Siła dośrodkowa

Określenie siła dośrodkowa ( „która dąży do zbliżenia się do środka”, w języku łacińskim ) oznacza siłę umożliwiając utrzymanie przedmiotów w zakrzywiony tor , zwykle stożkowa ( koło , elipsa , paraboli , hiperboli ). W istocie, każdy obiekt kreślącego tego typu ma w cylindrycznym układzie współrzędnych w Nieskarbowych zerowego promieniowego przyspieszania , zwany dośrodkowego przyspieszenia , który jest skierowany do środka krzywizny . Z dynamicznego punktu widzenia The podstawową zasadą dynamiki (PFD), to wskazuje obecność siły promieniowej również skierowane w stronę środka krzywizny.

Siła ta jest w sensie Newtona rzeczywistą siłą , która może mieć różne pochodzenie, na przykład:

siła grawitacji (ruch planet );
napięcie siły (ruch kołowy masy przymocowanej do napiętego drutu, którego drugi koniec jest zwykle nieruchomy lub prawie).

Bez siły dośrodkowej obiekt nie może się obracać lub przestaje się obracać. W przykładzie przeciwnym, w przypadku uszkodzenia gwintu, kula zatrzymuje się obrót i kontynuuje przez proste bezwładności w ruch prostoliniowy , styczną do jego starej kołowej trajektorii. Jest to punkt widzenia obserwatora znajdującego się na zewnątrz obracającego się urządzenia (podobnie jak czytelnik patrzący na diagram - tym punktem odniesienia jest Galileusz ). Dla obserwatora znajdującego się w środku obrotu i obracającego się wraz z nim (odniesienie nie jest wtedy Galileuszem ) wyrzut kuli jest postrzegany inaczej, jako efekt działania siły zwanej siłą odśrodkową (mówi się, że siła odśrodkowa jest fikcyjna, ponieważ interweniuje tylko w obracającej się ramie, aby zinterpretować subiektywny efekt).

W układzie odniesienia Galileusza izolowane ciało ma, jeśli jest w ruchu, jednorodną prostoliniową trajektorię (stałą prędkość). Przemieszczanie go po eliptycznej ścieżce oznacza ciągłe odchylanie go, a zatem przykładanie do niego przez cały czas siły skierowanej w kierunku środka krzywizny. Siła ta jest następnie określana jako dośrodkowa. Odśrodkowy charakter siły nie jest samoistny , ale jest nadawany jej przez jej wpływ na trajektorię obiektu. Bardziej słuszne byłoby mówienie o sile z efektem dośrodkowym .

Konstrukcyjnie siła dośrodkowa jest promieniowa , skierowana w kierunku środka krzywizny , a jej intensywność jest odwrotnie proporcjonalna do promienia krzywizny toru w punkcie przyłożenia .

Podstawowa formuła

Prędkość wektor jest określone przez prędkość i kierunek ruchu. Jeżeli wypadkowa (czyli suma wektorów) sił przyłożonych do obiektu wynosi zero, obiekt ten nie przyspiesza i dlatego porusza się po linii prostej ze stałą prędkością: wektor prędkości jest stały. Z drugiej strony obiekt, który porusza się ze stałą prędkością i którego trajektoria jest kołem, nieustannie zmienia kierunek ruchu. Szybkość zmiany wektora prędkości nazywa się wówczas przyspieszeniem dośrodkowym .

To przyspieszenie dośrodkowe zależy od promienia r okręgu i od prędkości v obiektu. Im większa prędkość, tym większe przyspieszenie, więc im mniejszy promień, tym bardziej się zwiększa. Dokładniej, przyspieszenie dośrodkowe określa wzór ${\ vec a} _ {c}$

{\ vec a} _ {c} = - {\ frac {v ^ {2}} {r}} {\ hat {{\ mathbf {r}}}} = - {\ frac {v ^ {2}} {r}} {\ frac {{\ vec r}} {r}} = - \ omega ^ {2} {\ vec r}

gdzie ω = v / r jest prędkością kątową . Znak minus wskazuje, że kierunek tego przyspieszenia jest skierowany w stronę środka koła, czyli przeciwnie do wektora położenia . (Załóżmy, że początek okręgu znajduje się w środku okręgu.) Oznacz wektor jednostkowy w kierunku . $\ vec r$ $\ vec r$ ${\ hat {r}}$ $\ vec r$

Według drugiej zasady Newtona , siły fizyczne muszą być stosowane do masowej m wytworzenie takiego przyspieszenia. Siła potrzebna do poruszania się z prędkością v po okręgu o promieniu r wynosi: ${\ vec {F}} = m {\ vec {a}}$ ${\ vec F}$

