy. Następnie dla danej reprezentacji analiza pozwala stwierdzić, które reprezentacje nieredukowalne ją zawierają.

Postacie grupowe

Jednym z dwóch filarów teorii są postacie przedstawień. Postać z rysunku ( V , p) jest funkcją, która kojarzy się z elementu y do śledzenia z ρ s . Irreducible charakter jest postać o nieredukowalnej reprezentacji. Jeśli ciało przestrzeni V ma charakterystykę pierwszą z g rzędu grupy i jeśli wielomian X g - 1 jest podzielony w ciele, to znaki mają niezwykłe właściwości.

Są to funkcje centralne, to znaczy są stałe w klasach koniugacji grupy. Ponadto lemat Schura pozwala nam wykazać, że znaki nieredukowalne tworzą ortonormalną podstawę przestrzeni funkcji centralnych.

Te właściwości po prostu pozwalają na faktoryzację przykładu podanego na S 3 . Przestrzeń funkcji centralnych jest trój- wymiarowej , ponieważ istnieją trzy różne klasy odmiany. Jeśli φ i ψ są dwa centralne funkcje C klasy cykli, aby trzy i t klasę transpozycje, a jeśli oznacza sprzężoną kompleksu A The produkt hermitowskie (odpowiednik iloczynem skalarnym złożonych miejsc wektora) jest podane wzorem: w¯{\ displaystyle \ scriptstyle {\ overline {a}}}

<φ|ψ> =16(φ(1)ψ(1)¯+3.φ(t)ψ(t)¯+2.φ(vs).ψ(vs)¯){\ Displaystyle <\ varphi \, | \, \ psi> = {\ Frac {1} {6}} {\ Big (} \ varphi (1) {\ overline {\ psi (1)}} + 3. \ varphi (t) {\ overline {\ psi (t)}} + 2. \ varphi (c). {\ overline {\ psi (c)}} {\ Big)}}

Norma każdego z trzech reprezentacji t , σ i θ jest rzeczywiście równa jeden i są one ortogonalne dwa na dwa, co pokazuje, że stanowią one podstawę reprezentacji i rzeczywiście są trzema nieredukowalnymi reprezentacjami. Wystarczy obliczyć iloczyn hermitowski reprezentacji Galois, aby określić jego faktoryzację.

Rysunek po prawej przedstawia grupę S 3 . Postacie reprezentowane przez pomarańczowe kule to trzy nieredukowalne, niebieska kula reprezentuje postać przedstawienia Galois. Jest to liniowa kombinacja trzech znaków nieredukowalnych ze współczynnikami: jeden dla trywialności, jeden dla podpisu i dwa dla izometrii trójkąta.

Algebra grupowa

Drugi filar składa się z algebry grup, ogólnie oznaczonej przez K [ G ]. Grupa jest linearyzowana, to znaczy jest utożsamiana z podstawą przestrzeni wektorowej K. Rozszerzenie reprezentacji na strukturę tworzy algebrę na polu  :

∀(ws)s∈sol,(bt)t∈sol∈K.sol(∑s∈solws.s)(∑t∈solbt.t)=∑s∈sol∑t∈solwsbt.st{\ displaystyle \ forall (a_ {s}) _ {s \ in G} \ ,, \, (b_ {t}) _ {t \ in G} \ in K ^ {G} \ quad (\ sum _ { s \ in G} a_ {s} .s) (\ sum _ {t \ in G} b_ {t} .t) = \ sum _ {s \ in G} \ sum _ {t \ in G} a_ { s} b_ {t} .st}

Struktura jest powielany przez inny, niż G - moduł z pierścieniem K [ G ]. Odpowiada to rozszerzeniu reprezentacji do algebry K [ G ].

