Równanie Poissona

W analizy wektorowej , równanie Poissona (nazwana tak w cześć francuskiego matematyka i fizyka Siméon Denis Poissona ) jest następujący drugiego rzędu eliptyczny równanie różniczkowe cząstkowe :

Δϕ=fa{\ Displaystyle \ Displaystyle \ Delta \ phi = f}

gdzie jest operatorem Laplaciana i jest ogólnie podanym rozkładem. Δ{\ Displaystyle \ Displaystyle \ Delta}fa{\ Displaystyle \ Displaystyle f}

W domenie ograniczonym i regularnym granicy, problem znalezienia od i spełniających pewne odpowiednie brzegowe warunki to zagadnienie poprawnie postawione  : rozwiązanie istnieje i jest niepowtarzalny. RNIE{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {N}}ϕ{\ Displaystyle \ Displaystyle \ phi}fa{\ Displaystyle \ Displaystyle f}

Ten problem jest ważny w praktyce:

• W elektrostatyce klasyczne sformułowanie (patrz równanie Poissona-Boltzmanna ) wyraża potencjał elektryczny związany ze znanym rozkładem ładunków za pomocą zależnościV{\ Displaystyle \ Displaystyle V} ρ{\ displaystyle \ displaystyle \ rho}

ΔV=-ρε0.{\ displaystyle \ Delta V = - {\ rho \ over \ varepsilon _ {0}}.}

• W powszechnej grawitacji The potencjał grawitacyjny jest związana z gęstością przez relacjęΦ{\ Displaystyle \ Displaystyle \ Phi} ρ{\ displaystyle \ displaystyle \ rho}

ΔΦ=4πsolρ{\ Displaystyle \ Displaystyle \ Delta \ Phi = 4 \ pi \, G \, \ rho}

• W mechanice płynów dla przepływów nieściśliwych ciśnienie jest związane z polem prędkości za pomocą równania Poissona. Na przykład w 2D, odnotowując składowe pola prędkości , relację zapisujemy:p{\ displaystyle p}u{\ displaystyle {\ boldsymbol {u}}}u=(ux,uy){\ Displaystyle {\ boldsymbol {u}} = (u_ {x}, u_ {y})}

Δp=-1ρ((∂ux∂x)2+2∂ux∂y∂uy∂x+(∂uy∂y)2),{\ Displaystyle \ Delta p = - {1 \ over \ rho} \ lewo (\ lewo ({\ Frac {\ częściowe u_ {x}} {\ częściowe x}} \ prawo) ^ {2} +2 {\ Frac {\ częściowe u_ {x}} {\ częściowe y}} {\ frac {\ częściowe u_ {y}} {\ częściowe x}} + \ left ({\ frac {\ częściowe u_ {y}} {\ częściowe y }} \ right) ^ {2} \ right),}

gdzie jest gęstość płynu. ρ{\ displaystyle \ rho}

Warunki do granic

Równanie Poissona niewrażliwe na dodaniu w funkcji zgodnej z równania Laplace'a (lub prosty funkcją liniową , na przykład), A warunkiem brzegowym należy oczekiwać unikalności rozwiązania: na przykład Dirichlet warunków , te Neumann i różnej warunki dotyczące części granicy . ϕ{\ Displaystyle \ Displaystyle \ phi}

Dwuwymiarowe równanie Poissona

We współrzędnych kartezjańskich w rozważmy funkcję otwartą , ciągłą i ciągłą na granicy . Problem polega na znalezieniu funkcji dwóch zmiennych rzeczywistych, na których są spełnione dwie zależności: R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}Ω{\ Displaystyle \ Displaystyle \ Omega}fa{\ Displaystyle \ Displaystyle f}Ω{\ Displaystyle \ Displaystyle \ Omega}sol{\ displaystyle \ displaystyle g}∂Ω{\ Displaystyle \ częściowe \ Omega}φ(x,y){\ Displaystyle \ varphi (x, y)}Ω{\ Displaystyle \ Displaystyle \ Omega}

