Twierdzenie o dywergencji
W analizy wektorowej , twierdzenie rozbieżność (zwany również Zielone Ostrogradskiego twierdzenie lub twierdzenie strumienia rozbieżność ) potwierdza równość całki z rozbieżności z pola wektorowego nad objętości i strumienia tego pola w całej objętości granicznej (co jest całką powierzchniową ).
R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}
Równość jest następująca:
∫∫∫V∇→⋅fa→reV=∫⊂⊃∫∂Vfa→⋅reS→{\ Displaystyle \ int \! \! \! \! \! \ int \! \! \! \! \! \ int _ {\ mathcal {V}} {\ overrightarrow {\ nabla}} \ cdot {\ overrightarrow {F}} \, {\ rm {d}} V = \ int \! \! \! \! \! \! \! \ Podzbiór \! \! \! \ Supset \! \! \! \! \ ! \! \! \ int _ {\ Partial {\ mathcal {V}}} {\ overrightarrow {F}} \ cdot \ mathrm {d} {\ overrightarrow {S}}}
lub:
-
V{\ displaystyle {\ mathcal {V}} \,}
to objętość;
-
∂V{\ Displaystyle \ częściowe {\ mathcal {V}} \,}
jest granicą V{\ displaystyle {\ mathcal {V}}}
-
reS→{\ displaystyle {\ rm {d}} {\ overrightarrow {S}}}
jest wektorem prostopadłym do powierzchni, skierowanym na zewnątrz io normie równej elementowi powierzchni, który reprezentuje
-
fa→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}
jest w sposób ciągły różniczkowy w dowolnym punkcie ;V{\ displaystyle {\ mathcal {V}}}
-
∇→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}}}
jest operatorem nabla ; (ważne tylko we współrzędnych kartezjańskich).∇→⋅fa→=rejav fa→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}} \ cdot {\ overrightarrow {F}} = \ mathrm {div} \ {\ overrightarrow {F}}}
Twierdzenie to wynika z twierdzenia Stokesa, które samo uogólnia drugie podstawowe twierdzenie analizy .
Fizyczna interpretacja
Jest to ważny wynik w fizyce matematycznej , w szczególności w elektrostatyce i dynamice płynów , gdzie to twierdzenie odzwierciedla prawo zachowania . Zgodnie ze swoim znakiem, dywergencja wyraża dyspersję lub stężenie pewnej ilości (takiej jak na przykład masa), a poprzednie twierdzenie wskazuje, że dyspersji w objętości koniecznie towarzyszy równoważny przepływ całkowity opuszczający jej granicę.
Twierdzenie to umożliwia w szczególności znalezienie integralnej wersji twierdzenia Gaussa w elektromagnetyzmie z równania Maxwella-Gaussa :
rejav mi→ = ρε0.{\ displaystyle \ mathrm {div} \ {\ overrightarrow {E}} \ = \ {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}.}
Inne relacje
To twierdzenie pozwala nam wydedukować kilka użytecznych wzorów z rachunku wektorowego. W wyrażeniach poniżej :
∇→⋅fa→=rejavfa→,∇→sol=solrwre→sol,∇→∧fa→=rot→fa→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}} \ cdot {\ overrightarrow {F}} = \ mathrm {div} \, {\ overrightarrow {F}}, \, {\ overrightarrow {\ nabla}} g = {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, g \ ,, {\ overrightarrow {\ nabla}} \ wedge {\ overrightarrow {F}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ overrightarrow { F}} \,}
∫∫∫V(fa→⋅∇→sol+sol(∇→⋅fa→))reV=∫⊂⊃∫∂Vsolfa→⋅reS→,{\ Displaystyle \ int \! \! \! \! \! \ int \! \! \! \! \! \ int _ {\ mathcal {V}} \ left ({\ overrightarrow {F}} \ cdot { \ overrightarrow {\ nabla}} g + g \ left ({\ overrightarrow {\ nabla}} \ cdot {\ overrightarrow {F}} \ right) \ right) {\ rm {d}} V = \ int \! \ ! \! \! \! \! \! \ subset \! \! \! \ supset \! \! \! \! \! \! \! \ int _ {\ częściowe {\ mathcal {V}}} g {\ overrightarrow {F}} \ cdot {\ rm {d}} {\ overrightarrow {S}},}
∫∫∫V∇→solreV=∫⊂⊃∫∂VsolreS→,{\ Displaystyle \ int \! \! \! \! \! \ int \! \! \! \! \! \ int _ {\ mathcal {V}} {\ overrightarrow {\ nabla}} g \, {\ rm {d}} V = \ int \! \! \! \! \! \! \! \ subset \! \! \! \ supset \! \! \! \! \! \! \! \ int _ {\ części {\ mathcal {V}}} g \, {\ rm {d}} {\ overrightarrow {S}},}
∫∫∫V(sol→⋅(∇→∧fa→)-fa→⋅(∇→∧sol→))reV=∫⊂⊃∫∂V(fa→∧sol→)⋅reS→,{\ Displaystyle \ int \! \! \! \! \! \ int \! \! \! \! \! \ int _ {\ mathcal {V}} \ left ({\ overrightarrow {G}} \ cdot \ left ({\ overrightarrow {\ nabla}} \ wedge {\ overrightarrow {F}} \ right) - {\ overrightarrow {F}} \ cdot \ left ({\ overrightarrow {\ nabla}} \ wedge {\ overrightarrow {G }} \ right) \ right) {\ rm {d}} V = \ int \! \! \! \! \! \! \! \ subset \! \! \! \ supset \! \! \! \ ! \! \! \! \ int _ {\ częściowe {\ mathcal {V}}} \ left ({\ overrightarrow {F}} \ wedge {\ overrightarrow {G}} \ right) \ cdot {\ rm {d }} {\ overrightarrow {S}},}
∫∫∫V∇→∧fa→reV=∫⊂⊃∫∂VreS→∧fa→,{\ Displaystyle \ int \! \! \! \! \! \ int \! \! \! \! \! \ int _ {\ mathcal {V}} {\ overrightarrow {\ nabla}} \ wedge {\ overrightarrow {F}} {\ rm {d}} V = \ int \! \! \! \! \! \! \! \ Podzbiór \! \! \! \ Supset \! \! \! \! \! \ ! \! \ int _ {\ Partial {\ mathcal {V}}} {\ rm {d}} {\ overrightarrow {S}} \ wedge {\ overrightarrow {F}},}
∫∫∫V(fa∇→2sol+∇→fa⋅∇→sol)reV=∫⊂⊃∫∂Vfa∇→sol⋅reS→.{\ Displaystyle \ int \! \! \! \! \! \ int \! \! \! \! \! \ int _ {\ mathcal {V}} \ left (f {\ overrightarrow {\ nabla}} ^ {2} g + {\ overrightarrow {\ nabla}} f \ cdot {\ overrightarrow {\ nabla}} g \ right) {\ rm {d}} V = \ int \! \! \! \! \! \ ! \! \ subset \! \! \! \ supset \! \! \! \! \! \! \! \ int _ {\ częściowe {\ mathcal {V}}} f {\ overrightarrow {\ nabla}} g \ cdot {\ rm {d}} {\ overrightarrow {S}}.}
W szczególności wzory te są wykorzystywane do otrzymywania słabych formulacji związanych z problemami częściowej pochodnej .
Powiązane artykuły