Jeśli charakterystyka K nie dzieli rzędu G , algebra ta jest półprosta . Cała teoria algebraiczna, bogata w twierdzenia, pozwala zatem wyjaśnić inne aspekty tej struktury. Najważniejszy jest prawdopodobnie Artin-Wedderburn . To oznacza, w tym kontekście, że Algebra jest bezpośrednim produktem skończonej subalgebras rodziny, z których każdy jest algebraiczne z matryc kwadratowych na korpusie (niekoniecznie przemienne) zawierający K .

Przykładem jest to, że na środku w K [ G ]. Jest to półprosty pierścień odpowiadający iloczynowi postaci K h, gdzie h jest liczbą prostych podalgebr. Środek okazuje się izomorficzny w stosunku do centralnych funkcji z poprzedniego akapitu. Izomorfizm jest na tyle naturalny, że często identyfikuje się te dwie struktury. Własności ortonormalności są wyrażane na różne sposoby, źródła wielu twierdzeń, takich jak prawo wzajemności Frobeniusa .

Takie centrum otwiera nowe perspektywy, jest pierścieniem przemiennym na polu K , dzięki czemu można skorzystać z narzędzi arytmetyki . Takie podejście pozwala na przykład wykazać, że stopień jakiejkolwiek nieredukowalnej reprezentacji dzieli porządek grupy.

Jeśli charakterystyka K dzieli rząd G , algebra K [ G ] nadal dostarcza podstawowych narzędzi. Teoria pierścieni, a zwłaszcza ideałów, pomaga wyjaśnić strukturę.

Używa

Teoria Galois

Teorię Galois można postrzegać jako badanie relacji algebraicznych, które łączą różne elementy pola przemiennego , to znaczy zbioru wyposażonego w dodawanie i mnożenie w taki sposób, że każdy element niezerowy jest odwracalny i że te dwie operacje są przemienny. Tak zwana teoria klasyczna interesuje się niezbyt dużymi ciałami, które są reprezentowane jako przestrzeń wektorowa o skończonych wymiarach na polu początkowym. Prostym przykładem jest przez liczbę postaci + b I , gdzie i b są dwa wymiernych i i oznacza jednostka urojona . Mówimy o rozciągnięciu kwadratowym , poprzedni przykład to racjonały Gaussa . Jednym z pierwotnych sukcesów teorii jest wskazanie, kiedy równanie wielomianowe można rozwiązać za pomocą rodników , czyli kiedy można wyrazić pierwiastek wielomianu za pomocą czterech operacji i operacji pierwiastka .

Kluczowy wynik teorii stwierdza, że ​​strukturę pola L opisuje korespondencja Galois . Odnosi się do szczególnej grupy , jak wspomniano o Galois, obejmującej bijekcje od K do K, które dotyczą dwóch operacji ciała. Grupa Galois racjonałów Gaussa ma dwa elementy: tożsamość i zastosowanie sprzężone . Jeśli wymierne Gaussa są postrzegane jako przestrzeń wektorowa o wymiarze 2, o podstawie (1, i) , grupę Galois można postrzegać jako reprezentację grupy dwuelementowej. Dla uproszczenia możemy wcielić grupę Galois za pomocą macierzy, a następnie rozważyć te macierze ze współczynnikami w wymiernych, jak te z zastosowań liniowych w złożonej przestrzeni wektorowej, która jest znacznie łatwiejsza do zbadania.

Posiadanie teorii takiej jak reprezentacja grupy skończonej do badania grupy Galois szybko okazuje się być kluczowa. Jako przykład możemy przytoczyć twierdzenie Abla o możliwości rozwiązania równania wielomianowego przez rodnik. W swojej formie Galois ten wynik jest wyrażony przez fakt, że równanie jest możliwe do rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy grupa Galois ma określoną właściwość. Następnie mówimy, że grupę można rozwiązać . Twierdzenie Burnside'a w tej kwestii, opisane w poprzednim akapicie, jest więc typowo Galois.

