Funkcja Leibniza

Ten artykuł jest szkicem dotyczącym geometrii .

Możesz dzielić się swoją wiedzą doskonaląc ją ( jak? ) Zgodnie z zaleceniami odpowiednich projektów .

W afinicznej lub geometrii euklidesowej , Leibniza wektory i skalarne funkcje, funkcje, które z punktów, kojarzy wektory (wektorach) i liczby (funkcja skalarna). Funkcje te są bardzo ściśle powiązane z pojęciami współrzędnych barycentrycznych i barycentrum .

Historyczny

Kiedy Leibniz przybył do Francji w 1672 roku, naprawdę odkrył algebrę geometryczną Viète, na którą do tej pory miał tylko przebłyski. Prawdopodobnie w nawiązaniu do Specjalnej Analizy Viète'a Leibniz nadaje badaniom, które prowadzi na tej samej zasadzie w geometrii, nazwę Analysis situs . Według Coxetera, Leibniz dzieli z Newtonem zaletę liberalizacji stosowania ujemnych współrzędnych w geometrii. Ale szuka bardziej ogólnej symboliki. W liście do Huygensa z dnia 8 września 1679 r. pisał: „ Nie zadowala mnie algebra (...) Uważam, że w odniesieniu do geometrii potrzebujemy innego rodzaju analizy, właściwie geometrycznej lub liniowej, która wyraża położenie jako bezpośrednio jako algebra wyraża ilość . "

Wątek badań Leibniza nad współliniowością punktów i pojęciem uogólnionego barycentrum został wznowiony dopiero w 1827 r. wraz z „obliczeniami barycentrycznymi” niemieckiego astronoma Augusta Ferdinanda Möbiusa , który jednak zajmuje się tylko operacjami na wyrównanych punktach. Dodanie segmentów niewspółliniowych jest spowodowane Hermannem Grassmannem ( Ausdehnungslehre , 1844); pojęcie dwupunktowej ekwiwalencji, według włoskiego Giusto Bellavitisa : te dwa pojęcia naprawdę oznaczają nadejście algebraicznego pojęcia wektora .

Badanie funkcji wektorowych i skalarnych Leibniza było częścią programu matury naukowej („seria C”) we Francji w latach 1971–1983.

Funkcja wektorowa Leibniza

Znajduje się w przestrzeni afinicznej E związanej z przestrzenią wektorową V . Bądźmy rodziną n punktów i rodziną n skalarów, nazywamy wektorową funkcję Leibniza związaną z systemem , mapą E w V, która w punkcie M łączy wektor ${\ styl wyświetlania (A_ {i}) _ {i = 1, \ cdots, n}}$ ${\ styl wyświetlania (a_ {i}) _ {i = 1, \ cdots, n}}$ ${\ displaystyle \ lewy \ {\ lewy (A_ {i}, a_ {i} \ prawy) _ {i = 1, \ cdots, n} \ prawy \}}$ ${\ displaystyle {\ vec {f}} (M) = \ suma _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} {\ overrightarrow {MA_ {i}}}}$

Jeśli suma współczynników wynosi zero, funkcja ta jest stała. Jeśli jeden ze współczynników jest niezerowy (na przykład $a$ $1$ ), ta stała jest równa gdzie $G$ $1$ jest barycentrum układu ${\ styl wyświetlania \ suma _ {i = 1} ^ {n} a_ {i}}$ ${\ displaystyle a_ {1} {\ overrightarrow {G_ {1} A_ {1}}}}$ ${\ displaystyle \ lewy \ {\ lewy (A_ {i}, a_ {i} \ prawy) _ {i = 2, \ cdots, n} \ prawy \}}$

Jeżeli suma współczynników nie jest równa zeru, funkcja ta jest uproszczona do ${\ styl wyświetlania \ suma _ {i = 1} ^ {n} a_ {i}}$

{\ displaystyle {\ vec {f}} (M) = \ lewo (\ suma _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} \ prawo) {\ overrightarrow {MG}}}

gdzie G jest barycentrum systemu punktów ważonych . ${\ displaystyle \ lewy \ {\ lewy (A_ {i}, a_ {i} \ prawy) _ {i = 1, \ cdots, n} \ prawy \}}$

Ta ostatnia właściwość umożliwia zredukowanie kombinacji liniowej kilku wektorów do jednego wektora dzięki barycentrum. Umożliwia również podanie współrzędnych barycentrum, gdy przestrzeń ma skończone wymiary.

