Grupa kosmiczna
Grupę przestrzenną z kryształu jest utworzony przez zestaw symetrie o strukturze krystalicznej , to znaczy zestaw afinicznych izometrycznych opuszczających strukturę niezmienne. Jest to grupa w matematycznym sensie tego słowa.
Dowolna grupa przestrzenna wynika z połączenia sieci Bravaisa i grupy symetrii punktowej : dowolna symetria struktury wynika z iloczynu przesunięcia sieci i przekształcenia grupy punktowej.
Ocenił Hermann-Mauguin jest używany do reprezentowania grupy przestrzeni.
Międzynarodowa Unia Krystalografii publikuje międzynarodowe Tables krystalografii ; w tomie A każda grupa przestrzenna i jej operacje symetrii są reprezentowane graficznie i matematycznie.
Zasada wyznaczania grup przestrzennych
Zbiór grup przestrzennych wynika z połączenia jednostki podstawowej (lub wzorca) z określonymi operacjami symetrii ( odbicie, obrót i odwrócenie ), do których dodawane są operacje przesunięcia , przesunięcia w płaszczyźnie lub połączone z odbiciem lub obrotem.
Jednak liczba odrębnych grup jest mniejsza niż kombinacji, niektóre są izomorficzne , to znaczy prowadzą do tej samej grupy przestrzennej. Wynik ten można wykazać matematycznie za pomocą teorii grup .
Operacje tłumaczeniowe obejmują:
- translację zgodnie z wektorami bazowymi sieci, która zmienia się od jednej komórki do sąsiedniej komórki;
- tłumaczenia połączone z odbiciami i rotacjami:
- rototranslacje (element symetrii: oś spiralna): obrót wzdłuż osi połączony z przesunięciem wzdłuż kierunku osi, którego amplituda jest ułamkiem wektorów bazowych. Są one oznaczone liczbą n opisującą stopień rotacji, gdzie n jest liczbą razy, gdy obrót musi być zastosowany, aby uzyskać identyczność (3 reprezentuje zatem na przykład obrót o jedną trzecią obrotu, tj. 2π / 3 ). Stopień translacji jest następnie odnotowywany przez indeks, który wskazuje, któremu ułamkowi wektora sieci odpowiada translacja. Ogólnie rzecz biorąc, oś spiralna n p reprezentuje obrót o 2π / n, po którym następuje przesunięcie p / n wektora sieci równoległej do osi. Na przykład 2 1 reprezentuje obrót o pół obrotu, po którym następuje translacja półwektora sieci.
- odbicie ślizgu : odbicie, po którym następuje przesunięcie równoległe do płaszczyzny. Elementy symetrii są lustrami translacyjnymi oznaczonymi literą g, po której następuje składnik translacyjny w nawiasach; jednak najczęściej spotykane lustra translacyjne w strukturze krystalicznej są oznaczone literą, jak w poniższej tabeli:
| Typ lustra | Poślizg |
|---|---|
| w | a / 2 (1/2 okresu w kierunku a) |
| b | b / 2 (1/2 okresu w kierunku b) |
| vs | c / 2 (1/2 okresu w kierunku c) |
| nie | 1/2 okresu w kierunku ukośnym |
| re | 1/4 okresu w kierunku ukośnym |
| mi | 1/2 okresu w dwóch prostopadłych kierunkach |
W grupie przestrzennej różne elementy symetrii o tej samej wymiarowości mogą współistnieć w orientacji równoległej. Na przykład osie 2 1 mogą być równoległe do osi 2; lustra typu m mogą być równoległe do takich luster ma ; itp. W symbolu grupy przestrzennej wybór elementu reprezentatywnego jest zgodny z kolejnością ważności, która wygląda następująco:
- osie antypoślizgowe mają pierwszeństwo przed osiami śrubowymi;
- priorytet w wyborze lustra reprezentatywnego to: m> e> a> b> c> n> d.