∂2∂x2φ(x,y)+∂2∂y2φ(x,y)=fa(x,y){\ Displaystyle {\ częściowe ^ {2} \ ponad \ częściowe x ^ {2}} \ varphi (x, y) + {\ częściowe ^ {2} \ ponad \ częściowe y ^ {2}} \ varphi (x, y) = f (x, y)}dalej i dalejΩ{\ Displaystyle \ Displaystyle \ Omega}φ=sol{\ displaystyle \ varphi = g}∂Ω.{\ Displaystyle \ częściowe \ Omega.}

Preparat ten jest model matematyczny tego statycznego problemu rozciągliwej i elastycznej błony załadowanego (A bębna skóry ):

• fa{\ Displaystyle \ Displaystyle f}jest gęstością ładunku (wyrażoną na przykład w Pa , jest to wielokrotność charakteryzująca właściwości sprężyste membrany);
• sol{\ displaystyle \ displaystyle g} jest wymiarem (wzrostem pionowym) wzdłuż granicy wiązania membrany;
• rozwiązanie wskazuje ocenę membrany w .φ(x,y){\ Displaystyle \ varphi (x, y)}Ω{\ Displaystyle \ Displaystyle \ Omega}

Elementy uzasadnienia

Jednowymiarowy, jest to obciążony elastyczny sznurek przymocowany na obu końcach.

Na małym elemencie rozważ równowagę statyczną między dwiema siłami trakcji i liny (odpowiednio po lewej i po prawej stronie), a następnie zanotuj siłę obciążenia indukowaną przez liniową gęstość obciążenia  : [x-δx,x+δx]{\ Displaystyle \ Displaystyle [x- \ delta x, x + \ delta x]}fa→1{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {1}}fa→2{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {2}}fa→sol{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {G}}ρ(x){\ Displaystyle \ Displaystyle \ rho (x)}

• fa→1=-(fa1/δx)(δxφ(x)-φ(x-δx)),{\ Displaystyle {\ vec {F}} _ {1} = - (F_ {1} / \ delta x) {\ początek {pmatrix} \ delta x \\\ varphi (x) - \ varphi (x- \ delta x) \ end {pmatrix}},}
• fa→2=(fa2/δx)(δxφ(x+δx)-φ(x)),{\ Displaystyle {\ vec {F}} _ {2} = (F_ {2} / \ delta x) {\ rozpocząć {pmatrix} \ delta x \\\ varphi (x + \ delta x) - \ varphi (x ) \ end {pmatrix}},}
• fa→sol=(0-2ρ(x)δx).{\ Displaystyle {\ vec {F}} _ {G} = {\ początek {pmatrix} 0 \\ - 2 \ rho (x) \ delta x \ koniec {pmatrix}}.}

Nie ograniczając ogólności, czynniki i zostały podzielone przez , aby zachować ich niezróżnicowaną wielkość. fa1{\ Displaystyle \ Displaystyle F_ {1}}fa2{\ Displaystyle \ Displaystyle F_ {2}}δx{\ Displaystyle \ Displaystyle \ delta x}

Suma wektorów tych sił prowadzi do równości:

• fa1=fa2{\ Displaystyle \ Displaystyle F_ {1} = F_ {2}}który można nazwać współczynnikiem niezależnym, ponieważ wszystkie składowe poziome są kompensowane i odzwierciedlane tylko w punktach mocowania,2k{\ Displaystyle 2 \ Displaystyle k}x{\ Displaystyle \ Displaystyle x}
• 2kδx[φ(x+δx)-2φ(x)+φ(x-δx)]=2ρ(x)δx{\ Displaystyle {2k \ ponad \ delta x} [\ varphi (x + \ delta x) -2 \ varphi (x) + \ varphi (x- \ delta x)] = 2 \ rho (x) \ delta x}który, gdy zmierza do 0, jest zapisywanyδx{\ displaystyle \ delta x}kφ″(x)=ρ(x).{\ Displaystyle k \, \ varphi '' (x) = \ rho (x).}

Ta ostatnia relacja jest rzeczywiście jednowymiarowym równaniem Poissona.