{\ vec {F}} _ {c} = - {\ frac {mv ^ {2}} {r}} {\ hat {{\ mathbf {r}}}} = - {\ frac {mv ^ {2 }} {r}} {\ frac {{\ vec {r}}} {r}} = - m \ omega ^ {2} {\ vec {r}} = m {\ vec {\ omega}} \ times ({\ vec {\ omega}} \ times {\ vec {r}})

wyrażenie zostało sformułowane na różne równoważne sposoby. Oto wektor prędkości kątowej . Tutaj znowu znak ujemny wskazuje, że kierunek jest skierowany do wewnątrz, w kierunku środka koła i w kierunku przeciwnym do wektora promienia . Jeśli przyłożona siła jest mniejsza - odpowiednio silniejsza - niż , obiekt przesunie się na zewnątrz - odpowiednio do wewnątrz - poruszając się po większym okręgu, - ewent. mniejszy. ${\ vec {\ omega}}$ $\ vec {r}$ ${\ vec {F}} _ {c}$

Jeżeli przedmiot porusza się na okręgu ze zmienną prędkością, jego przyspieszenie może być podzielona na dwie części: przyspieszenie promieniowe (przyspieszenie dośrodkowe), która zmienia się kierunek prędkości pojazdu, a styczną składową która zmienia amplitudę w prędkości .

Przykłady

W przypadku satelity znajdującego się na orbicie wokół planety , siła dośrodkowa jest zapewniana przez przyciąganie grawitacyjne między satelitą a planetą i jest skierowane w kierunku środka masy obu obiektów.

Dla obiektu, zwisające z końcem liny i obracając się wokół pionowej osi obrotu , siła dośrodkowa jest pozioma składowa o napięciu liny, które działa w kierunku środka ciężkości między osią obrotu a przedmiotem..

W przypadku obiektu poruszającego się równomiernie po okręgu siła ta wynosi : $F = m \ times {\ frac {v ^ {2}} {r}}$

v jest prędkością i promieniem okręgu. $r$

Przykład liczbowy

Przykład: kula o masie 1 kg leci z prędkością 2 m / s w odległości 0,5 m od środkowego słupka, więc siła 8 niutonów (0,8 kg f ) ${\ Displaystyle 1 \ razy {\ Frac {2 ^ {2}} {0 {,} 5}} =}$

gdzie przekształcenie kilogram-siły jest wyrażona w sposób następujący: . ${\ Displaystyle {\ Frac {F} {g}} = {\ Frac {8 {\ rm {\ N}}} {9 {,} 8 {\ rm {\ m / s ^ {2}}}}} = 0 {,} 8 {\ rm {\ kg_ {f}}}}$

Powszechne zamieszanie

Siła dośrodkowa nie powinna być mylona z siłą odśrodkową . Ta ostatnia jest fikcyjną siłą zwaną bezwładnością, która interweniuje, gdy umieszcza się się w obracającym się układzie odniesienia , aby zinterpretować odległość ciała, które wymyka się temu obrotowi. Aby móc korzystać z praw Newtona, wskazane jest umieszczenie się w nie przyspieszonym układzie odniesienia , znanym jako układ odniesienia Galileusza . W takim układzie odniesienia siły bezwładności po prostu zanikają na rzecz jedynych sił rzeczywistych (nie fikcyjnych).

W układzie odniesienia Galileusza jesteśmy inercyjni, w układzie nie-Galileusza w wirówce, zatem nadal istnieje zamieszanie.

Siła dośrodkowa nie powinna być również mylona z siłą centralną . Siły centralne to klasa sił fizycznych między dwoma obiektami, które spełniają dwa warunki:

wielkość zależy tylko od odległości pomiędzy dwoma obiektami
kierunek wskazuje wzdłuż linii łączącej ośrodki tymi dwoma obiektami.

Na przykład siła grawitacji między dwiema masami lub siła elektrostatyczna między dwoma ładunkami elektrycznymi są siłami centralnymi. Siła dośrodkowa utrzymująca obiekt w ruchu okrężnym jest często siłą centralną, ale nie jedyną.

Siła dośrodkowa nie jest reakcją siły dośrodkowej. Reakcja siły dośrodkowej istnieje, ale w przypadku pary Ziemia-Księżyc rozpocznie się na przykład od Ziemi w kierunku Księżyca.