Algebraiczna teoria liczb

Użycie reprezentacji i znaków skończonych grup abelowych pojawiło się w arytmetyce na długo przed pracą Frobeniusa. Ważne twierdzenie, zwane postępem arytmetycznym , zademonstrowane przez Dirichleta wykorzystuje znaki tego rodzaju.

Przypadek nieabelowy, będący sednem teorii przedstawionej w tym artykule, nie może być prześcignięty. Struktura badana przez algebraiczną teorię liczb jest ściśle związana z teorią Galois. Prostym sposobem na zobaczenie tej struktury jest rozważenie tylko algebraicznych liczb całkowitych pola o tej samej naturze, co w poprzednim akapicie. Algebraiczna liczba całkowita jest elementem tego pierwiastka wielomianu unitarnego (tj. Którego współczynnik jednomianu najwyższego stopnia jest równy 1) oraz ze współczynnikami w liczbach całkowitych względnych . Algebraiczne liczby całkowite liczb wymiernych są liczbami całkowitymi względnymi, liczbami wymiernymi Gaussa są liczby w postaci a + i b , gdzie tym razem a i b są liczbami całkowitymi względnymi.

Po raz kolejny grupa bijections poszanowaniem dodawanie i mnożenie, mówimy o automorfizmem z ringu , jest niezbędna. Zawsze mówimy o grupie Galois. Podejście o tym samym charakterze, co w poprzednim akapicie, umożliwia skojarzenie tej grupy z naturalną reprezentacją. Ta reprezentacja jest ważna dla zrozumienia ideałów pierścienia algebraicznych liczb całkowitych. Ideały są matematyczną istotą odkrytą przez Ernsta Kummera w celu rozwiązania w wielu przypadkach Ostatniego Twierdzenia Fermata . Jeśli pierścienie algebraicznych liczb całkowitych pod wieloma względami przypominają względne liczby całkowite, podstawowe twierdzenie arytmetyki, które mówi o istnieniu i jednej formie niepowtarzalności faktoryzacji liczby pierwszej, nie ma już zastosowania. To, co Kummer nazywał „  liczbami idealnymi  (in)  ”, jest sposobem na wypełnienie tej luki, zastępując liczby pierwsze ideały pierwsze (por. „  Ideał ułamkowy  ”).

Zrozumienie struktury ideałów jest decydującym czynnikiem w rozwiązywaniu problemów arytmetycznych. Grupa Galois jest ważna, ponieważ obraz ideału przez element grupy jest nadal ideałem. W pewnym sensie struktura grupy nawiązuje do klas ideałów. Przykładem zastosowania jest równanie Pella-Fermata . Jeśli wydaje się to proste, jego rozdzielczość jest ogromna. Odpowiada następującemu równaniu diofantyny :

x2-niey2=m{\ Displaystyle x ^ {2} -ny ^ {2} = m}

Równanie diofantyczne to równanie ze współczynnikami całkowitymi, których pożądanymi rozwiązaniami są liczby całkowite. Tutaj N jest nie- kwadrat całkowitą , a m jest liczbą całkowitą różną od zera. W ogólnym przypadku to równanie rozwiązuje David Hilbert, używając pierwszego szkicu teorii pól klas . Wiedza grupy Galois, często uzyskiwana dzięki badaniu naturalnej reprezentacji, jest sednem demonstracji. Obecne badania arytmetyczne nadal w wielkim stopniu wykorzystują reprezentacje skończonej grupy. Archetypowy przykład stanowi rozszerzenie teorii pól klasowych w przypadku nieprzemiennym. Nazywa się to programem Langlands . Po raz kolejny reprezentacje są niezbędne.

Algebra nieprzemienna

Teoria Galois, poprzez pola rozwiązań równania algebraicznego lub jego pierścienia algebraicznych liczb całkowitych, jest w stanie dostarczyć wielu przykładów zbiorów wyposażonych w dodawanie i mnożenie. Wszystkie te struktury mają jeden wspólny element, mnożenie jest przemienne.

