Wektor zabijania

W matematyce , A wektor zabijanie lub zabijanie pola , to pole wektorowe na (pseudo) Riemanna kolektora , który zachowuje metryki tego rozdzielacza i podkreśla jego ciągłego symetrie.

Intuicyjnie wektor zabójczy może być postrzegany jako „pole przemieszczenia ” , to znaczy łącząc z punktem M rozmaitości punkt M ' określony przez przemieszczenie M wzdłuż krzywej przechodzącej przez M, której jest wektorem stycznym. Jego podstawową właściwością jest to, że to pole reprezentuje izometrię , to znaczy, że zachowuje odległości. Zatem odległość między dwoma punktami M i N jest równa odległości między ich obrazami M ' i N' przez działanie . $\ xi$ $\ xi$ $\ xi$

Pole takie przyłożone do powierzchni (odmiana o wymiarze 2), widzianej jako zanurzona w trójwymiarowej przestrzeni, umożliwia np. Jej „ślizganie się” po sobie, bez rozdzierania się i marszczenia.

Matematyczne sformułowanie tej właściwości nazywa się równaniem Killinga . Stwierdza, że pochodna Lie z riemannowski metryki w stosunku do wektora Zabójstwo wynosi zero, czyli w dowolnym układzie współrzędnych , $\ xi$

{\ Displaystyle D_ {a} \ xi _ {b} + D_ {b} \ xi _ {a} = 0}

D jest kowariantną pochodną związaną z metryką.

Na tej podstawie wnioskujemy o pewną liczbę właściwości związanych z wektorami zabijającymi.

Historia

Eponim wektora jest Wilhelm KJ Zabijanie (1847-1923), niemiecki matematyk, który go wprowadził 1892.

Nieruchomości

Rozbieżność

Kontraktując równanie zabijania z metryką, natychmiast otrzymujemy:

{\ Displaystyle D_ {a} \ xi ^ {a} = 0}

Wektor zabijania jest zawsze zerową dywergencją .

Stałe ruchu

Iloczyn skalarny wektora uśmiercanie wektorem stycznym z geodezyjnej jest stała wzdłuż ścieżki. Jeśli oznaczymy ten wektor styczny, otrzymamy ${\ Displaystyle u ^ {a}}$

{\ Displaystyle {\ Frac {D} {d \ tau}} (u ^ {a} \ xi _ {a}) = 0}

operator reprezentujący pochodną w odniesieniu do parametru afinicznego geodezyjnej. ${\ Displaystyle D / d \ tau}$

Demonstracja

Operator może przepisać się, zgodnie z definicją geodezyjną, ${\ Displaystyle D / d \ tau}$

{\ Displaystyle D / d \ tau = u ^ {b} D_ {b}}

Więc mamy

{\ Displaystyle {\ Frac {D} {d \ tau}} (u ^ {a} \ xi _ {a}) = u ^ {b} D_ {b} (u ^ {a} \ xi _ {a} )}

Korzystając z reguły pochodnych Leibniza , otrzymujemy

{\ Displaystyle u ^ {b} D_ {b} (u ^ {a} \ xi _ {a}) = u ^ {b} u ^ {a} D_ {b} \ xi _ {a} + u ^ { b} \ xi _ {a} D_ {b} u ^ {a}}

Drugi warunek równości to zero. Rzeczywiście, sama definicja geodezyjna polega na tym, że jego wektor styczny jest utrzymywany wzdłuż geodezyjnego, tj.

{\ Displaystyle {\ Frac {D} {d \ tau}} u ^ {a} = u ^ {b} D_ {b} u ^ {a} = 0}

Pierwszy wyraz równości również wynosi zero. Rzeczywiście, równanie Killinga wskazuje, że tensor jest antysymetryczny. Jego skurcz z symetrycznym tensorem wynosi zatem zero. Więc mamy ${\ Displaystyle D_ {a} \ xi _ {b}}$

