W matematyce , a dokładniej w topologii , aplikacja otwarta to aplikacja między dwiema przestrzeniami topologicznymi, która przesyła otwory z jednej do otworów z drugiej. Podobnie, zamknięta aplikacja wysyła zamknięte z pierwszej przestrzeni do zamkniętej z drugiej.
Niech będą dwiema przestrzeniami topologicznymi X i Y ; powiedzieć, że mapa F od X do Y jest otwarty , gdy dla każdej otwartej litery U z X The obrazu F ( u ) jest otwarty w Y ; Analogicznie, mówi się, że F jest zamknięta , gdy dla zamknięte U z X , obrazu F ( u ) jest zamknięty w Y .
W obu przypadkach nie jest konieczne, aby f był ciągły ; chociaż definicje mogą wydawać się podobne, są otwarte lub zamknięte odgrywają znacznie mniejszą rolę w topologii że ciągłych zastosowań, gdzie jest on odwrotny obraz z dowolnego otwarty od Y , który musi być otwarty X .
Mówi się, że mapa f : X → Y jest względnie otwarta, jeśli jej zwężenie wewnętrzne X → f ( X ) jest otwarte.
Mapa f : X → Y jest otwarta wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich x z X i dla całego sąsiedztwa U z x , f ( U ) jest otoczeniem f ( x ).
Aby pokazać aplikacji jest otwarty, po prostu sprawdzić go na podstawie wstępnego przestrzeni X . Innymi słowy, f : X → Y jest otwarte wtedy i tylko wtedy, gdy obraz przez f każdego otwarcia bazy X jest otwarty.
Aplikacje otwarte i zamknięte można również scharakteryzować pod względem wnętrz i przyczepności . Mapa f : X → Y to:
Składa się z dwóch otwartych aplikacji jest otwarty, składa się z dwóch zamkniętych aplikacji jest zamknięty.
Produkt z dwóch otwartych tras jest otwarty, ale w ogóle, iloczyn dwóch zamkniętych tras nie jest zamknięta.
Dla każdego bijekcji f : X → Y odwrotność bijekcji f −1 : Y → X jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy f jest otwarte (lub zamknięte, co jest równoważne z bijekcją).
Jeśli f : X → Y jest ciągłą mapą, która jest otwarta lub zamknięta, to:
W pierwszych dwóch przypadkach otwarcie lub zamknięcie jest tylko warunkiem wystarczającym; jest to również warunek konieczny w tym drugim przypadku.
Często warto mieć warunki gwarantujące, że aplikacja jest otwarta lub zamknięta. Poniższe wyniki należą do najczęściej używanych.
Każda ciągła aplikacja z niewielkiej przestrzeni do oddzielnej przestrzeni jest (dlatego czysta) zamknięta.
W analizy funkcjonalnej The twierdzenie Banacha-Schauder (znany również jako otwartym Mapa tw) mówi, że każdy suriekcją ciągły operator liniowy między przestrzenie Banacha jest otwarty na mapie.
W analizie złożonej twierdzenie o otwartym obrazie mówi, że dowolna niestała funkcja holomorficzna zdefiniowana na połączonym otworze płaszczyzny zespolonej jest otwartą mapą.
W geometrii różniczkowej część twierdzenia o inwersji lokalnej mówi, że w sąsiedztwie tego punktu otwartą aplikacją jest funkcja ciągła różniczkowalna między przestrzeniami euklidesowymi, których macierz Jakobiana jest odwracalna w danym punkcie. Bardziej ogólnie, jeśli mapa F : U → R m otwartego U ⊂ R n w R m jest taka, że różnica d F ( x ) jest suriektywna w dowolnym punkcie x ∈ U , to F jest mapą otwartą.
Wreszcie, twierdzenie o niezmienniczości domeny (ze względu na Brouwera i używając jego słynnego twierdzenia o punkcie stałym ) mówi, że ciągła i lokalnie iniekcyjna mapa między dwoma rozmaitościami topologicznymi o tym samym wymiarze skończonym jest otwarta.
N. Bourbaki , Elements of mathematics, book III: General topology [ szczegóły wydań ], rozdz. I, § 5