Istnieją jednak pewne wyjątki. Na przykład grupy I 222 i I 2 1 2 1 2 1 zawierają osie 2 1 równoległe do osi 2, ale w pierwszej grupie trzy osie 2 mają wspólne przecięcie oraz trzy osie 2 1 , natomiast w drugiej grupie to tak nie jest. Zasada pierwszeństwa nie ma tutaj zastosowania, w przeciwnym razie obie grupy miałyby ten sam symbol.
Determinacja w przestrzeni bezpośredniej
Wyznaczenie grupy przestrzennej kryształu w przestrzeni bezpośredniej odbywa się poprzez obserwację elementów symetrii występujących w krysztale; konieczne jest zatem obserwowanie atomowego modelu kryształu (lub jego prostopadłego rzutu ) wzdłuż jego kierunków symetrii. Ponieważ bezpośrednia wizualizacja układu atomowego nieznanego kryształu nie jest możliwa, ta metoda wyznaczania grupy przestrzennej jest wykorzystywana głównie w edukacji.
Determinacja w przestrzeni odwrotnej
W praktyce grupa przestrzenna nieznanego kryształu jest wyznaczana w przestrzeni odwrotnej przez dyfrakcję promieni rentgenowskich , neutronów lub elektronów . Wiedza o parametrach z siatki i klasowej Laue pozwala znaleźć w grupie punktów symetrii możliwie kryształów, na ogół odpowiadający wielu możliwych grup przestrzennych. Badanie systematycznych ekstynkcji odbić w obrazie dyfrakcyjnym daje elementy symetrii ze składową translacyjną występującą w krysztale (osie śrubowe, zwierciadła translacyjne), co czasami prowadzi do wyznaczenia pojedynczej grupy przestrzennej. Jednak na ogół znajduje się kilka grup przestrzeni kandydujących. Niejednoznaczność jest następnie rozwiązywana poprzez określenie struktury kryształu w każdej z grup przestrzennych. Jeśli grupa przestrzenna nie nadaje się do opisu konstrukcji, można to zaobserwować na kilka sposobów:
- wielościany koordynacyjne (długości i kąty wiązań ) związków chemicznych mogą bardzo różnić się od tego, co jest znane z innych struktur;
- w konsekwencji obliczenia wytrzymałości wiązania dają błędne wyniki;
- parametry mieszania termicznego atomów są nienormalnie wysokie;
- parametry doprecyzowania modelu są silnie skorelowane ;
- współczynniki dostrajania dla udoskonalenia konstrukcji są wysokie.
230 rodzajów grup przestrzennych
Zbiór 230 typów trójwymiarowych grup przestrzennych wynika z połączenia 32 typów grup symetrii punktów z 14 typami sieci Bravais .
Przez izomorfizm kombinacje typu sieci Bravaisa i typu grupy symetrii punktowej (32 × 14 = 448) ostatecznie redukują się do 230 różnych typów grup przestrzennych.
| Klasa | # | System trójklinowy | |||||||
| 1 | 1 | P 1 | |||||||
| 1 | 2 | P 1 | |||||||