{\ Displaystyle {\ Frac {D} {d \ tau}} (u ^ {a} \ xi _ {a}) = 0}

Ta właściwość jest szczególnie przydatna do całkowania równania geodezji. Rzeczywiście, istnienie wystarczającej liczby wektorów zabijających umożliwia wówczas wykazanie wystarczającej liczby stałych ruchu, które pozwalają na natychmiastowe i wyraźne rozwiązanie równania geodezyjnego . Prostym przykładem jest metryka Schwarzschilda , która jest sferycznie i statycznie symetryczna . Pierwsza właściwość pozwala na pokazanie dwóch wektorów zabijania, a druga dodatkowego wektora zabijania. Stałe ruchu są związane ze standardem momentu pędu , jego rzutem wzdłuż osi oraz wielkością, w której podejście nierelatywne można by utożsamić z energią cząstki. Tak więc zwykłe prawa zachowania energii i momentu pędu mechaniki klasycznej są przekładane na ogólną teorię względności przez istnienie wektorów zabijających.

Relacja z tensorem Riemanna

Biorąc pochodną równania Killinga i wykorzystując właściwości przełączania pochodnych kowariantnych, otrzymujemy równanie odnoszące drugą pochodną wektora Killinga do tensora Riemanna . Ta relacja jest napisana:

{\ Displaystyle D_ {ab} \ xi _ {c} = - R _ {\; acb} ^ {d} \ xi _ {d}}

. Demonstracja

Z równania Killinga wykonujemy dodatkowe wyprowadzenie. Otrzymujemy zatem:

{\ displaystyle D_ {ca} \ xi _ {b} + D_ {cb} \ xi _ {a} = 0}

Kowariantne pochodne generalnie nie dojeżdżają do pracy, ale można je zamienić, jeśli dodamy do nich dodatkowy człon za pomocą tensora Riemanna (jest to nawet definicja tensora Riemanna):

{\ Displaystyle D_ {cb} \ xi _ {a} = D_ {bc} \ xi _ {a} -R _ {\; acb} ^ {d} \ xi _ {d}}

W ten sposób otrzymujemy

{\ Displaystyle D_ {ca} \ xi _ {b} + D_ {bc} \ xi _ {a} = R _ {\; acb} ^ {d} \ xi _ {d}}

Możemy przepisać to równanie, wykonując permutacje na indeksach a , b i c :

{\ Displaystyle D_ {ab} \ xi _ {c} + D_ {ca} \ xi _ {b} = R _ {\; bac} ^ {d} \ xi _ {d}}

{\ Displaystyle D_ {bc} \ xi _ {a} + D_ {ab} \ xi _ {c} = R _ {\; cba} ^ {d} \ xi _ {d}}

Biorąc sumę tych trzech równości, otrzymujemy

{\ Displaystyle 2D_ {ca} \ xi _ {b} + 2D_ {bc} \ xi _ {a} + 2D_ {ab} \ xi _ {c} = (R _ {\; acb} ^ {d} + R_ {\; bac} ^ {d} + R _ {\; cba} ^ {d}) \ xi _ {d}}

Ze względu na pierwszą tożsamość Bianchi , warunki członka prawej ręki znoszą się nawzajem. Więc mamy

{\ Displaystyle D_ {ca} \ xi _ {b} + D_ {bc} \ xi _ {a} + D_ {ab} \ xi _ {c} = 0}

Odejmując to od pierwszej równości obejmującej tensor Riemanna, otrzymujemy

{\ Displaystyle D_ {ab} \ xi _ {c} = - R _ {\; acb} ^ {d} \ xi _ {d}}

Ten związek ma wiele interesujących konsekwencji:

Ściągając to na a i b , otrzymujemy relację między alembertem pola a tensorem Ricciego : ${\ Displaystyle D_ {a} D ^ {a} \ xi _ {c} = - R _ {\; c} ^ {d} \ xi _ {d}}$ .
Jest to równanie dość podobne do równania potencjału wektora w elektromagnetyzmie w mierniku Lorentza (zwłaszcza, że tak jak potencjał wektora ma zerową dywergencję w mierniku Lorentza, wektor zabijania jest również konstrukcją zerowej dywergencji). Jedyna różnica pochodzi ze znaku tensora Ricciego, który jest przeciwieństwem tego, który występuje w elektromagnetyzmie. W przypadku, gdy tensor Ricciego znika, analogia między wektorem Killinga a potencjałem wektora jest jeszcze większa (oba są zgodne z dokładnie tym samym równaniem).
To równanie, zastosowane wzdłuż geodezyjnego, oznacza, że wektor zabijania wzdłuż tej geodezyjnej jest całkowicie zdeterminowany jego wartością i jego pochodnymi w punkcie. W konsekwencji wektor zabijania w całej rozmaitości jest całkowicie określony przez jego wartości i wartości jego pochodnych w jednym punkcie.
W konsekwencji, jeśli wymiar rozmaitości jest n , to punkt odniesienia wektora Killing jest określony przez n liczb (jego składowe), a jego pochodne przez n ( n - 1) / 2 składowe (ze względu na antysymetrię równania Killinga l ' ). Maksymalna liczba wektorów zabijających, które mogą istnieć w rozmaitości o wymiarze n, wynosi zatem n ( n + 1) / 2. Rozmaitość posiadająca maksymalną liczbę wektorów zabijających ma maksymalną symetrię . Przestrzeń de Sittera jest przykładem przestrzeni maksymalnej symetrii.
Mówiąc bardziej ogólnie, wygodnie jest sklasyfikować dane rozmaitości wymiarowe według ich wektorów zabijania. Klasyfikacja ta, zastosowana do pewnej kategorii czasoprzestrzeni o wymiarze 4 ( przestrzenie jednorodne ), nazywana jest klasyfikacją Bianchiego .

Relacje z twierdzeniem Noether

Skurcz wektora Killinga z tensorem pędu energii umożliwia pokazanie wektora zerowej dywergencji. $T ^ {{ab}}$

Demonstracja

Rzeczywiście, rozbieżność ilości daje ${\ displaystyle T ^ {ab} \ xi _ {b}}$

{\ Displaystyle D_ {a} (T ^ {ab} \ xi _ {b}) = T ^ {ab} D_ {a} \ xi _ {b} + \ xi _ {b} D_ {a} T ^ { ab}}

Pierwszy wyraz to zero, ponieważ jest to skurcz symetrycznego tensora ( ) i antysymetrycznego tensora ( zgodnie z równaniem Killinga). Drugi człon również jest równy zero, ponieważ pęd tensora energii jest z definicji zerową dywergencją ( ). Więc mamy $T ^ {{ab}}$ ${\ Displaystyle D_ {a} \ xi _ {b}}$ ${\ Displaystyle D_ {a} T ^ {ab} = 0}$

{\ Displaystyle D_ {a} (T ^ {ab} \ xi _ {b}) = 0}

Istnienie tego wektora zerowej dywergencji umożliwia zatem zdefiniowanie wielkości konserwowanych za pomocą twierdzenia Noether .

W przestrzeni Minkowskiego i współrzędnych kartezjańskich wektor oznaczony jest wektorem zabijającym, który po prostu mówi, że przestrzeń Minkowskiego jest niezmiennikiem translacyjnym w czasie. To z kolei implikuje zachowanie energii . Podobnie wektory są również wektorami zabijającymi. Obejmuje zachowanie pędu . Żaden z tych wektorów nie jest jednak wektorem zabijającym w rozszerzającym się wszechświecie . To jest powód, dla którego energia promieniowania elektromagnetycznego nie jest zachowywana w czasie: jest to zjawisko przesunięcia ku czerwieni . Ogólnie rzecz biorąc, niekoniecznie istnieją wektory zabijające w dowolnej czasoprzestrzeni . Oznacza to, że w ogólnej teorii względności nie ma zachowania energii, z wyjątkiem szczególnych przypadków, takich jak asymptotycznie płaskie przestrzenie . ${\ Displaystyle \ częściowe / \ częściowe t}$ $\ częściowe _ {t}$ ${\ Displaystyle \ częściowe _ {x ^ {i}}}$