Słabe sformułowanie i rozwiązanie

Niech będzie domeną otwartą i ograniczoną, której granica jest dostatecznie regularna, aby spełnić twierdzenie o dywergencji . Niech wektor będzie normalny i skierowany na zewnątrz. Ω{\ Displaystyle \ Displaystyle \ Omega}RNIE{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {N}}∂Ω{\ Displaystyle \ częściowe \ Omega}nie{\ displaystyle \ mathbf {n}}∂Ω{\ Displaystyle \ częściowe \ Omega}

Niech będzie funkcją , wtedy i funkcjami ciągłymi zdefiniowanymi na . fa{\ Displaystyle \ Displaystyle f}L2(Ω){\ Displaystyle \ Displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}sol{\ displaystyle \ displaystyle g}α>0{\ displaystyle \ alpha> 0}∂Ω{\ Displaystyle \ częściowe \ Omega}

Szukamy rozwiązania dla każdego z następujących problemów: ϕ{\ Displaystyle \ Displaystyle \ phi}

-Δϕ=fa{\ Displaystyle \ Displaystyle - \ Delta \ phi = f} pewnie Ω{\ Displaystyle \ Displaystyle \ Omega} spełniający jeden z warunków dotyczących  :∂Ω{\ Displaystyle \ częściowe \ Omega}

1. ϕ=0{\ Displaystyle \ Displaystyle \ phi = 0}
2. ∇ϕ⋅nie=sol{\ Displaystyle \ nabla \ phi \ cdot \ mathbf {n} = g}i (aby ustalić addytywną stałą nieokreśloności)∫ΩϕreV=0{\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} \ phi \, \ mathrm {d} V = 0}
3. ∇ϕ⋅nie+αϕ=0{\ Displaystyle \ nabla \ phi \ cdot \ mathbf {n} + \ alpha \ phi = 0}

Dla każdej funkcji regularnej relacja ψ{\ Displaystyle \ Displaystyle \ psi}

rejav(ψ∇ϕ)=∇ϕ⋅∇ψ+ψΔϕ{\ Displaystyle {\ mathrm {div}} (\ psi \, \ nabla \ phi) = \ nabla \ phi \ cdot \ nabla \ psi + \ psi \ Delta \ phi}

a twierdzenie o rozbieżności implikuje

∫Ω∇ϕ⋅∇ψreV=-∫ΩψΔϕreV+∫∂Ωψ∇ϕ⋅niereS.{\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} \ nabla \ phi \ cdot \ nabla \ psi \, \ mathrm {d} V = - \ int _ {\ Omega} \ psi \, \ Delta \ phi \, \ mathrm { d} V + \ int _ {\ Partial \ Omega} \ psi \, \ nabla \ phi \ cdot \ mathbf {n} \, \ mathrm {d} S.}

Jeśli jest rozwiązanie poprzedniego problemu z zachowaniem warunku brzegowego, to ϕ{\ Displaystyle \ Displaystyle \ phi}

1. ∫Ω∇ϕ⋅∇ψreV=∫ΩfaψreV{\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} \ nabla \ phi \ cdot \ nabla \ psi \, \ mathrm {d} V = \ int _ {\ Omega} f \, \ psi \, \ mathrm {d} V}
2. ∫Ω∇ϕ⋅∇ψreV=∫ΩfaψreV+∫∂ΩsolψreS{\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} \ nabla \ phi \ cdot \ nabla \ psi \, \ mathrm {d} V = \ int _ {\ Omega} f \, \ psi \, \ mathrm {d} V + \ int _ {\ części \ Omega} g \, \ psi \, \ mathrm {d} S}
3. ∫Ω∇ϕ⋅∇ψreV+∫∂ΩαϕψreS=∫ΩfaψreV{\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} \ nabla \ phi \ cdot \ nabla \ psi \, \ mathrm {d} V + \ int _ {\ częściowe \ Omega} \ alpha \, \ phi \, \ psi \, \ mathrm {d} S = \ int _ {\ Omega} f \, \ psi \, \ mathrm {d} V}