Wyprowadzenie geometryczne

Okrąg po lewej stronie przedstawia obiekt poruszający się po okręgu ze stałą prędkością w czterech różnych momentach na orbicie. Jego wektor pozycji to i jego wektor prędkości . ${\ vec {R}}$ ${\ vec {czas}}$

Wektor prędkości jest zawsze prostopadły do wektora położenia (ponieważ jest zawsze styczny do koła); więc, jak porusza się po okręgu, robi to samo. Ruch kołowy prędkości pokazano na rysunku po prawej stronie, wraz z ruchem przyspieszenia . Prędkość to szybkość zmiany położenia, przyspieszenie to szybkość zmiany prędkości. ${\ vec {czas}}$ ${\ vec {R}}$ ${\ vec {czas}}$ ${\ vec {R}}$ ${\ vec {czas}}$ ${\ vec {a}}$

Ponieważ położenie i prędkość wektory poruszać razem obracać wokół swoich odpowiednich koła w tej samej chwili , T . Tym razem jest pokonana odległość podzielona przez prędkość:

T = {\ frac {2 \ pi R} {v}}

i przez analogię

T = {\ frac {2 \ pi v} {a}}

Zrównując te dwa równania i rozwiązując dla , otrzymujemy: $w$

a = {\ frac {v ^ {{2}}} {R}}

Porównując dwa okręgi wskazują, że przyspieszenie szczytowym w kierunku środka koła R . Na przykład, w danej chwili wektor pozycji wskazuje godzinę 12, wektor prędkości wskazuje godzinę 9, która (patrząc na okrąg po prawej) ma wektor przyspieszenia wskazujący na godzinę 6. Zatem wektor przyspieszenia jest przeciwny do wektora położenia i wskazuje w kierunku środka koła. ${\ vec {R}}$ ${\ vec {czas}}$

Wyprowadzenie przez analizę

Inną strategią wyprowadzania jest użycie biegunowego układu współrzędnych , zakładając, że promień pozostaje stały, i wyprowadzać dwukrotnie.

Niech będzie wektorem opisującym położenie masy w czasie t . Ponieważ zakłada się, że ruch jest jednostajny kołowy, mamy gdzie r jest stały (promień koła) i jest wektorem jednostkowym wskazującym od początku do masy. Kierunek jest opisany przez θ , kąt między osią x (x) a wektorem jednostkowym, mierzony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara). Wyrażone w kartezjańskim układzie współrzędnych za pomocą wektorów jednostkowych (oś x , x ) i (oś y , y ), mamy ${\ vec {R}} (t)$ ${\ vec {R}} (t) = r \ cdot {\ hat {u}} _ {R}$ ${\ hat {u}} _ {R}$ $\ scriptstyle {\ hat {i}}$ $\ scriptstyle {\ hat {j}}$

{\ hat {u}} _ {R} = cos (\ theta) \ cdot {\ hat {i}} + sin (\ theta) \ cdot {\ hat {j}}

Uwaga: W przeciwieństwie do kartezjańskich wektorów jednostkowych, które są stałe, kierunek wektora jednostkowego we współrzędnych biegunowych zależy od kąta θ , a zatem jego pochodne zależą od czasu.

Różniczkując w celu uzyskania wektora prędkości:

{\ vec {v}} = r {\ frac {d {\ vec {u_ {R}}}} {dt}} \,

{\ vec {v}} = r {\ frac {d \ theta} {dt}} {\ vec {u _ {\ theta}}} \,

{\ vec {v}} = r \ omega {\ vec {u _ {\ theta}}} \,

gdzie ω kątowa prędkość dθ / dt, a jest wektorem jednostkowym, która jest prostopadła do i punkty, które w kierunku wzrastającej θ . We współrzędnych kartezjańskich mamy . ${\ hat {u}} _ {\ theta}$ ${\ hat {u}} _ {R}$ ${\ hat {u}} _ {\ theta} = - sin (\ theta) \ cdot {\ hat {i}} + cos (\ theta) \ cdot {\ hat {j}}$

Wynik ten wskazuje, że wektor prędkości jest skierowany dookoła koła i poprzez ponowne wyprowadzenie otrzymujemy przyspieszenie ${\ vec {a}}$

{\ vec {a}} = r \ left ({\ frac {d \ omega} {dt}} {\ vec {u _ {\ theta}}} - \ omega ^ {2} {\ vec {u_ {r }}} \ right) \,

I tak składowa promieniowa przyspieszenia to:

a R = - ω 2 r

Uwagi i odniesienia

( fr ) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu z Wikipedii w języku angielskim zatytułowanego „ Centripetal force ” ( zobacz listę autorów ) .

Zobacz też

Powiązane artykuły