Również w przestrzeni Minkowskiego, wektory , , są również zabijaniu wektory. Istnienie tych wektorów implikuje zachowanie momentu pędu . Podobnie, wektory są trzema wektorami zabijającymi. W nierelatywistycznej granicy odpowiadają one wielkości , to znaczy wartości i- tej współrzędnej w danym momencie . Te wektory, w liczbie 10, tworzą wszystkie wektory zabijania liniowo niezależne od przestrzeni Minkowskiego. ${\ Displaystyle x \ częściowe _ {y} -y \ częściowe _ {x}}$ ${\ Displaystyle y \ częściowe _ {z} -z \ częściowe _ {y}}$ ${\ Displaystyle z \ częściowe _ {x} -x \ częściowe _ {z}}$ ${\ Displaystyle x_ {i} \ częściowe _ {t} + t \ częściowe _ {x_ {i}}}$ ${\ Displaystyle x ^ {i} -v ^ {i} t}$ $t = 0$

Lie algebra wektorów zabijania

Hak Lie z dwoma wektorami Killing i jest również wektor Zabijanie $\ xi$ $\ zeta$

Demonstracja

Hak Lie z par jest napisany, w kategoriach komponentów, $\ xi$ $\ zeta$

{\ Displaystyle \ zeta ^ {b} D_ {b} \ xi ^ {a} - \ xi ^ {b} D_ {b} \ zeta ^ {a}}

Aby ten wektor był wektorem zabijającym, musi i wystarczy, że spełnia równanie zabijania. Dlatego obliczamy

{\ Displaystyle D_ {a} \ lewo (\ zeta ^ {c} D_ {c} \ xi _ {b} - \ xi ^ {c} D_ {c} \ zeta _ {b} \ prawej) -D_ {b } \ left (\ zeta ^ {c} D_ {c} \ xi _ {a} - \ xi ^ {c} D_ {c} \ zeta _ {a} \ right)}

{\ displaystyle = \ zeta ^ {c} \ lewo (D_ {ac} \ xi _ {b} -D_ {pne} \ xi _ {a} \ prawo) + \ xi ^ {c} \ lewo (D_ {pne } \ zeta _ {a} -D_ {ac} \ zeta _ {b} \ right) + D_ {a} \ zeta ^ {c} \; D_ {c} \ xi _ {b} -D_ {c} \ zeta _ {b} \; D_ {a} \ xi ^ {c} -D_ {b} \ zeta ^ {c} \; D_ {c} \ xi _ {a} + D_ {c} \ zeta _ {a } \; D_ {b} \ xi ^ {c}}

Terminy zawierające produkty dwóch pierwszych pochodnych można manipulować za pomocą równania Killinga dla i , tak że indeks c nie odnosi się do kowariantnej pochodnej, ale do wektora. Tak więc mamy $\ xi$ $\ zeta$

{\ Displaystyle D_ {a} \ zeta ^ {c} \; D_ {c} \ xi _ {b} -D_ {c} \ zeta _ {b} \; D_ {a} \ xi ^ {c} -D_ {b} \ zeta ^ {c} \; D_ {c} \ xi _ {a} + D_ {c} \ zeta _ {a} \; D_ {b} \ xi ^ {c} = - D_ {a} \ zeta ^ {c} \; D_ {b} \ xi _ {c} + D_ {b} \ zeta _ {c} \; D_ {a} \ xi ^ {c} -D_ {b} \ zeta ^ { c} \; D_ {a} \ xi _ {c} + D_ {a} \ zeta _ {c} \; D_ {b} \ xi ^ {c} = 0}

ponieważ warunki znoszą się wzajemnie dwa na dwa. W przypadku terminów obejmujących drugą pochodną równania Killinga są również używane do usuwania indeksu c z kowariantnych pochodnych. Mamy

{\ Displaystyle \ zeta ^ {c} \ lewo (D_ {ac} \ xi _ {b} -D_ {pne} \ xi _ {a} \ prawo) + \ xi ^ {c} \ lewo (D_ {pne} \ zeta _ {a} -D_ {ac} \ zeta _ {b} \ right) = \ zeta ^ {c} \ left (-D_ {ab} \ xi _ {c} + D_ {ba} \ xi _ { c} \ right) + \ xi ^ {c} \ left (D_ {ba} \ zeta _ {c} -D_ {ab} \ zeta _ {c} \ right).}