Matematyka, podobnie jak nauki przyrodnicze, zwraca uwagę na przypadki, w których mnożenie nie jest przemienne. Wiele zestawów macierzy jest oczywiście wyposażonych w te dwie operacje i ma mnożenie, które nie jest. William Hamilton spędził dziesięć lat swojego życia, aby znaleźć zespół tego rodzaju, który byłby w stanie w prostszy sposób sformalizować mechanikę Newtona . Odkrywa przy tej okazji pierwsze lewe ciało, to znaczy zbiór taki, że wszystkie niezerowe elementy są odwracalne, ale który nie jest przemienny, nazywany quaternionem .

Przykład pól jest istotny dla wkładu reprezentacji skończonych grup w tej gałęzi matematyki. Po pierwsze możemy zauważyć, że każde lewe pole L jest algebrą nad jego środkiem , które jest przemiennym podciałem; na przykład pole kwaternionów jest algebrą nad ciałem liczb rzeczywistych. Metoda ta pozwala zobaczyć L wskutek reprezentacji G . Analogiczne podejście zastosowano do konstruowania kwaternionów w § „Przedstawienie” artykułu o grupie kwaternionów .

Mówiąc bardziej ogólnie, rozważanie reprezentacji jako algebry grupy skończonej jest potężną metodą badania rodziny tak zwanych półprostych pierścieni zawierających wiele nieprzemiennych reprezentantów. Centralne twierdzenie tej teorii nazywa się Artin-Wedderburn .

Sieć

Sieć to dyskretna grupa R n , generator przestrzeni wektorowej. Powstaje pytanie o grupę ortogonalną , czyli zbiór izometrii liniowych takiej struktury. Pokazujemy po prostu, że taka grupa jest skończona, aw przypadku wymiaru 2 podstawowe narzędzia teorii grup i algebry liniowej pozwalają wyjaśnić to pytanie. Z drugiej strony, gdy wymiar zwiększa się, narzędzia związane z reprezentacją skończonej grupy, zwłaszcza postaci, okazują się kluczowe.

Przypadek wymiaru 3 jest szczególnie interesujący dla krystalografów . Kryształ jest modelowana przez sieć, do której nauka ta podaje nazwę Bravais . Ta geometria jest źródłem właściwości mechanicznych, optycznych, a nawet elektrycznych. Za pomocą tablic znaków można określić grupę ortogonalną, która w tym kontekście przyjmuje nazwę grupy symetrii lub grupy punktów.

Podobną kwestię, również w wymiarze 3, można łatwo rozwiązać za pomocą narzędzi reprezentacji skończonej grupy, czyli brył platońskich . Odpowiadają one regularnym wypukłym wielościanom przestrzeni o wymiarze 3. Analiza grup przyjmujących nieredukowalną reprezentację wymiaru 3 pozwala ustalić istnienie i charakterystykę różnych brył platońskich. Przykłady czworościanu , dwunastościanu i dwudziestościanu omówiono w artykule naprzemiennie .

Wyższe wymiary są przedmiotem badań kryptologów . Jeśli wymiar się zwiększy, to poszukiwanie najmniejszego niezerowego wektora jest problemem, który można przypuszczać jako trudny . Trudne nabiera tutaj bardzo precyzyjnego znaczenia. Nie oznacza to, że nikt nie wie, jak go rozwiązać, ale że jedyne dostępne metody, przy obecnej szybkości (2008) komputerów, zajmują dużo czasu, zwykle dłużej niż wiek wszechświata . Jeden z kodów zapewniających jedne z najlepszych zabezpieczeń oparty na geometrii sieci tego rodzaju nosi nazwę NTRU .