Zwracając uwagę na lewą i prawą stronę, słabe sformułowanie składa się z: w(ϕ,ψ){\ Displaystyle a (\ phi, \, \ psi)}b(ψ){\ Displaystyle \ Displaystyle b (\ psi)}

• zdefiniować odpowiednią przestrzeń wektorową, w której i są zdefiniowane,H.{\ Displaystyle \ Displaystyle H}w(.,.){\ Displaystyle \ Displaystyle a (.,.)}b(.){\ Displaystyle \ Displaystyle b (.)}
• szukaj jak za wszystko .ϕ∈H.{\ Displaystyle \ Displaystyle \ phi \ w H}w(ϕ,ψ)=b(ψ){\ Displaystyle a (\ phi, \, \ psi) = b (\ psi)}ψ∈H.{\ Displaystyle \ psi \ w H}

Jeśli istnieje, naturalne rozwiązanie tych sformułowań znajduje się w przestrzeni Sobolewa wyposażonej w jej normę.H.1(Ω){\ Displaystyle \ Displaystyle H ^ {1} (\ Omega)}‖ψ‖H.12=‖ψ‖L22+‖∇ψ‖L22.{\ Displaystyle \ | \ psi \ | _ {H ^ {1}} ^ {2} = \ | \ psi \ | _ {L ^ {2}} ^ {2} + \ | \ nabla \ psi \ | _ {L ^ {2}} ^ {2}.}

Rzeczywiście, dla każdego problemu jest symetryczny dwuliniowo tworzą zdefiniowany w oraz jest forma liniowa na . w(.,.){\ Displaystyle a (.,.)}H.1(Ω)×H.1(Ω){\ Displaystyle H ^ {1} (\ Omega) \ razy H ^ {1} (\ Omega)}b(.){\ Displaystyle b (.)}H.1(Ω){\ Displaystyle \ Displaystyle H ^ {1} (\ Omega)}

Zdanie  -  Niech będzie otwartą i ograniczoną domeną z regularną (lub fragmentarycznie regularną) granicą , w funkcjach wtedy i ciągłych zdefiniowanych na . Ω{\ Displaystyle \ Displaystyle \ Omega}RNIE{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {N}}∂Ω{\ Displaystyle \ częściowe \ Omega}fa{\ Displaystyle \ Displaystyle f}L2(Ω){\ Displaystyle \ Displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}sol{\ displaystyle \ displaystyle g}α>0{\ displaystyle \ alpha> 0}∂Ω{\ Displaystyle \ częściowe \ Omega}

Następnie trzy poprzednie problemy mają unikalne rozwiązanie , w który charakteryzuje się odpowiednim słabym preparatu realizowanego w następujących miejscach: ϕ{\ Displaystyle \ Displaystyle \ phi}H.1(Ω){\ Displaystyle \ Displaystyle H ^ {1} (\ Omega)}

1. H.=H.01(Ω){\ Displaystyle H = H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}czyli adhezja w nieskończenie różniczkowalnych i kompaktowo obsługiwanych funkcjach wH.1(Ω){\ Displaystyle \ Displaystyle H ^ {1} (\ Omega)}Ω.{\ Displaystyle \ Displaystyle \ Omega.}
2. H.={ϕ∈H.1(Ω)|∫ΩϕreV=0}.{\ Displaystyle H = \ lewo \ {\ phi \ w H ^ {1} (\ Omega) \, | \ int _ {\ Omega} \ phi \, \ mathrm {d} V = 0 \ prawo \}.}
3. H.=H.1(Ω).{\ Displaystyle \ Displaystyle H = H ^ {1} (\ Omega).}

Usprawiedliwienie

Jeżeli warunki ciągłości i koercji założeń twierdzenia Laxa-Milgrama są spełnione, to ostatnie pozwala na wnioskowanie.