Rozpoznajemy komutator kowariantnych pochodnych, które możemy przepisać za pomocą tensora Riemanna :

{\ Displaystyle \ zeta ^ {c} \ lewo (-D_ {ab} \ xi _ {c} -D_ {ba} \ xi _ {c} \ prawo) + \ xi ^ {c} \ lewo (D_ {ba } \ zeta _ {c} -D_ {ab} \ zeta _ {c} \ right) = \ zeta ^ {c} R _ {\; cab} ^ {d} \ xi _ {d} - \ xi ^ { c} R _ {\; cba} ^ {d} \ zeta _ {d}}

Przez końcu za pomocą stosunków antysymetrii na dwóch parach wskaźników tensora Riemann i odwracanie nieme wskaźniki c i d, na jednym z dwóch elementów w efekcie otrzymujemy

{\ Displaystyle \ zeta ^ {c} R _ {\; cab} ^ {d} \ xi _ {d} - \ xi ^ {c} R _ {\; cba} ^ {d} \ zeta _ {d} = \ zeta ^ {c} \ xi ^ {d} R_ {dcab} - \ xi ^ {c} \ zeta ^ {d} R_ {dcba} = \ zeta ^ {c} \ xi ^ {d} R_ {dcab } - \ zeta ^ {c} \ xi ^ {d} R_ {cdba} = \ zeta ^ {c} \ xi ^ {d} (R_ {dcab} -R_ {cdba}) = \ zeta ^ {c} \ xi ^ {d} (R_ {dcab} -R_ {dcab}) = 0}

. Zatem hak Lie dwóch wektorów zabijających jest również wektorem zabijającym.

Dzięki temu można wyposażyć przestrzeń wektorów Killing w strukturę algebry Liego . W ogólnej teorii względności to właśnie w ten sposób dokonuje się pewnych klasyfikacji czasoprzestrzeni, takich jak wspomniana powyżej klasyfikacja Bianchiego, która odnosi się do czterowymiarowych czasoprzestrzeni, których sekcje przestrzenne są jednorodne .

Zgodna transformacja

Podczas transformacji konformalnej wektor zabijający traci swoją podstawową właściwość i nie spełnia już równania zabijania. Spełnia jednak inne równanie, które w niektórych przypadkach może okazać się interesujące. Następnie mówimy o konformalnym wektorze zabijania .

Statyczna czasoprzestrzeń

W ogólnej teorii względności o czasoprzestrzeni (lub jej obszarze) mówi się, że jest statyczna, jeśli dopuszcza wektor zabijania typu czasowego, który można postrzegać jako normalny dla hiperpowierzchni. W tym celu, oprócz równania Killing, wektor Killing musi być proporcjonalny do gradientu (hiperpowierzchnie można postrzegać jako obszary, w których określony parametr jest stały). Ten ostatni warunek jest zapisany w formularzu

{\ displaystyle \ xi _ {[a} D_ {b} \ xi _ {c]} = 0}

które dowodzimy dzięki twierdzeniu Frobeniusa . W czterowymiarowej czasoprzestrzeni warunek ten jest wówczas równoważny warunkowi występującemu w skojarzonej formie podwójnej,

{\ Displaystyle \ epsilon ^ {dabc} \ xi _ {[a} D_ {b} \ xi _ {c]} = 0}

gdzie jest całkowicie antysymetryczny tensor we wszystkich swoich indeksach. $\ epsilon$

Metryka Schwarzschilda jest przykładem statycznego czasoprzestrzeni w regionie poza promieniem Schwarzschilda . Reissner-Nordström metryczny ma te same właściwości. Metrykę takich przestrzeni można zapisać w określonym układzie współrzędnych w postaci ${\ Displaystyle (t, x ^ {i})}$

{\ Displaystyle {\ mathrm {d}} s ^ {2} = V ^ {2} (x ^ {k}) - \ suma _ {ij} h_ {ij} (x ^ {k}) \; {\ mathrm {d}} x ^ {i} \; {\ mathrm {d}} x ^ {j}}