Klasyfikacja grup skończonych

Teoria reprezentacji jest jednym z podstawowych narzędzi klasyfikacji grup. W przypadku grup małego rzędu twierdzenia Sylowa są na ogół wystarczające. Z drugiej strony podejście to jest zbyt ograniczone, aby można było przeprowadzić ogólne badanie. Charakterystycznymi przykładami są twierdzenia Burnside'a o kardynale grupy rozwiązywalnej lub o grupach wykładnika skończonego i typu skończonego . Istnieją przypadki nieco elementarnych zastosowań teorii, na przykład w celu ustalenia prostą postać o grupie rzędu 168 .

Jedną z technik, służącą do wyjaśnienia struktury nieco złożonej grupy skończonej, jest rozważenie jej reprezentacji jako ortogonalnej grupy sieci. Przykładem jest krata pijawki o wymiarze 24, której grupa ortogonalna umożliwia wyróżnienie grup Conwaya , z których największa, ogólnie oznaczona jako CO 1 , zawiera 4,157,776 806,543,360,000 elementów. Jest to grupa sporadyczna otrzymana przez iloraz grupy ortogonalnej przez jej środek .

Najbardziej znanym przypadkiem jest prawdopodobnie grupa Monster , największa z 26 pojedynczych sporadycznych grup . Jego istnienie zapowiadano na dziesięć lat przed budową. Musiało to wynikać z odwzorowania wymiaru 196883, przypuszczalnego i wyjaśnionego bez pomocy komputera. Powinien zamknąć klasyfikację skończonych grup prostych .

