Współrzędne barycentryczne

W geometrii afinicznej , że barycentryczne współrzędne punktu w odniesieniu do barycentrycznej ramki odniesienia są rodziny o masach co można określić ten punkt jako środka ciężkości .

Definicje

Zasada afiniczna

Skończona rodzina $( P 0 , ..., P k )$ punktów w afinicznej przestrzeni E nazywa wolny wyrafinowanie , lub te punkty nazywane są niezależne wyrafinowania , gdy żaden z punktów $P i$ należy do afinicznej podprzestrzeni generowanej przez innych k punktów . W przeciwnym razie mówi się o połączonym udoskonaleniu . Na przykład dwa różne punkty tworzą dowolną rodzinę wygładzania, podobnie 3 punkty nie wyrównane i 4 punkty nierównopłaszczyznowe.

W równoważny sposób skończona rodzina $( P 0 ,\dots, P k )$ jest wygładzeniem swobodnym, gdy spełniony jest jeden z następujących warunków:

żaden z punktów $P i nie$ jest środkiem ciężkości pozostałych punktów;
rodzina wektorów jest wolna (lub analogiczny warunek przyjmujący dowolny z $P$ $i$ jako początek). ${\ displaystyle \ left ({\ overrightarrow {P_ {0} P_ {1}}}, {\ overrightarrow {P_ {0} P_ {2}}}, \ dots, {\ overrightarrow {P_ {0} P_ {k }}} \ dobrze)}$

Jak wynika z drugiego warunku i od właściwości wolnych rodzin z przestrzeni wektorowej , że wolny rodzina wyrafinowanie o afinicznej przestrzeni skończonego wymiaru n jest rzędu co najwyżej n + 1. Następnie wywołujemy pokrewieństwa bazy (i bardzo często affine odniesienia ) maksymalna rodzina swobodnego uszlachetniania, a drugim warunkiem staje się:

$( P 0 ,\dots, P n )$ jest bazą afiniczną przestrzeni afinicznej E wtedy i tylko wtedy, gdy jest podstawą wektorową kierunku E , to znaczy wtedy i tylko wtedy, gdy $P$ $0$ wyposażony w wektory tej rodziny jest afinicznym rama (często nazywana kartezjańskiego układu współrzędnych ) z E . ${\ displaystyle \ left ({\ overrightarrow {P_ {0} P_ {1}}}, {\ overrightarrow {P_ {0} P_ {2}}}, \ dots, {\ overrightarrow {P_ {0} P_ {n }}} \ dobrze)}$

Afinicznej podstawę o afinicznej przestrzeni E skończonych wymiarach n jest zatem wolny rodziny afiniczne $( P 0 , ..., p k )$ z n + 1 punkt. Zatem 2 różne punkty prostej tworzą podstawę afiniczną tej jednej, 3 nie wyrównane punkty płaszczyzny tworzą podstawę afiniczną tej płaszczyzny, 4 nie-współpłaszczyznowe punkty przestrzeni o wymiarze 3 podstawę tej płaszczyzny itd.

Afinicznej przestrzeń generowany przez $( P 0 , ..., p n )$ , to jest najmniejszą afinicznej podprzestrzeń zawierające te punkty stanowi cała przestrzeń afinicznej e jeśli punkty te stanowią podstawę afinicznej E .

Współrzędne barycentryczne

Lub $( P 0 , ..., P n )$ afinicznym podstawa, zwany także barycentryczne góry lub afiniczne o przestrzeń afiniczna E . Wówczas dowolny punkt M przestrzeni afinicznej można zapisać jako środek barycentrum punktów odniesienia, czyli istnieje n + 1 skalarów spełniających: ${\ Displaystyle (\ lambda _ {0}, \ kropki, \ lambda _ {n})}$

{\ displaystyle \ lambda _ {0} {\ overrightarrow {MP_ {0}}} + \ lambda _ {1} {\ overrightarrow {MP_ {1}}} + \ dots + \ lambda _ {n} {\ overrightarrow { MP_ {n}}} = {\ overrightarrow {0}}}

{\ Displaystyle \ lambda _ {0} + \ lambda _ {1} + \ kropki + \ lambda _ {n} \ neq 0}

a ponadto dwa systemy skalarne weryfikujące to są wielokrotnościami siebie.

