W krystalografii , wykorzystując sieć Bravais jest regularne punkty dystrybucyjne - zwane węzły - w przestrzeni, która reprezentuje częstotliwość dystrybucyjnego atomie z kryształu . Węzły można sobie wyobrazić jako wierzchołki siatek , czyli części przestrzeni, w których można podzielić strukturę kryształu . Struktura jest następnie rekonstruowana poprzez proste przemieszczenie siatki. Dane sieci Bravais nie są wystarczające do scharakteryzowania kryształu: z jednej strony kryształ składa się z atomów, a nie z węzłów, a z drugiej strony siatka może zawierać kilka atomów, co oznacza, że pewne symetrie sieci niekoniecznie są symetriami struktury krystalicznej: tak jest w przypadku kryształów południkowych . Gdy całkowita symetria sieci Bravais'a zostanie osiągnięta również w strukturze krystalicznej, mówimy o kryształach holoedronowych .
Formalnie krata Bravaisa w wymiarze n jest zdefiniowana jako zbiór wektorów { m 1 a 1 + m 2 a 2 + ... + m n a n }, gdzie m 1 , ..., m n należą do Z i gdzie wektory bazowe sieci a 1 , ..., a n są n wektorami niezależnymi liniowo. Te parametry siatki składają się z odcinków 1 , ..., n a kąty pomiędzy wektorami bazowymi kraty.
Okresowość generuje grupę symetrii składającą się z operacji translacji i rotacji, pozostawiając niezmiennik sieci Bravais. Jeśli liczba sieci jest nieskończona, ponieważ każda wartość parametrów odpowiada innej sieci, liczba „typów” sieci (zwanych „trybami” sieci) jest skończona, a typ sieci jest definiowany przez jej grupę symetrii . Istnieje zatem 5 rodzajów sieci Bravais w przestrzeni dwuwymiarowej i 14 typów w przestrzeni trójwymiarowej.
Gdy w krysztale występuje niezmienność przez obrót, mówimy, że istnieje oś symetrii rzędu 2, 3, 4 lub 6, w zależności od tego, czy dany obrót odpowiada odpowiednio kątowi ± 180 °, ± 120 ° , ± 90 ° lub ± 60 °. Badanie sieci Bravais z wykorzystaniem teorii grup wykazało, że w przestrzeniach dwuwymiarowych i trójwymiarowych nie ma kryształu o osi symetrii rzędu 5. Nie jest to już prawdą, jeśli rozkład atomowy nie jest okresowy, jak ma to miejsce w przypadku w quasi-krysztale : obserwowany rozkład atomowy można następnie zinterpretować matematycznie jako rzut na trójwymiarową przestrzeń irracjonalnego odcinka struktury okresowej wyższego wymiaru (4, 5 lub 6).
Sieć będąca nieskończoną, jest opisana przez siatkę , która reprezentuje jednostkę przez nieskończone powtarzanie, z której otrzymuje się sieć. Wybór siatki nie jest wyjątkowy, każda sieć może być w zasadzie opisana przez nieskończoność różnych siatek; w ten sposób parametry sieci wyrażenia faktycznie wskazują parametry siatki . Najczęściej używane są dwa rodzaje siatek: siatka pierwotna (lub elementarna) i siatka konwencjonalna : w każdej rodzinie krystalicznej istnieje sieć, której siatka konwencjonalna jest pierwotna. Do tej samej rodziny kryształów należą kryształy, których konwencjonalne siatki są przekształcane w siebie poprzez dodawanie lub usuwanie węzłów w środku ścian lub wewnątrz objętości siatki .
Krata Bravais odpowiada pytaniu matematycznemu. Wiąże się to z badaniem quasi- przestrzeni wektorowej , przy czym różnica między przestrzenią wektorową a siecią polega na tym, że w tej drugiej skalary są liczbami całkowitymi i nie są już liczbami odwracalnymi (z wyjątkiem 0) jak te rzeczywiste lub zespoly . Aby skorzystać z łatwej do uchwycenia geometrii , sieć zanurza się w euklidesowej przestrzeni wektorowej o minimalnym wymiarze . Przestrzeń ta, z definicji sieci, ma skończony wymiar. Wreszcie sieć może być również postrzegana jako przestrzeń afiniczna .