| System jednoskośny | |||||||||
| 2 | 3-5 | P 2 | P 2 1 | C 2 | |||||
| m | 6-9 | Po południu | PC | Cm | CC | ||||
| 2/ mln | 10-15 | P 2 / m | P 2 1 / m | C 2 / m | P 2 / c | P 2 1 / c | C 2 / c | ||
| Układ rombowy | |||||||||
| 222 | 16-24 | P 222 | P 222 1 | P 2 1 2 1 2 | P 2 1 2 1 2 1 | C 222 1 | C 222 | F 222 | ja 222 |
| ja 2 1 2 1 2 1 | |||||||||
| mm 2 | 25-46 | Pmm 2 | Pmc 2 1 | szt. 2 | Pma 2 | Pca 2 1 | Pc 2 | Pmn 2 1 | Pba 2 |
| Pna 2 1 | Pnn 2 | Cmm 2 | Cmc 2 1 | DW 2 | Am 2 | Aem 2 | Ama 2 | ||
| Aea 2 | Fmm 2 | Fdd 2 | imm 2 | Iba 2 | Ima 2 | ||||
| mmm | 47-74 | Pmmm | Pnnn | PCcm | Pban | Pmma | Pnna | Pmna | Pcca |
| Pbam | PCcn | Pbcm | Pnnm | Pmmn | Pbcn | Pbca | Pnma | ||
| Cmcm | Cmce | Cmmm | Cccm | Cm | Ccce | Fmmm | Fddd | ||
| Immm | Ibam | Ibca | Imma | ||||||
| System kwadratowy lub tetragonalny | |||||||||
| 4 | 75-80 | P 4 | P 4 1 | P 4 2 | P 4 3 | ja 4 | ja 4 1 | ||
| 4 | 81-82 | P 4 | ja 4 | ||||||
| 4/ mln | 83-88 | P 4 / m | P 4 2 / m² | P 4 / n | P 4 2 / n | ja 4 / m | ja 4 1 / a | ||
| 422 | 89-98 | P 422 | P 42 1 2 | P 4 1 22 | P 4 1 2 1 2 | P 4 2 22 | P 4 2 2 1 2 | P 4 3 22 | P 4 3 2 1 2 |
| ja 422 | ja 4 1 22 | ||||||||
| 4 mm | 99-110 | P 4 mm | P 4 bm | D 4 2 cm | P 4 2 nm | P 4 cm3 | P 4 nc | P 4 2 mc | P 4 2 pne |
| ja 4 mm | ja 4 cm | ja 4 1 miesiąc | I 4 1 cd | ||||||
| 4 2 m² | 111-122 | P 4 2 m² | P 4 2 c | P 4 2 1 m² | P 4 2 1 c | P 4 m 2 | P 4 c 2 | P 4 b 2 | P 4 n 2 |
| I 4 m 2 | ja 4 c 2 | ja 4 2 m | ja 4 2 d | ||||||
| 4/ mmm | 123-142 | P 4 / mmm | P 4 / mmc | P 4 / nbm | P 4 / nc | P 4 / mbm | P 4 / nc | P 4 / nmm | P 4 / ncc |
| P 4 2 / mmc | P 4 2 / mcm | P 4 2 / nbc | P 4 2 / nm | P 4 2 / mbc | P 4 2 / mnm | P 4 2 / nmc | P 4 2 / ncm | ||
| ja 4 / mmm | ja 4 / mcm | ja 4 1 / poprawka | ja 4 1 / akc | ||||||
| Układ trygonalny | |||||||||
| 3 | 143-146 | P 3 | P 3 1 | P 3 2 | R 3 | ||||
| 3 | 147-148 | P 3 | R 3 | ||||||
| 32 | 149-155 | P 312 | P 321 | P 3 1 12 | P 3 1 21 | P 3 2 12 | P 3 2 21 | R 32 | |
| 3 mln | 156-161 | P 3 m 1 | P 31 m | P 3 C 1 | P 31 c | R 3 m | R 3 C | ||
| 3 mln | 162-167 | P 3 1 m | P 3 1 c | P 3 m 1 | P 3 C 1 | R 3 m | R 3 C | ||
| System sześciokątny | |||||||||
| 6 | 168-173 | P 6 | P 6 1 | P 6 5 | P 6 2 | P 6 4 | P 6 3 | ||
| 6 | 174 | P 6 | |||||||
| 6/ mln | 175-176 | P 6 / m | P 6 3 / m² | ||||||
| 622 | 177-182 | P 622 | P 6 1 22 | P 6 5 22 | P 6 2 22 | P 6 4 22 | P 6 3 22 | ||
| 6 mm | 183-186 | P 6 mm | P 6 cm3 | gł. 6 3 cm | P 6 3 mc | ||||
| 6 m 2 | 187-190 | P 6 m 2 | P 6 C 2 | P 6 2 m² | P 6 2 c | ||||