• Ciągłość

Jeśli chodzi o ciągłość obu form, chodzi o wykazanie istnienia stałych dodatnich, które są ogólnie odnotowywane, takie jak vs{\ displaystyle \ displaystyle c}

|w(ϕ,ψ)|⩽vs‖ϕ‖H.1‖ψ‖H.1,{\ Displaystyle | a (\ phi, \, \ psi) | \ leqslant c \, \ | \ phi \ | _ {H ^ {1}} \ | \ psi \ | _ {H ^ {1}},} |b(ψ)|⩽vs‖ψ‖H.1.{\ Displaystyle | b (\, \ psi) | \ leqslant c \, \ | \ psi \ | _ {H ^ {1}}.}

Te stałe istnieją z definicji normy i przez ciągłość operatorów śledzenia , które, z funkcją, kojarzą funkcję zdefiniowaną przez ograniczenie on . H.1(Ω){\ Displaystyle \ Displaystyle H ^ {1} (\ Omega)}ψ∈H.1(Ω){\ Displaystyle \ psi \ w H ^ {1} (\ Omega)}L2(∂Ω){\ Displaystyle L ^ {2} (\ częściowe \ Omega)}ψ{\ Displaystyle \ Displaystyle \ psi}∂Ω{\ Displaystyle \ częściowe \ Omega}

Można zauważyć, że ciągłość form zapewnia jednocześnie ich ścisłą definicję. Szczególnie w przypadku drugiego problemu ograniczenie oznacza ciągłość wtrysku w normę , co uzasadnia definicję odpowiedniej przestrzeni . Ω{\ Displaystyle \ Displaystyle \ Omega}L2(Ω){\ Displaystyle \ Displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}L1(Ω){\ Displaystyle \ Displaystyle L ^ {1} (\ Omega)}‖.‖L1{\ Displaystyle \ |. \ | _ {L ^ {1}}}H.{\ Displaystyle \ Displaystyle H}

• Koercja

W przypadku przymusu chodzi o wykazanie istnienia niezależnej stałej takiej, która w(.,.){\ Displaystyle \ Displaystyle a (.,.)}μ>0{\ Displaystyle \ Displaystyle \ mu> 0}ψ∈H.{\ Displaystyle \ psi \ w H}

• |w(ψ,ψ)|⩾μ‖ϕ‖H.12.{\ Displaystyle | a (\ psi, \, \ psi) | \ geqslant \ mu \, \ | \ phi \ | _ {H ^ {1}} ^ {2}.}

Ta właściwość wywodzi się z klasycznej nierówności Poincarégo dla kształtu oraz z nierówności Poincarégo-Wirtingera dla kształtu . w1(.,.){\ Displaystyle \ Displaystyle a_ {1} (.,.)}w2(.,.){\ Displaystyle \ Displaystyle a_ {2} (.,.)}

Przymus formy można wykazać w absurdzie. Zauważając w3(.,.){\ Displaystyle \ Displaystyle a_ {3} (.,.)}

re(ψ)=∫∂Ωαψ2reS,{\ Displaystyle d (\ psi) = \ int _ {\ częściowe \ Omega} \ alfa \, \ psi ^ {2} \, \ mathrm {d} S,}

załóżmy, że istnieje satysfakcjonująca sekwencjaψnie∈H.1(Ω){\ Displaystyle \ psi _ {n} \ w H ^ {1} (\ Omega)}

‖ψnie‖H.1=1{\ Displaystyle \ | \ psi _ {n} \ | _ {H ^ {1}} = 1}i zmierza do 0.w3(ψnie,ψnie)=re(ψnie)+‖∇ψnie‖L22{\ Displaystyle a_ {3} (\ psi _ {n}, \, \ psi _ {n}) = d (\ psi _ {n}) + \ | \ nabla \ psi _ {n} \ | _ {L ^ {2}} ^ {2}}