Następnie nazywa się barycentryczne współrzędne lub współczynniki barycentryczne punktu M takim układem „wagi” , a współrzędne barycentryczne M nie są unikalne, a jedynie niepowtarzalne, z wyjątkiem niezerowego współczynnika mnożenia . Można je zdefiniować w unikalny sposób, ustalając sumę współrzędnych na 1: mówi się, że takie współrzędne są znormalizowane . ${\ Displaystyle (\ lambda _ {0}, \ kropki, \ lambda _ {n})}$

W planie

Na płaszczyźnie trzy wierzchołki niespłaszczonego trójkąta ABC tworzą barycentryczny układ współrzędnych. Jego środek ciężkości G jest punktem o współrzędnych barycentrycznych (1,1,1) w odniesieniu do układu współrzędnych ( A , B , C ).

Oznaczając I punkt środkowy [ BC ], G ma współrzędne barycentryczne (1,2) w odniesieniu do układu współrzędnych ( A , I ) prostej ( AI ).

W tym trójkącie punkt I ma współrzędne (0,1,1) w odniesieniu do układu współrzędnych ( A , B , C ).

Pojęcie obszaru, choć często wprowadzane w geometrii euklidesowej, jest pojęciem afinicznym. Mówiąc dokładniej, jest to algebraiczny obszar trójkąta zorientowanego na płaszczyźnie, którą definiujemy, powiązany z obszarem zorientowanego trójkąta wybranego jako jednostka (lub równoległoboku podstawy złożonej z dwóch wektorów, kolejność wektorów nie jest obojętna). W rzeczywistości jest to stosunek obszarów algebraicznych w tej samej płaszczyźnie, który jest określony przez wyznacznik .

Można wtedy zinterpretować współrzędne barycentryczne w płaszczyźnie w kategoriach pola powierzchni.

Współrzędne barycentryczne, wyznacznik i obszar

Niech ABC będzie niepłaskim trójkątem, czyli ( A , B , C ) jest barycentrycznym układem współrzędnych. Wtedy dowolny punkt płaszczyzny trójkąta P ma dla współrzędnych trzy następujące wyznaczniki (odnoszące się do dowolnej podstawy płaszczyzny):

{\ displaystyle \ alpha = \ left | {\ overrightarrow {PB}}, {\ overrightarrow {PC}} \ right |, \ \ beta = \ left | {\ overrightarrow {PC}}, {\ overrightarrow {PA}} \ right |, \ \ gamma = \ left | {\ overrightarrow {PA}}, {\ overrightarrow {PB}} \ right |}

co znaczy :

{\ displaystyle \ alpha {\ overrightarrow {PA}} + \ beta {\ overrightarrow {PB}} + \ gamma {\ overrightarrow {PC}} = {\ overrightarrow {0}}}

{\ displaystyle \ alpha + \ beta + \ gamma = \ lewo | {\ overrightarrow {PB}}, {\ overrightarrow {PC}} \ right | + \ left | {\ overrightarrow {PC}}, {\ overrightarrow {PA }} \ right | + \ left | {\ overrightarrow {PA}}, {\ overrightarrow {PB}} \ right | = \ left | {\ overrightarrow {AB}}, {\ overrightarrow {AC}} \ right | \ neq 0}

Jeśli wybrana podstawa jest taka , są one zatem zadowalającymi znormalizowanymi współrzędnymi $(α, β, γ)$ ${\ displaystyle \ left ({\ overrightarrow {AB}}, {\ overrightarrow {AC}} \ right)}$

\ alpha + \ beta + \ gamma = 1

a te znormalizowane współrzędne są interpretowane jako algebraiczne stosunki powierzchni w następujący sposób:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadków} \ alpha = {\ Frac {Obszar (PBC)} {Obszar (ABC)}} \\\ beta = {\ Frac {Obszar (APC)} {Obszar (ABC)}} \ \\ gamma = {\ frac {Aire (ABP)} {Aire (ABC)}}. \ end {przypadki}}}

W rzeczywistej geometrii zwykłym obszarem geometrycznym jest wartość bezwzględna obszaru algebraicznego. Wynik jest ważny dla obszaru geometrycznego, jeśli punkt znajduje się wewnątrz trójkąta. Jeśli jest na zewnątrz, znaki współczynników zależą od orientacji rozpatrywanych trójkątów (dodatnia, jeśli orientacja jest taka sama, jak w trójkącie ABC , ujemna w przeciwnym razie, patrz diagram).