Uwagi i odniesienia

1. (w) T. Hamada, Y. Michiwaki i Mr. Oyama, O wpływie `` szkoły Seki's versus the Saijo School Controversy '' w prowincjach (japoński) , Sugakushi Kenkyu 64 , 1975.
2. L. Couturat, Logika Leibniza (Hildesheim, 1961).
3. J.-L. Lagrange, Reflections on the algebraic resolution of equations , 1770.
4. A.-T. Vandermonde, Pamiętnik o rozwiązywaniu równań , 1771.
5. (La) CF Gauss, Disquisitiones arithmeticae , 1801.
6. NH Abel, Wspomnienie o równaniach algebraicznych, w którym wykazujemy niemożność rozwiązania ogólnego równania piątego stopnia , 1824 .
7. E. Galois, „On the conditions of the resolubility of algebraic equations”, Journal of pure and application mathematics , 1846.
8. J. Liouville, „Mathematical works of Évariste Galois Followed by a warning from Liouville”, Journal of pure and application mathematics , t. X, 1846.
9. AL Cauchy, O liczbie równych lub nierównych wartości, jakie może przybierać funkcja n zmiennych niezależnych, gdy zmienne te są w jakikolwiek sposób permutowane , 1845 .
10. (w) A. Cayley , „  O teorii grup, w ZALEŻNOŚCI od równania symbolicznego θ n = 1  ” , Philos. Mag. , vol.  7, n O  4,1854, s.  40–47.
11. F. Klein, Wykłady z dwudziestościanu i rozwiązania równania piątego stopnia , 1877.
12. ML Sylow , „  Twierdzenie o grupach substytucyjnych  ”, Mathematische Annalen , t.  V,1872, s.  584-594.
13. (de) H. Weber, Lehrbuch der Algebra , Braunschweig, 1924.
14. (DE) G. Dirichlet Vorlesungen über Zahlentheorie , 3 th  ed., Vieweg, Braunschweig, 1879 .
15. (w) Tsit Yuen Lam , „  Reprezentacja skończonych grup: sto lat, część I  ” , Uwagi AMS , t.  45,1998, pdf , ps , p.  363 .
16. C. Jordan, Treatise on Substitutions and Algebraic Equations , 1870.
17. R. Dedekind „  Z teorii liczb algebraicznych  ”, Biuletyn matematycznych i astronomicznych nauk , 2 nd serii, vol.  1, N O  1,1871, s.  207-248 ( czytaj online ).
18. (w) KW Johnson, „Wyznacznik grupy Dedekind-Frobenius, nowe życie w starej metodzie” w Groups St Andrews 97 w Bath , vol.  II, pot.  „London Math. Soc. Wykład Uwaga Series „( N O  261)1999( czytaj online ) , s.  417-428.
19. Lam, część I , str.  365.
20. (de) G. Frobenius, „  Neuer Beweis des Sylowschen Satzes  ” , J. queen angew. Matematyka. , vol.  100,1887, s.  179-181.
21. (de) G. Frobenius i L. Stickelberger, „  Über Gruppen von vertauschbaren Elementen  ” , J. queen angew. Matematyka. , vol.  86,1879, s.  217-262 ( czytaj online ).
22. (w) CW Curtis, „Teoria reprezentacji grup skończonych, od Frobeniusa do Brauera”, Math. Intelligencer , 1992, s.  48-57 .
23. (w :) T. Hawkins , „Początki teorii postaci grupowych”, Arch. Hist. Exact Sci. , lot. 7, 1971 , s.  142-170 .
24. (de) FG Frobenius, „Über Gruppencharaktere”, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin , 1896.
25. (de) FG Frobenius, „Über die Primfactoren der Gruppendeterminante”, Sitzungsber. Preuss Akad. Wiss Berlin , 1896.
26. (De) FG Frobenius, Zur Theorie der Scharen bilinearer Formen , Zürich, 1896.
27. Lam, część I , str.  370.
28. (De) FG Frobenius, „Über die Darstellung der endlichen Gruppen durch lineare Substitutionen”, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin , 1897.
29. (De) T. Molien, Über Systeme höherer complexer Zahlen , 1893 .
30. (De) T. Molien, Über die Invarianten der linearen Substitutionsgruppen , 1897.
31. (De) FG Frobenius, „Über Relationen zwischen den Charakteren einer Gruppe und denen ihrer Untergruppen”, Sitzungsber. Preuss Akad. Wiss Berlin , 1898.
32. (De) FG Frobenius, „Über die Composition der Charaktere einer Gruppe”, Sitzungsber. Preuss Akad. Wiss Berlin , 1899.
33. (de) FG Frobenius, „Über die Charaktere der symmetrischen Gruppen”, Sitzungsber. Preuss Akad. Wiss Berlin , 1900.
34. (De) FG Frobenius, „Über die Charaktere der alternirenden Gruppen”, Sitzungsber. Preuss Akad. Wiss Berlin , 1901.
35. (w) RC Archibald, Półsetlecie historii Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego od 1888 do 1938 , Nowy Jork, 1980, s.  144-150 .
36. (w) The Dickson Linear Groups - Z wystawą Galois Field Theory , Dover, 2003.