Dzięki zwartości wtrysku kanonicznego w (gdy jest ograniczony), istnieje podciąg zbieżny do funkcji normy . Sekwencja ta jest zatem sekwencja Cauchy- się , a ponieważ jego nachylenie w dąży do 0 , jest również sekwencja Cauchy- w zbieżny w kierunku i które mogą być jedynie funkcją stałej z . Zatem jego ślad na (przez ciągłość) może być tylko stałą niezerową, co jest sprzeczne . H.1(Ω){\ Displaystyle \ Displaystyle H ^ {1} (\ Omega)}L2(Ω){\ Displaystyle \ Displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}Ω{\ Displaystyle \ Displaystyle \ Omega}ψ{\ Displaystyle \ Displaystyle \ psi}‖.‖L2{\ Displaystyle \ |. \ | _ {L ^ {2}}}L2(Ω){\ Displaystyle \ Displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}L2(Ω){\ Displaystyle \ Displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}H.1(Ω){\ Displaystyle \ Displaystyle H ^ {1} (\ Omega)}ψ∈H.1(Ω){\ Displaystyle \ psi \ w H ^ {1} (\ Omega)}‖ψ‖H.1=1{\ Displaystyle \ | \ psi \ | _ {H ^ {1}} = 1}∂Ω{\ Displaystyle \ częściowe \ Omega}re(ψ)=0{\ Displaystyle d (\ psi) = 0}

Rozkład

Istnieją różne metody rozdzielczości cyfrowej. Przykładem jest metoda relaksacji , algorytm iteracyjny . Metody oparte na transformatach Fouriera są prawie zawsze używane w uniwersalnej grawitacji.

Rozważania historyczne i próby rozwiązania

Równanie Poissona jest znaną poprawką równania różniczkowego Laplace'a drugiego stopnia na potencjał  :

∇2ϕ=-4πρ,{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi = -4 \ pi \ rho \;,}

Równanie to nazywamy również: równaniem teorii potencjału opublikowanym w 1813 r. Jeśli funkcja danego punktu ρ = 0, otrzymujemy równanie Laplace'a  :

∇2ϕ=0.{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi = 0 \;.}

W 1812 roku Poisson odkrył, że to równanie jest ważne tylko poza bryłą. Rygorystyczny dowód na masy o różnej gęstości został po raz pierwszy podany przez Carla Friedricha Gaussa w 1839 roku . Te dwa równania mają swoje odpowiedniki w analizie wektorowej . Badanie pól skalarnych φ dywergencji Daje:

∇2ϕ=ρ(x,y,z).{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi = \ rho (x, y, z) \;.}

Na przykład równanie Poissona dla powierzchniowego potencjału elektrycznego Ψ, które pokazuje jego zależność od gęstości ładunku elektrycznego ρ e w danym miejscu:

∇2Ψ=∂2Ψ∂x2+∂2Ψ∂y2+∂2Ψ∂z2=-ρmiεε0.{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ Psi = {\ częściowe ^ {2} \ Psi \ ponad \ częściowe x ^ {2}} + {\ częściowe ^ {2} \ psi \ ponad \ częściowe y ^ {2} } + {\ Partial ^ {2} \ Psi \ over \ Partial z ^ {2}} = - {\ rho _ {e} \ over \ varepsilon \ varepsilon _ {0}} \;.}

Rozkład ładunku w płynie jest nieznany i musimy skorzystać z równania Poissona-Boltzmanna  :

∇2Ψ=nie0miεε0(mimiΨ(x,y,z)kbT-mi-miΨ(x,y,z)kbT),{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ Psi = {n_ {0} e \ ponad \ varepsilon \ varepsilon _ {0}} \ lewo (e ^ {e \ Psi (x, y, z) \ ponad k_ {B } T} -e ^ {- e \ Psi (x, y, z) \ over k_ {B} T} \ right) \;,}

których w większości przypadków nie da się rozwiązać analitycznie, ale tylko w określonych sytuacjach. We współrzędnych biegunowych równanie Poissona-Boltzmanna wygląda następująco:

1r2rerer(r2reΨrer)=nie0miεε0(mimiΨ(r)kbT-mi-miΨ(r)kbT),{\ Displaystyle {1 \ ponad r ^ {2}} {d \ ponad dr} \ lewo (r ^ {2} {d \ psi \ nad dr} \ w prawo) = {n_ {0} e \ ponad \ varepsilon \ varepsilon _ {0}} \ left (e ^ {e \ Psi (r) \ over k_ {B} T} -e ^ {- e \ Psi (r) \ over k_ {B} T} \ right) \; ,}

które również nie mogą być rozwiązane analitycznie. Nawet jeśli pole φ nie jest skalarne, równanie Poissona jest poprawne, tak jak może być na przykład w czterowymiarowej przestrzeni Minkowskiego :

◻ϕjak=ρ(x,y,z,vst).{\ Displaystyle \ kwadrat \ phi _ {ik} = \ rho (x, y, z, ct) \;.}

Jeśli ρ ( x , y , z ) jest funkcją ciągłą , a jeśli dla R → ∞ (lub jeśli punkt „porusza” nieskończenie ) ± φ działanie przechodzi do 0 dostatecznie szybko, to rozwiązanie równania Poissona jest Newtona potencjał o a funkcja ρ ( x , y , z ):

ϕM=-14π∫ρ(x,y,z)revr,{\ Displaystyle \ phi _ {M} = - {1 \ ponad 4 \ pi} \ int {\ rho (x, y, z) dv \ ponad r} \;}

gdzie r jest odległością od elementu z objętości V i punktem M . Integracja obejmuje całą przestrzeń. Całka Poissona poprzez rozwiązanie funkcji Greena dla problemu Dirichleta z równania Laplace'a, jeśli okrąg jest dziedziną zainteresowania:

ϕ(ξ,η)=12π∫02πR2-ρ2R2+ρ2-2Rρsałata⁡(ψ-χ)ϕ(χ)reχ,{\ Displaystyle \ phi (\ xi, \ eta) = {1 \ ponad 2 \ pi} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {R ^ {2} - \ rho ^ {2} \ ponad R ^ {2} + \ rho ^ {2} -2R \ rho \ cos (\ psi - \ chi)} \ phi (\ chi) d \ chi \;,}

lub:

ξ=ρsałata⁡ψ,η=ρgrzech⁡ψ.{\ Displaystyle \ xi = \ rho \ cos \ psi \ ;, \ quad \ eta = \ rho \ sin \ psi \;.}

φ (χ) jest określoną funkcją na linii kołowej, która definiuje warunki brzegowe wymaganej funkcji φ równania Laplace'a. Podobnie zdefiniować funkcję Greena tego problemu Dirichlet do równania Laplace'a 2 cp = 0 w miejscu, w domenie obejmującej kuli o promieniu R . Tym razem funkcja Greena to:

sol(x,y,z;ξ,η,ζ)=1r-Rr1ρ,{\ Displaystyle G (x, r, z; \ xi, \ eta, \ zeta) = {1 \ nad r} - {R \ nad r_ {1} \ rho} \;}

gdzie: to odległość punktu (ξ, η, ζ) od środka kuli, r to odległość między punktami ( x , y , z ), (ξ, η, ζ), r 1 to odległość między punkt ( x , y , z ) i punkt ( R ξ / ρ, R η / ρ, R ζ / ρ), symetryczne do punktu (ξ, η, ζ). Całka Poissona ma teraz postać: ρ=ξ2+η2+ζ2{\ Displaystyle \ rho = {\ sqrt {\ xi ^ {2} + \ eta ^ {2} + \ zeta ^ {2}}}}

ϕ(ξ,η,ζ)=14π∫∫SR2-ρ2Rr3ϕres.{\ Displaystyle \ phi (\ xi, \ eta, \ zeta) = {1 \ ponad 4 \ pi} \ int \! \! \! \ int _ {S} {R ^ {2} - \ rho ^ {2 } \ over Rr ^ {3}} \ phi ds \;.}

Uwagi i odniesienia

Zobacz też

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w języku angielskim zatytułowanego „  Siméon Denis Poisson  ” ( zobacz listę autorów ) .