Przykłady

Oto barycentryczne współrzędne niektórych niezwykłych punktów trójkąta:

${\ displaystyle A (1, 0, 0)}$
${\ Displaystyle B (0, 1, 0)}$
${\ Displaystyle C (0,0,1)}$
środek ${\ Displaystyle [BC] \, (0,1,1)}$
środek ${\ displaystyle [CA] \, (1, 0,1)}$
środek ${\ Displaystyle [AB] \, (1, 1, 0)}$
Środek ciężkości ${\ Displaystyle G (1, 1; 1)}$
środek wpisanego koła lub ${\ Displaystyle I (a, b, c)}$ ${\ Displaystyle (\ sin {\ widehat {A}}, \ sin {\ widehat {B}}, \ sin {\ widehat {C}}).}$
środek okręgu opisanego lub lub . ${\ Displaystyle O (a \ cos {\ widehat {A}}, b \ cos {\ widehat {B}}, c \ cos {\ widehat {C}})}$ ${\ Displaystyle (\ sin 2 {\ kapelusz {A}}, \ sin 2 {\ kapelusz {B}}, \ sin 2 {\ kapelusz {C}})}$ ${\ Displaystyle \ lewo (a ^ {2} (b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}), b ^ {2} (c ^ {2} + a ^ {2} -b ^ {2}), c ^ {2} (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}) \ right)}$
orthocenter lub ${\ Displaystyle H (a / \ cos {\ widehat {A}}, b / \ cos {\ widehat {B}}, c / \ cos {\ widehat {C}})}$ ${\ displaystyle (\ tan {\ widehat {A}}, \ tan {\ widehat {B}}, \ tan {\ widehat {C}})}$
środek kręgu Eulera ${\ Displaystyle \ Omega (a \ cos ({\ widehat {B}} - {\ widehat {C}}), b \ cos ({\ widehat {C}} - {\ widehat {A}}), c \ cos ({\ widehat {A}} - {\ widehat {B}}))}$
punkt symédian ${\ Displaystyle (a ^ {2}, b ^ {2}, c ^ {2})}$

Barycentryczne współrzędne tysięcy niezwykłych punktów trójkąta można znaleźć w Encyclopedia of Triangle Centers (ETC) .

Wypukłość

Wypukłe kadłuba z zestawu punktów E gromadzi wszystkie punkty przyznając barycentryczne współrzędnych o współczynnikach wszystkie pozytywne w odniesieniu do rodziny punktach E .

Połącz ze współrzędnymi kartezjańskimi

W przestrzeni wektorowej wyposażonej w bazę rodzina wektorów stanowi barycentryczny układ odniesienia dla kanonicznej struktury przestrzeni afinicznej, a dowolny wektor współrzędnych względem podstawy odpowiada afinicznemu punktowi współrzędnych barycentrycznych , gdzie $s$ jest sumą współczynniki . ${\ displaystyle (e_ {1}, \ kropki, e_ {n})}$ ${\ displaystyle (0, e_ {1}, \ kropki, e_ {n})}$ $(\ lambda _ {1}, \ dots, \ lambda _ {n})$ ${\ displaystyle (e_ {1}, \ kropki, e_ {n})}$ ${\ Displaystyle (1-s, \ lambda _ {1}, \ kropki, \ lambda _ {n})}$ $\ lambda _ {i}$

Połącz ze współrzędnymi rzutowymi

W rzutowe współrzędne mogą być interpretowane jako barycentryczne współrzędnych znakiem utworzonym z pochodzenia i punktów w nieskończoności osi.

Uwagi i odniesienia

Na przykład Ladegaillerie 2003 , s. 27-28, a dla całego ust.
Ladegaillerie 2003 , s. 24.
Ladegaillerie 2003 , s. 49.
Marcel Berger , Geometry [ szczegóły wydań ], Prop. 11.1.8.4, tom 3, s. 26 w wydaniu z 1978 r.

Bibliografia

Yves Ladegaillerie, Geometria: afiniczna, rzutowa, euklidesowa i anallagmatyczna , Paryż, elipsy ,2003, 515 s. ( ISBN 2-7298-1416-7 ).
Jean-Denis Eiden, Klasyczna geometria analityczna , Calvage & Mounet, 2009 ( ISBN 978-2-916352-08-4 )
Mała encyklopedia matematyki , wyd. Didier
Jean Fresnel, Nowoczesne metody w geometrii

Zobacz też

Powiązane artykuły

Linki zewnętrzne

Barycentryczne współrzędne ważnych punktów w trójkącie w witrynie internetowej poświęconej matematyce.
Kurs na temat współrzędnych barycentrycznych prowadzony przez Jeana-Louisa Tu w ramach przygotowań do Olimpiady Matematycznej .
Metody określania przynależności punktu w trójkącie o współrzędnych barycentrycznych .