Jedną z pierwszych właściwości jest fakt, że podobnie jak struktura przestrzeni wektorowej, istnieje baza, a jeśli taka baza nie jest jednoznaczna, to jej objętość jest. Podstawową domeną bazy jest utworzona przez zbiór wektorów, których współrzędne w bazie są w przedziale [0,1 [, co krystalografem wywołuje prymitywne komórki . Rysunek po prawej ilustruje dwa podstawowe obszary, w kolorze zielonym i czerwonym, z konieczności o tej samej objętości.
Kilka grup pojawia się naturalnie w badaniu sieci Bravais. Po pierwsze, tak jak w przestrzeni wektorowej, sieć tworzy grupę do dodawania wektorów. Ta grupa jest izomorficzna z grupą przekładów pozostawiających niezmiennik sieci. Następnie ważnym pytaniem jest kwestia grupy ortogonalnej , czasami nazywanej grupą symetrii punktowej . Składa się z aplikacji liniowych, które zachowują odległości i kąty, takie jak obrót lub odbicie w lustrze. Te przekształcenia tworzą izometrie wektorowe sieci. W sieci grupa ortogonalna jest zawsze skończona i ma strukturę grupową . To znaczy, że istnieje element neutralny, taki, który nie porusza żadnego punktu sieci, że wzajemne zastosowanie izometrii jest nadal izometrią i że prawo składu odwzorowań liniowych jest asocjacyjne . Wreszcie, łącząc dwie poprzednie grupy, możemy utworzyć inną grupę: grupę kosmiczną sieci.
W przeciwieństwie do przestrzeni wektorowych, ortogonalne grupy dwóch sieci o tym samym wymiarze niekoniecznie są izomorficzne . Wyjaśnienie struktury grup ortogonalnych sieci dwuwymiarowej jest stosunkowo łatwe. Istnieją tylko 4 możliwe skończone grupy i wszystkie są małymi kardynałami : 2, 4, 8 lub 12. Nie jest potrzebne żadne skomplikowane narzędzie, wystarczy użyć kilku matryc 2x2 , aby osiągnąć swoje cele. W wymiarze 3 pytanie staje się nieco ostrzejsze. Największa grupa zawiera 48 elementów. Aby wyjaśnić strukturę grupy, łatwiej jest odwołać się do teorii reprezentacji skończonej grupy . Nieco abstrakcyjne narzędzie, postać pozwala szybko rozwiązać pozornie delikatne pytania.
Szczegółowy artykuł Sieć (geometria) wykorzystuje algebrę liniową do budowy ortogonalnych grup sieci wymiaru 2 oraz reprezentacji grupy dla wymiaru 3.
W przestrzeni jednowymiarowej może występować tylko jeden typ sieci, który składa się z okresowych węzłów powtarzających się wzdłuż istniejącego pojedynczego kierunku, jak wskazana oś ma . Odległość między dwoma węzłami jest parametrem a .
Jednowymiarowa sieć kosmiczna.
W przestrzeni dwuwymiarowej konwencjonalna siatka może być prymitywna ( p ) lub wyśrodkowana ( c ). Osie są oznaczone literami a i b , kąt międzyosiowy nazywa się γ. W tej przestrzeni istnieje pięć typów sieci, które są oznaczone literą odpowiadającą rodzinie kryształów, po której następuje mod sieci (małe litery).
W rodzinie kryształów jednoskośnych nie ma ograniczeń co do parametrów. W tej rodzinie istnieje tylko jeden typ sieci: mp (prymitywna jednoskośna).
Pierwotna sieć jednoskośna przestrzeni dwuwymiarowej.
W rombowej rodzinie kryształów γ = 90 °. W tej rodzinie istnieją dwa typy sieci: op (pierwotna rombowa) i oc (wyśrodkowana rombowa). Na rysunku, który pokazuje konwencjonalną siatkę sieci oc (czerwony), widoczne są również cztery prymitywne siatki (czarny).
Pierwotna sieć rombowa przestrzeni dwuwymiarowej.
Wyśrodkowana rombowa sieć przestrzeni dwuwymiarowej. Na rysunku pokazano siatkę konwencjonalną (czerwony) i cztery siatki pierwotne (czarny).
W tetragonalnej rodzinie kryształów a = b i γ = 90 °. W tej rodzinie istnieje tylko jeden typ sieci: tp (prymitywny czworokąt).
Prymitywna krata czworokątna przestrzeni dwuwymiarowej.
W sześciokątnej rodzinie kryształów a = b i γ = 120 °. W tej rodzinie istnieje tylko jeden typ sieci: hp (prymitywny sześciokąt).