Widać statyczność:

Fakt, że metryka nie zależy od współrzędnej t (równanie zabijania)
Fakt, że nie ma terminów w (ortogonalności do hiperpowierzchni) ${\ Displaystyle {\ mathrm {d}} t \; {\ mathrm {d}} x ^ {i}}$

Stacjonarna czasoprzestrzeń

Mówi się, że czasoprzestrzeń jest stacjonarna, jeśli dopuszcza wektor zabijania typu czasowego, przy czym ten ostatni nie ma właściwości ortogonalności w stosunku do hiperpowierzchni. W poprzednim układzie współrzędnych skojarzona metryka jest bardziej ogólna:

{\ Displaystyle {\ mathrm {d}} s ^ {2} = V ^ {2} (x ^ {k}) - \ suma _ {ij} h_ {ij} (x ^ {k}) \; {\ mathrm {d}} x ^ {i} \; {\ mathrm {d}} x ^ {j} + \ sum _ {i} N_ {i} (x ^ {k}) \; {\ mathrm {d} } t \; {\ mathrm {d}} x ^ {i}}

Czasoprzestrzeń osiowo-symetryczna

Mówi się, że czasoprzestrzeń jest osiowo-symetryczna, jeśli jest stacjonarna (dlatego ma wektor zabijania typu czasowego , patrz powyżej) i ma inny wektor zabijania typu przestrzennego, którego przepływ tworzy zamknięte krzywe i dojeżdża z poprzednimi: $\ xi$ $\ eta$

{\ displaystyle [\ xi, \ eta] = 0}

Metryka Kerra i Kerr-Newman metryki są znane przykłady osiowosymetrycznych metryk. Powiedział bivector , z oczywistych względów, o zabicie odgrywa ważną rolę w dowodach twierdzeń osobliwość . ${\ displaystyle \ xi _ {[a} \ eta _ {b]}}$

Czasoprzestrzeń przy maksymalnej symetrii

Mówi się, że czasoprzestrzeń jest maksymalnie symetryczna - lub maksymalnie symetryczna - jeśli ma maksymalną liczbę wektorów zabijających, a mianowicie :, gdzie jest liczbą wymiarów czasoprzestrzeni. ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} n \ lewo (n + 1 \ prawo)}$ $nie$

Uogólnienia

Równanie typu Killing equation można uogólnić na tensory wyższego rzędu. Mówi się wtedy, zgodnie z wybranym uogólnieniem, o tensorze Zabijania lub tensorze Killing-Yano . W ramach twierdzeń o osobliwościach czasami wprowadzamy pojęcie dwuwektora Killing , utworzonego za pomocą dwóch wektorów Killing.

Uwagi i odniesienia

Uwagi

Termin wektor jest nadużyciem klasycznego języka w fizyce, który łatwo przyswaja element i zbiór, wektor i pole wektorów .
Wielkość zachowaną jest współczynnikiem Lorentza γ, który jest stałą równą nierelatywistycznej granicy sumy energii masy i energii kinetycznej .
W przypadku relatywistycznym, konserwowana ilość to pozycja pomnożona przez współczynnik Lorentza , który sam w sobie jest wielkością zachowaną, ponieważ jest wektorem zabijania (patrz wyżej). $\ częściowe _ {t}$

Bibliografia

Alkseevskiĭ 1995 , s. 391, kol. 2 .
Penrose'a 2007 , rozdz. 14 , § 14.7 , s. 312.
Taillet, Villain i Febvre 2018 , sv Killing (wektor), s. 411, kol. 1 .
Hawkins 2000 , rozdz. 4 , § 4.5 , s. 128, przyp. 20 .
Hawkins 2000 , s. 530.
Misner, Thorne i Wheeler 1973 , rozdz. 25 , § 25.2 , s. 650, przyp. histor. .
Misner, Thorne i Wheeler 1973 , s. 1238, kol. 1 .
Zabijanie 1892 , s. 167.
Peter i Uzan w 2012 roku , 2 e ręka. , rozdz. 3 , rozdz. 3.6 , § 3.6.1 , s. 176.
Barrau and Grain 2016 , rozdz. 7 , rozdz. 7.1 , § 7.1.2 , s. 129.
Heyvaerts 2012 , rozdz. 10 , rozdz. 10.2 , § 10.2.1 , s. 142.
Carroll 2019 , rozdz. 3 , § 3.9 , s. 140.
Hawking i Ellis 1973 , rozdz. 2 , § 2.6 , s. 44.