37. (De) H. Maschke, „  Beweis des Satzes, dass diejenigen endlichen linearen Substitutionsgruppen…  ” , Mathematische Annalen , vol.  52,1899, s.  363-368 ( czytaj online ).
38. (en) J. Wedderburn, „O liczbach hiperkompleksowych”, Proc. Natl. London Math. Soc. , 1907.
39. (De) I. Schur, Uber eine Klasse von Matrizen, die sich einer gegebenen Matrix zuordnen lassen , Uniwersytet w Getyndze , 1901.
40. (w) CW Curtis, Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur i Brauer , Providence, RI, et al.  "Historia matematyki" ( N O  15)1999( ISBN  0821826778 ).
41. (w) W. Burnside, „Uwagi na temat teorii skończonych grup porządku”, Proc. Natl. London Math. Soc. , lot. 26, 1895, s.  191-214 .
42. (w) A. Wagner, „  A bibliography of William Burnside (1852-1927)  ” , Historia Mathematica , t.  5, n O  3,1978, s.  307-312.
43. (w :) William Burnside, „  O nierozwiązanej kwestii w teorii nieciągłych grup  ” , Quart. J. Math. , vol.  33,1902, s.  230-238.
44. (w) William Burnside, „  Jedno kryterium skończoności rzędu grupy podstawień liniowych  ” , Proc. Natl. London Math. Soc. , vol.  2 n O  3,1905, s.  435-440.
45. (w) E. Zelmanov, Rozwiązanie ograniczonego problemu Burnside'a dla grup nieparzystych wykładników , Matematyka. ZSRR Izwiestija 36 (1), 1991 , s.  41-60 .
46. (w) W.Burnside Theory of Groups of Finite Order , Dover, 2004.
47. (w) J. Thompson i W. Feit, Rozdział I, z rozwiązalności grup nieparzystego rzędu Math, vol. 13 N O  3 1963 .
48. (de) Dirichlet, „Beweis eines Satzes über die arithmetische Progression”, Bericht Verhandl. König. Preuss. Akad. Wiss. , lot. 8, 1837 , s.  108-110 .
49. Ten przykład jest cytowany jako przodek teorii na kursie w Ecole Polytechnique. Reprezentacja grup skończonych, teoria znaków .
50. (w) HM Edwards , „The background of Kummer's proof of Fermat's Last Theorem for regulars preces”, Arch. Hist. Exact Sci. , lot. 14, 1975.
51. Na przykład patrz (w) David A.Cox , Primes of the Form x 2 + ny 2 , John Wiley & Sons ,2011( 1 st  ed. 1989) ( ISBN  978-1-11803100-1 , czytać online ).
52. Spopularyzowaną prezentację tej teorii zaproponowali: L. Lafforgue , Teoria Galois i arytmetyki , 2004.
53. (w) TL Hankins, Sir William Rowan Hamilton , Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1980.
54. Więcej szczegółów w pełnym artykule lub: P. Cartier , Teoria algebr półprostych, Seminarium Sophus Lie.
55. (w) MIAU Müller i H. Wondratschek, Wprowadzenie historyczne , International Tables for Crystallography (2006), vol. A1, rozdz. 1.1, s.  2-5 .
56. (en) Christos Papadimitriou , Złożoność obliczeniowa , Addison-Wesley ,1993( ISBN  978-0-201-53082-7 ).
57. (w) J. Hoffstein, J Pipher i J. Silverman, " Zarchiwizowana kopia "  A ring based Public Key Cryptosystem " (opublikowana w Internet Archive z dnia 21 października 2007 r. )  ," Algorithmic Number Theory (ANTS III) , Portland, OR , Czerwiec 1998.
58. (w) JH Conway , "Doskonała grupa rzędu 8.315.553.613.086.720.000 i grupy tylko sporadyczne", PNAS , t. 61, 1968, s.  398-400 .
59. Reprezentacje skończonych grup, teoria postaci Nauczanie w École Polytechnique , s.  5 .

Zobacz też

Linki zewnętrzne

• Vincent Beck, "  TD reprezentacji grup skończonych  " , 2005-2006 z M2 Oczywiściez Michelem Broué ( Uniwersytet Paris VII - Diderot ), a skorygowany
• (en) Tsit Yuen Lam, „  Reprezentacja skończonych grup: sto lat, część II  ” [ps]
• (en) Peter Webb, Finite Group Representations for the Pure Mathematician

Bibliografia

• N. Bourbaki , Elementy matematyki , Algebra , rozdz. VIII
• Pierre Colmez , Elementy analizy i algebry (i teorii liczb) , Éditions de l'École polytechnique [ czytaj online ]
• (en) Marshall Hall, Jr. , The Theory of Groups [ szczegóły wydań ]
• (en) Anthony W. Knapp , „  Group Representation and Harmonic analysis: From Euler to Langlands, Part II  ” , Uwagi Amer. Matematyka. Soc. , vol.  43 N O  5,1996( czytaj online [ archiwum3 kwietnia 2007] )
• Serge Lang , Algebra [ szczegóły wydania ]
• Jean-Pierre Serre , Liniowe reprezentacje skończonych grup [ szczegóły wydań ]