Pierwotna siatka heksagonalna przestrzeni dwuwymiarowej.
Sieci przestrzeni trójwymiarowej można uzyskać z sieci przestrzeni dwuwymiarowej przez dodanie trzeciego kierunku niewspółpłaszczyznowego. Osie są oznaczone jako a , b i c , kąty jako α (między b i c ), β (między a i c ) i γ (między a i b ). Możliwych jest siedem trybów sieciowych, oznaczonych wielką literą:
Litera S ( tylko para S wyśrodkowanych ścian) jest również używana do wspólnego wskazania siatek wyśrodkowanych na jednej ścianie, które mogą być przekształcane ze sobą po zmianie osi.
W tej przestrzeni istnieje czternaście typów sieci, które są oznaczone literą odpowiadającą rodzinie kryształów, po której następuje mod sieci (wielkimi literami).
W rodzinie kryształów trójskośnych nie ma ograniczeń dotyczących parametrów. W tej rodzinie istnieje tylko jeden typ sieci: aP (prymitywna anortyka). Litera t zarezerwowana dla czworokątnej rodziny kryształów, używamy a (anortic, synonim trikliniczny).
Prymitywna trójskośna sieć przestrzeni trójwymiarowej.
W rodzinie kryształów jednoskośnych dwa z trzech kątów (zwykle wybieranych jako α i γ) są prawidłowe. W tej rodzinie istnieją dwa typy sieci: mP i mC . Siatkę mC można przekształcić w mI z innym wyborem osi.
Pierwotna sieć jednoskośna przestrzeni trójwymiarowej.
Sieć jednoskośna C przestrzeni trójwymiarowej i jej alternatywny opis za pomocą siatki mI .
W rodzinie kryształów rombowych te trzy kąty są proste. Istnieją cztery typy sieci w tej rodzinie: oP , OS , ol i oF . Ponieważ symetria konwencjonalnej siatki nie nakłada żadnego priorytetu na osie, trzy sieci oA , oB i oC są równoważne po zmianie osi i są zbiorczo oznaczone jako oS .
Pierwotna rombowa sieć przestrzeni trójwymiarowej.
Sieć rombowa z wyśrodkowaną powierzchnią trójwymiarowej przestrzeni. Trzy sieci oA , oB i oC mogą być przekształcane w siebie z różnymi opcjami osi i są zbiorczo oznaczane jako oS .
Sieć rombowa o wyśrodkowanej objętości w przestrzeni trójwymiarowej.
Sieć rombowa do dowolnej twarzy wyśrodkowanej w przestrzeni trójwymiarowej.
W tetragonalnej rodzinie kryształów a = b , α = β = γ = 90 °. W tej rodzinie istnieją dwa typy sieci: tP (odpowiednik tC ) i tI (odpowiednik tF ).
Pierwotna krata czworokątna przestrzeni trójwymiarowej. Sieć tC jest odpowiednikiem sieci tP z innym wyborem osi.
Krata czworokątna z wyśrodkowaną objętością przestrzeni trójwymiarowej. Sieć tF jest odpowiednikiem sieci tI z innym wyborem osi.
W sześciokątnej rodzinie kryształów a = b , α = β = 90 °, γ = 120 °. W tej rodzinie istnieją dwa tryby sieciowe: hP i hR .
Prymitywna siatka heksagonalna przestrzeni trójwymiarowej.
Sieć romboedryczna przestrzeni trójwymiarowej.
W sześciennej rodzinie kryształów a = b = c , α = β = γ = 90 °. W tej rodzinie istnieją trzy tryby sieciowe: cps , cI i cF .
Prymitywna sieć sześcienna przestrzeni trójwymiarowej.
Przestrzeń trójwymiarowa wyśrodkowana w sieci .
Sieć przestrzenna, skoncentrowana na twarzy, przestrzeń trójwymiarowa.
Sieć, będąca regularnym rozmieszczeniem węzłów w przestrzeni, nie jest ani prymitywna, ani wyśrodkowana. Wyrażenie „sieć pierwotna / sieć wyśrodkowana” jest rzeczywiście nadużyciem języka dla „sieci, której konwencjonalna siatka jest prymitywna / wyśrodkowana”.
Sieci przestrzeni trójwymiarowej zostały określone przez Moritza Ludwiga Frankenheima (en) w 1842 roku, który nie uznał równoważności sieci mC i mI . Auguste Bravais w 1848 roku poprawił błąd, poprawiając poprawną liczbę na 14.