Bibliografia

• [Poisson 1813] Siméon-Denis Poisson , "  Uwagi na temat równania, które pojawia się w teorii przyciągania sferoid  ", Biuletyn naukowy Nouveau: par la Société philomat (h) ique (de Paris) , Paryż, J. Klostermann fils , t.  III , n O  75,Grudzień 1813, s.  388-392 ( czytaj online ).
• [Godard i Boer 2020] Roger Godard i John de Boer , „Gauss and the Earth's Magnetic Field Model” , w: Maria Zack i Dirk Schlimm ( red. ), Badania w historii i filozofii matematyki  : CSHPM2018tom [„Badania w historii i filozofii matematyki”], Cham, Birkhäuser , pot.  „  Proceedings of the Canadian Society for History and Philosophy of Mathematics / (Proceedings of the) Canadian Society of History and Philosophy of Mathematics  ”,Sty 2020, 1 st  ed. , 1  obj. , XIII -172  s. , Chory. 15,6 × 23,4  cm ( ISBN  978-3-030-31196-4 , OCLC  1154674154 , DOI  10.1007 / 978-3-030-31298-5 , prezentacja online , czytaj online ) , rozdz.  8 , s.  125-138.
• [Solomentsev 1995] (en) ED Solomentsev , „Równanie Poissona” , w Michiel Hazewinkel ( red. ), Encyklopedia matematyki  : zaktualizowane i opatrzone komentarzami tłumaczenie radzieckiej encyklopedii matematycznej [„Encyklopedia matematyki: zaktualizowane i opatrzone komentarzami tłumaczenie Encyklopedia matematyki radzieckiej ”, t.  IV  : Równanie Monge-Ampère'a - Pierścienie i algebry [„Równanie Monge-Ampère'a - Pierścienie i algebra”] , Dordrecht, Kluwer Academic , hors coll. ,Styczeń 1995, 1 st  ed. , 1  obj. , IV -929  s. , Chory. , 21 × 29,7  cm ( ISBN  1-556-08010-7 , EAN  9781556080104 , OCLC  36917086 , DOI  10.1007 / 978-1-4899-3791-9 , SUDOC  030253195 , prezentacja online , czytaj online ) , równanie sv Poissona [„Poissona równanie ”], s.  445.
• [Taillet, Villain and Febvre 2018] Richard Taillet , Loïc Villain i Pascal Febvre , Dictionary of physics , Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur , poza wyd. / fizyczny,Sty 2018, 4 th  ed. ( 1 st  ed. Maj 2008), 1  obj. , X -956  str. , Chory. i rys. , 17 × 24  cm ( ISBN  978-2-8073-0744-5 , EAN  9782807307445 , OCLC  1022951339 , uwaga BnF n o  FRBNF45646901 , SUDOC  224228161 , prezentacja online , czytaj online ) , sv Poisson (równanie), s.  579-580.
• Równanie Poissona w EqWorld: Świat równań matematycznych .
• LC Evans, Partial Differential Equations , American Mathematical Society, Providence, 1998. ( ISBN  0-8218-0772-2 )
• AD Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2002. ( ISBN  1-58488-299-9 )

Powiązane artykuły

• Operator laplacowski
• Operator wektora laplackiego
• Równanie Laplace'a
• Teoria potencjału

Linki zewnętrzne

• (en) Eric W. Weisstein , „  Poisson Integral  ” , na MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein , „  Poisson Kernel  ” , na MathWorld
• (w) Całka Poissona dla jednostki dyskowej
• Informacje w słownikach ogólnych lub encyklopediach  : Encyclopædia Britannica  • Swedish Nationalencyklopedin