| 6/ mmm | 191-194 | P 6 / mmm | P 6 / mcc | P 6 3 / mcm | P 6 3 / mmc | ||||
| System sześcienny | |||||||||
| 23 | 195-199 | P 23 | F 23 | ja 23 | P 2 1 3 | ja 2 1 3 | |||
| m 3 | 200-206 | po południu 3 | Pn 3 | Fm 3 | Fd 3 | ja 3 | Pa 3 | Ia 3 | |
| 432 | 207-214 | P 432 | P 4 2 32 | F 432 | K 4 1 32 | ja 432 | P 4 3 32 | P 4 1 32 | ja 4 1 32 |
| 4 3 m² | 215-220 | P 4 3 m² | F 4 3 m | ja 4 3 m | P 4 3 n | F 4 3 c | ja 4 3 d | ||
| m 3 m | 221-230 | Pm 3 m | Pn 3 n | Pm 3 n | Pn 3 mln | Fm 3 mln | Fm 3 c | Fd 3 m | Fd 3 c |
| Jestem 3 mln | Ia 3 d | ||||||||
Niekonwencjonalne grupy kosmiczne
Grupy przestrzenne pokazane w powyższej tabeli są konwencjonalnymi grupami przestrzennymi, które są używane do opisu symetrii kryształu w jego konwencjonalnej sieci . Przydatne może być jednak wykorzystanie niekonwencjonalnej grupy przestrzennej, na przykład do badania strukturalnych przejść fazowych , przypadków politypizmu czy serii podstawień . Są dwa sposoby na uzyskanie niekonwencjonalnej grupy kosmicznej:
- wybierając nową komórkę o objętości identycznej jak komórka konwencjonalna, na przykład przez permutację wektorów bazowych komórki;
- poprzez sztuczne zwiększenie rozmiaru oczek (wiele oczek).
Opis kryształu w niekonwencjonalnej grupie przestrzennej nie zmienia wewnętrznej symetrii kryształu, jest po prostu alternatywnym opisem tej samej struktury.
Oczka o identycznej objętości
W jednoskośnej i rombowej układów krystalograficznych , kierunki , i nie są równoważne przez symetrii, to znaczy, że nie ma operacji symetrii, które mogą przekształcić jeden z tych kierunków do jednego z dwóch pozostałych. Nazwy wektorów bazowych komórki są na ogół wybierane tak, aby uzyskać konwencjonalną grupę przestrzenną.
W przypadkach, w których elementy symetrii w kierunkach , i mają różny charakter, permutacją nazwami wektory bazowe prowadzi do siatki niezmienionej objętości niekonwencjonalny grupy przestrzennej. Z drugiej strony, w układzie jednoskośnym, gdy kąt β między wektorami a i c nie jest ustalony na 90 °, wybór wektorów bazowych a ' = -ac , b' = b i c ' = a również prowadzi do komórka jednoskośna o objętości równej objętości komórki konwencjonalnej.
Poniższa tabela przedstawia konwencjonalne i niekonwencjonalne grupy przestrzenne w układzie jednoskośnym. Ewentualne zmiany znaku wektorów bazowych są konieczne, aby tworzyły prosty trójścian . W przypadku jednoskośnym rozpatruje się jedynie zmiany podstawy opuszczającej oś jako oś symetrii. Grupy przestrzeni, które pozostają identyczne przy zmianie układu współrzędnych, nie są wymienione.