Zobacz też

Bibliografia

(en) Robert M. Wald , General Relativity , University of Chicago Press ,1984498 str. ( ISBN 0226870332 ), strony 119, 120, 312 do 324 i 441 do 443.
(en) D. Kramer , Hans Stephani , Malcolm Mac Callum i E. Herlt , Dokładne rozwiązania równań pola Einsteina , Cambridge, Cambridge University Press ,1980, 428 str. ( ISBN 0521230411 ), rozdział 6 (str. 76 i 77), rozdział 8 (str. 94 do 97 i 99 do 102) oraz rozdział 17 (str. 192).
[Hawking i Ellis 1973] (en) SW Hawking i GFR Ellis , Wielkoskalowa struktura czasoprzestrzeni ["Wielkoskalowa struktura czasoprzestrzeni"], Cambridge, CUP , al. „ Cambridge Monogr. Matematyka. Fiz. ",1973, 1 st ed. , 1 obj. , XI -391 pkt. , Chory. , 15,1 × 22,7 cm ( ISBN 978-0-521-20016-5 i 978-0-521-09906-6 , EAN 9780521099066 , OCLC 299342801 , uwaga BnF n o FRBNF37358308 , DOI 10.1017 / CBO9780511524646 , Bibcode 1973lsss. Book .. ... H , SUDOC 004735110 , prezentacja online , czytaj online ).
[Hawkins 2000] (en) Th. Hawkins , Powstanie teorii grup Liego : esej z historii matematyki,1869-1926 [„Powstanie teorii grup Liego: esej z historii matematyki, 1869-1926 »], Nowy Jork, Springer , pot. „ Źródła stadniny. Hist. Matematyka. Fiz. Sci. ",Lip. 2000, 1 st ed. , 1 obj. , XIII -564 s. , Chory. , 24 cm ( ISBN 0-387-98963-3 , EAN 9780387989631 , OCLC 468567740 , uwaga BnF n o FRBNF37734028 , DOI 10.1007 / 978-1-4612-1202-7 , SUDOC 058886435 , prezentacja online , czytaj online ).
[Lachièze-Rey 2006] M. Lachièze-Rey , „Przestrzeń i obserwatorzy w kosmologii” , w: M. Lachièze-Rey ( reż. ), Fizyczna przestrzeń między matematyką a filozofią , Les Ulis, EDP Sci. , pot. „Myślenie naukami ścisłymi”,Marzec 2006, 1 st ed. , 1 obj. , 362 pkt. , Chory. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-86883-821-6 , OCLC 469695981 , uwaga BnF n o FRBNF40034776 , SUDOC 103231013 , prezentacja online ) , rozdz. 15 , s. 325-344.
[Misner, Thorne i Wheeler 1973] (en) Ch. W. Misner , KS Thorne i JA Wheeler , Gravitation ["Gravitation"], San Francisco, WH Freeman , hors coll. ,1973, 1 st ed. , 1 obj. , XXVI -1279 pkt. , Chory. , 26 cm ( ISBN 0-7167-0334-3 i 0-7167-0344-0 , EAN 9780716703440 , OCLC 300307879 , uwaga BnF n o FRBNF37391055 , Bibcode 1973grav.book ..... M , SUDOC 004830148 , czytaj online ).
[Penrose 2007] R. Penrose ( przetłumaczone z języka angielskiego przez C. Laroche ), Discovering the Laws of the Universe: the Astonishing History of Mathematics and Physics [" Droga do rzeczywistości: kompletny przewodnik po prawach Wszechświata "], Paryż, O. Jacob , pot. "Nauki",sierpień 2007, 1 st ed. , 1 obj. , XXII -1061 s. , Chory. i rys. , 15,5 × 24 cm ( ISBN 978-2-7381-1840-0 , EAN 9782738118400 , OCLC 209307388 , uwaga BnF n o b41131526q , SUDOC 118177311 , prezentacja online , czytaj online ).

