Do czysta matematyka (lub podstawowe matematyka ) obejmują operacje badania w matematyce motywowane przyczyn innych niż praktycznego zastosowania.
Czysta matematyka opiera się na zbiorze aksjomatów i systemie logicznym , oderwanym od doświadczenia i rzeczywistości. Jednak nierzadko zdarza się, że teorie opracowane bez celu praktycznego są później wykorzystywane do pewnych zastosowań, takich jak geometria riemannowska dla ogólnej teorii względności .
Matematycy starożytnej Grecji byli jednymi z pierwszych, którzy rozróżnili matematykę czystą i stosowaną .
Platon przyczynił się do powstania luki między „arytmetyką” a „logistyką”, zwaną obecnie arytmetyką . Platon uważał logistykę (arytmetykę) za odpowiednią dla biznesmenów i wojowników, którzy „muszą uczyć się sztuki liczb lub [nie będą] wiedzieli, jak rozmieścić [swoje] wojska]” i arytmetyki jako właściwe dla filozofów.
„Pewien student, zapytawszy kiedyś Euklidesa o pożytek z geometrii, słynny matematyk, obok siebie, nakazał niewolnikowi dać chłopcu kilka monet,„ żeby mógł zobaczyć użyteczność tego, czego się nauczył ”. To oczywiście legenda, ale […]. "
Apoloniusz z Perge argumentował we wstępie do piątej księgi Conics, że tematy jednego z nich „wydają się godne studiowania dla siebie”.
Sam termin jest częścią pełnego tytułu ambony sadleirienne , założony w połowie XIX -go wieku. Pomysł uczynienia czystej matematyki dyscypliną samą w sobie mógł pojawić się mniej więcej w tym czasie. Pokolenie Gaussa nie dokonuje radykalnego rozróżnienia między matematyką czystą a stosowaną .
Na początku XX th wieku matematycy wykorzystali metodę aksjomatyczną , silnym wpływem Davida Hilberta . Logiczne sformułowanie czystej matematyki zasugerowane przez Bertranda Russella wydawało się coraz bardziej wiarygodne, ponieważ duże części matematyki zostały zaksjomatyzowane, a zatem poddane rygorystycznym kryteriom dowodzenia.
W rzeczywistości, w ramach aksjomatycznych, rygor nie dodaje nic do idei demonstracji . Pokazana jest czysta matematyka z punktu widzenia, który można przypisać kolektywowi Bourbaki .
Centralnym pojęciem w czystej matematyce jest idea ogólności; czysta matematyka często wykazuje tendencję do większej ogólności.
Wpływ ogólności na intuicję jest zarówno zależny od podmiotu, jak i jest kwestią osobistych preferencji. Często ogólność jest postrzegana jako przeszkoda dla intuicji, ale z pewnością może jej pomóc.
Możemy wziąć jako przykład programu Erlangen , która opracowała rozszerzenie geometrii , aby pomieścić nieeuklidesowej geometrii , jak również domenę topologii i inne subdomeny geometrii, studiując geometrię jako naukę o przestrzeni z grupy z przemiany. Badanie liczb , na początku zwane algebrą , rozciąga się następnie na algebrę abstrakcyjną na bardziej zaawansowanym poziomie; oraz badanie funkcji , zwane na wczesnym etapie rachunkiem różniczkowym , następnie analiza matematyczna i analiza funkcjonalna na bardziej zaawansowanym poziomie. Każda z tych bardziej abstrakcyjnych gałęzi matematyki ma wiele poddziedzin, a między dyscyplinami czystej matematyki stosowanej istnieje wiele powiązań. Silny rozwój abstrakcji w środku zaobserwowano XX -go wieku.
Jednak w praktyce te ewolucje doprowadziły do silnych rozbieżności w fizyce , zwłaszcza w latach 1950-1983. Później rozbieżność ta była krytykowana, na przykład przez Vladimira Arnolda , ponieważ za dużo Hilberta , za mało Poincarégo .
Matematycy zawsze mieli rozbieżne opinie dotyczące rozróżnienia między matematyką czystą a stosowaną. Jeden z najbardziej znanych (ale prawdopodobnie niezrozumianych) współczesnych przykładów tej debaty znajduje się w A Mathematician's Apology , autorstwa GH Hardy'ego.
Powszechnie uważa się, że Hardy uważał matematykę stosowaną za brzydką i nudną. Chociaż prawdą jest, że Hardy woli czystą matematykę i że często porównywał ją do malarstwa i poezji , Hardy dostrzegał różnicę między matematyką czystą a stosowaną, która jest po prostu tym, że matematyka stosowana stara się wyrazić fizyczną prawdę w ramach matematycznych, podczas gdy czysta matematyka wyraża prawdy niezależne od świata fizycznego. W ten sposób Hardy rozróżnia matematykę między tym, co nazywa „prawdziwą„ matematyką ”, która ma trwałą wartość estetyczną”, a „nudnymi i elementarnymi częściami matematyki”, które mają praktyczne zastosowanie.
Hardy uważał niektórych fizyków, takich jak Einstein i Dirac , za jednych z „prawdziwych” matematyków, ale w czasie pisania Apologii uważał również, że ogólna teoria względności i mechanika kwantowa są dla niego „niepotrzebne”, twierdząc, że tylko „nudna” matematyka jest przydatny.
„ Platon jest ważny w historii matematyki w dużej mierze ze względu na swoją rolę jako inspiratora i dyrektora innych, i być może właśnie jemu zawdzięcza ostre rozróżnienie w starożytnej Grecji między arytmetyką (w sensie teorii liczb) a logistyką (techniką obliczenie). Platon uważał logistykę za odpowiednią dla biznesmena i wojownika, który „musi nauczyć się sztuki liczb, inaczej nie będzie wiedział, jak ustawić swoje wojska”. Z drugiej strony filozof musi być arytmetykiem, „ponieważ musi powstać z morza przemian i uchwycić się prawdziwego bytu”. "
„ W związku z twierdzeniami zawartymi w tej książce Apoloniusz stwierdza, że w jego czasach, podobnie jak w naszych czasach, byli ograniczeni przeciwnicy czystej matematyki, którzy pejoratywnie pytali o przydatność takich wyników. Autor z dumą zapewnił: „Są one godne akceptacji ze względu na same demonstracje, tak samo jak akceptujemy wiele innych rzeczy z matematyki z tego, a nie innego powodu”. (Heath 1961, s. Xxxiv).
Przedmowa do księgi V, odnosząca się do maksymalnych i minimalnych linii prostych nakreślonych stożkiem, ponownie dowodzi, że temat jest jednym z tych, które wydają się „warte przestudiowania dla ich własnego dobra”. Choć autora należy podziwiać za jego wyniosłą postawę intelektualną, można z trafnym wskazaniem stwierdzić, że ten dzień był piękny teoria, bez perspektywy zastosowania w nauce czy inżynierii jego czasów, od tego czasu stała się fundamentalna w takich dziedzinach, jak dynamika ziemska i mechanika niebieska. "