Rzeczywiście . ${\ displaystyle {\ overrightarrow {OG}} = {\ frac {1} {\ suma _ {i = 1} ^ {n} a_ {i}}} {\ vec {f}} (O) = {\ frac {1} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i}}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} {\ overrightarrow {OA_ {i}}}}$

Co przekłada się na współrzędne jako . ${\ displaystyle x_ {G, k} = {\ frac {1} {\ suma _ {i = 1} ^ {n} a_ {i}}} \ suma _ {i = 1} ^ {n} a_ {i } x_ {A_ {i}, k}}$

Funkcja skalarna Leibniza

Jest to uogólnienie w n punktach rozwiązania, które podał Leibniz dla geometrycznego miejsca w swojej Charakterystyce Geometrycznej (patrz twierdzenie Leibniza ).

Umieszczamy się w euklidesowej przestrzeni afinicznej . Mając rodzinę n punktów i rodzinę n skalarów, nazywamy funkcję skalarną Leibniza związaną z systemem , mapą E, w której w punkcie M łączymy skalar ${\ styl wyświetlania (A_ {i}) _ {i = 1 \ cdots n}}$ ${\ styl wyświetlania (a_ {i}) _ {i = 1 \ cdots n}}$ ${\ displaystyle \ lewy \ {\ lewy (A_ {i}, a_ {i} \ prawy) _ {i = 1 \ cdots n} \ prawy \}}$ $\ mathbb {R}$ ${\ displaystyle f (M) = \ suma _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} MA_ {i} ^ {2}}$

Jeżeli suma współczynników wynosi zero, funkcja ta jest uproszczona do

{\ displaystyle f (M) = f (O) +2 {\ overrightarrow {MO}} \ cdot {\ vec {u}}}

gdzie jest stałą równą funkcji wektorowej Leibniza związanej z systemem i gdzie O jest arbitralnie ustalonym punktem. ${\ vec {u}}$

Jeżeli suma współczynników nie jest równa zeru, funkcja ta jest uproszczona do

{\ displaystyle f (M) = f (G) + \ lewo (\ suma _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} \ prawo) MG ^ {2}}

gdzie G jest barycentrum systemu . ${\ displaystyle \ lewy \ {\ lewy (A_ {i}, a_ {i} \ prawy) _ {i = 1 \ cdots n} \ prawy \}}$

Przykład : w wymiarze 2 zbiór punktów M taki, że f ( M ) = k 'jest

w przypadku, gdy suma współczynników wynosi zero
- linia prostopadła do if jest niezerowa ${\ vec {u}}$ ${\ vec {u}}$
- całą płaszczyznę lub pusty zbiór (w zależności od wartości k ) jeśli wynosi zero ${\ vec {u}}$
w przypadku, gdy suma współczynników nie wynosi zero
- okrąg ze środkiem G , punktem G lub pustym zbiorem (w zależności od wartości k )

Uwagi

Por. Paul Mouy , Rozwój fizyki kartezjańskiej (1646-1712) , Paryż, Libr. Vrin,1934, „4. Fizyka antykartezjańska”
HSM Coxeter, Wprowadzenie do geometrii , Wiley & Sons, coll. "Biblioteka Wiley Classics",1961( przedruk 1969,1980) ( ISBN 0471504580 ) , "8. Współrzędne"
Cytowany przez Jörga Liesena, „ Hermann Grassmann i podstawy algebry liniowej ” , na konferencji SIAM poświęconej stosowanej algebrze liniowej , Monterey, Kalifornia,październik 2009(dostęp 9 maja 2021 r . ) . List ten, który ukazał się dopiero w 1833 r., miał więc z pewnością niewielki wpływ na dalsze wydarzenia.
Jeanne Peiffer i Amy Dahan-Dalmedico, A History of Mathematics: Roads and Dedales , Paris, Éditions vivantes,1982( ISBN 978-2731041125 ) , „Nowe obiekty, nowe prawa”, s. 285.
Coll., " Dziennik Urzędowy z 24 czerwca 1971 - Program matematyczny dla klas terminalowych C i E " [PDF] , na Eklablog
Thuizat, Girault i Aspeele, Klasy matematyczne Terminales C i E , tom. III: Geometria , Technika i popularyzacja, coll. "Nowa kolekcja Durande",1979, „35. Przestrzenie afiniczne – barycentrum”, s. 97
Leibniz ( tłumacz Marc Parmentier), Charakterystyka geometryczna , Paryż, J. Vrin, coll. „Mateza”,1995( przedruk. tekst przygotowany i opatrzony adnotacjami Javier Echeverría) ( ISBN 2-7116-1228-7 ).
Według Thuizata i in. op. cyt. , s.106