| # | Konwencjonalna siatka | Niekonwencjonalne siatki | ||
|---|---|---|---|---|
| 5 | C 2 (wektory a , b , c ) | A 2 ( c , −b , a ) | A 2 ( -ac , b , a ) | ja 2 ( c , b , -ac ) |
| 7 | Pc (wektory a , b , c ) | Pa ( c , −b , a ) | Pn ( -ac , b , a ) | Pa ( c , b , -ac ) |
| 8 | Cm (wektory a , b , c ) | Jestem ( c , −b , a ) | Jestem ( -ac , b , a ) | Im ( c , b , -ac ) |
| 9 | Cc (wektory a , b , c ) | Aa ( c , −b , a ) | An ( -ac , b , a ) | Ia ( c , b , -ac ) |
| 12 | C 2 / m (wektory a , b , c ) | A 2 / m ( c , −b , a ) | A 2 / m ( -ac , b , a ) | I 2 / m ( c , b , -ac ) |
| 13 | P 2 / c (wektory a , b , c ) | P 2 / a ( c , −b , a ) | P 2 / n ( -ac , b , a ) | P 2 / a ( c , b , -ac ) |
| 14 | P 2 1 / c (wektory a , b , c ) | P 2 1 / a ( c , −b , a ) | P 2 1 / n ( -ac , b , a ) | P 2 1 / a ( c , b , -ac ) |
| 15 | C 2 / c (wektory a , b , c ) | A 2 / a ( c , −b , a ) | A 2 / n ( -ac , b , a ) | I 2 / a ( c , b , -ac ) |
W układzie rombowym wszystkie permutacje osi tworzących prosty trójścian pozostawiają niezmienioną objętość komórki. Gdy symbole Hermanna-Mauguina są zorientowane, notacja grupy przestrzennej może się zmieniać w zależności od permutacji osi:
- miejsce osi obrotowej lub śrubowej jest zgodne z kierunkiem, do którego jest równoległa;
- miejsce przekładu zwierciadła a , b lub c jest zgodne z kierunkiem, do którego jest prostopadłe, jego nazwa zależy od kierunku, w którym dokonywane jest przekład;
- nomenklatura krat Bravais zależy od położenia kierunków, które definiują wyśrodkowane ściany.
Jako przykład, poniższa tabela podaje niektóre konwencjonalne i niekonwencjonalne grupy przestrzenne dla układu rombowego.
| # | Konwencjonalna siatka | Niekonwencjonalne siatki | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 29 | Pca 2 1 (wektory a , b , c ) | Pb 2 1 a ( a , c , -b ) | P 2 1 ca ( c , b , -a ) | P 2 1 ab ( c , a , b ) | Pbc 2 1 ( b , -a , c ) | szt 2 1 b ( b , c , a ) |
| 40 | Ama 2 (wektory a , b , c ) | Jestem 2 a ( a , c , -b ) | C 2 cm ( c , b , -a ) | B 2 mb ( c , a , b ) | Bbm 2 ( b , -a , c ) | DW 2 m ( b , c , a ) |
| 43 | Fdd 2 (wektory a , b , c ) | Fd 2 d ( a , c , -b ) | F 2 dd ( c , b , -a ) | F 2 dd ( c , a , b ) | Fdd 2 ( b , -a , c ) | Fd 2 d ( b , c , a ) |
| 45 | Iba 2 (wektory a , b , c ) | Ic 2 a ( a , c , -b ) | ja 2 cb ( c , b , -a ) | ja 2 cb ( c , a , b ) | Iba 2 ( b , -a , c ) | Ic 2 a ( b , c , a ) |
| 53 | Pmna (wektory a , b , c ) | Pman ( a , c , -b ) | Pcnm ( c , b , -a ) | Pbmn ( c , a , b ) | Pnmb ( b , -a , c ) | Pncm ( b , c , a ) |
Wiele oczek
Uwagi i referencje
- The e- typ samolotu jest płaszczyzną poślizgu dwukrotnie, w dwóch różnych kierunkach, które istnieje tylko w pięciu rodzajach rombowy grup przestrzennych kratowych skoncentrowane. Dwa poślizgi są połączone wektorem translacji składowej ułamkowej. Użycie symbolu e stało się oficjalne wraz z piątym wydaniem tomu A Międzynarodowych Tablic Krystalograficznych (2002).
- (w) Międzynarodowe Tablice Krystalografii , tom. A: Symetria grup przestrzennych , Th. Hahn , Wydawnictwo Akademickie Kluwer,2005( Rozrod. Poprawiona), 5 th ed. ( ISBN 978-0-470-68908-0 ) , rozdz. 4.1.2.3
Bibliografia
- (en) Alan D. Mighell, „ Komórki konwencjonalne: komórki jednoskośne I- i C-centrowane ” , Acta Cryst. B , tom. 59 N O 22003, s. 300-302 ( DOI 10.1107 / S0108768103002829 )
Zobacz również
Powiązane artykuły
Link zewnętrzny
- (en) „ Grupa kosmiczna ” , w internetowym słowniku krystalografii IUCr (dostęp 27 sierpnia 2010 r. )