Podręczniki kursów

[Barrau i Grain 2016] A. Barrau i J. Grain , Ogólna teoria względności (kursy i ćwiczenia poprawione), Malakoff, Dunod , pot. „Sciences Sup. ",sierpień 2016, 2 II wyd. ( 1 st ed. sierpień 2011), 1 obj. , VIII -231 s. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-10-074737-5 , EAN 9782100747375 , OCLC 958388884 , uwaga BnF n o FRBNF45101424 , SUDOC 195038134 , prezentacja online , czytaj online ).
[Carroll 2019] SM Carroll , Czasoprzestrzeń i geometria : wprowadzenie do ogólnej teorii względności [„Czasoprzestrzeń i geometria: wprowadzenie do ogólnej teorii względności”], Cambridge, CUP , hors coll. ,sierpień 2019, 3 e ed. ( 1 st ed. Wrzesień 2003), 1 obj. , XIV- 513 s. , Chory. , 19,2 × 25,2 cm ( ISBN 978-1-108-48839-6 , EAN 9781108488396 , OCLC 1101387240 , uwaga BnF n o FRBNF45756876 , DOI 10.1017 / 9781108770385 , SUDOC 237699117 , prezentacja online , czytaj online ).
[Heyvaerts 2012] J. Heyvaerts , Astrofizyka: gwiazdy, wszechświat i teoria względności (kursy i ćwiczenia poprawione), Paryż, Dunod , coll. „Sciences Sup. ",Sierpień 2012, 2 II wyd. ( 1 st ed. Wrzesień 2006), 1 obj. , X -384 s. , Chory. i rys. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-10-058269-3 , EAN 9782100582693 , OCLC 816556703 , uwaga BnF n o FRBNF42740481 , SUDOC 163817030 , prezentacja online , czytaj online ).
[Peter i Uzan 2012] P. Peter i J.-Ph. Uzan ( pref. Of Th. Damour ), Pierwotnej Cosmology , Paryżu, Belin , coll. "Drabiny",Lut. 2012, 2 II wyd. ( 1 st ed. Wrzesień 2005), 1 obj. , 816 pkt. , Chory. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-7011-6244-7 , EAN 9782701162447 , OCLC 793482816 , uwaga BnF n o FRBNF42616501 , SUDOC 158540697 , prezentacja online , czytaj online ).

Słowniki i encyklopedie

[Alkseevskiĭ 1995] (en) DV Alkseevskiĭ , „ Killing vector ” , w M. Hazewinkel ( red. ), Encyclopaedia of mathematics , t. III : Hea - Mama , Dordrecht i Boston, Kluwer Academic ,1995, 1 st ed. , 1 obj. , 950 pkt. , Chory. , 30 cm ( ISBN 1-556-08010-7 , EAN 9781556080104 , OCLC 36916612 , DOI 10.1007 / 978-1-4899-3793-3 , SUDOC 030252288 , prezentacja online , czytaj online ) , sv Wektor zabijania ["wektor zabijania ”], S. 391-392.
[Taillet, Villain i Febvre 2018] R. Taillet , L. Villain i P. Febvre , Słownik fizyki , Louvain-la-Neuve, De Boeck Sup. , z wyjątkiem coll. ,Sty 2018, 4 th ed. ( 1 st ed. Maj 2008), 1 obj. , X -956 str. , Chory. i rys. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-8073-0744-5 , EAN 9782807307445 , OCLC 1022951339 , SUDOC 224228161 , prezentacja online , czytaj online ) , sv Killing (vector of), s. 411, kol. 1.

Oryginalny artykuł

[Killing 1892] (de) W. Killing , „ Über die Grundlagen der Geometrie ” , J. queen angew. Matematyka. , vol. 109,Grudzień 1892, s. 121-186 ( Bibcode 1892JRAM..109 ..... K , czytaj online ).

Powiązane artykuły