Czynnik Lorentza

Czynnik Lorentza jest kluczowym parametrem udział w wielu wzorach szczególnej teorii względności z Albertem Einsteinem . Jest to czynnik, o jaki czas, długości i relatywistyczna masa zmieniają się dla obiektu, gdy ten obiekt jest w ruchu.

Historyczny

Czynnik Lorentza (w języku angielskim  : Czynnik Lorentza ) jest tak nazwany na cześć holenderskiego matematyk i fizyk Hendrik Antoon Lorentz , laureat nagrody Nobla w dziedzinie fizyki w 1902 roku , który wprowadził go w 1904 roku jako stosunek proporcjonalności pomiędzy dwa razy, prawda czas i czas lokalny , ale który pojawił się w jego wcześniejszych pracach z 1895 roku jako stosunek dwóch długości.

Czynnikiem jest również nazywany Lorentz współczynnik gamma lub czas czynnik dylatacja .

Notacja i ekspresja

Czynnik Lorentza jest powszechnie zauważyć , na małe się gamma z alfabetu greckiego . γ{\ displaystyle \ gamma}

Definiuje go:

γ=vsvs2-v2=11-v2vs2=11-β2=1α=retreτ{\ Displaystyle \ gamma = {\ Frac {c} {\ sqrt {c ^ {2} -v ^ {2}}}} = {\ Frac {1} {\ sqrt {1 - {\ Frac {v ^ { 2}} {c ^ {2}}}}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} = {\ frac {1} {\ alpha}} = { \ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} \ tau}}}

lub:

• v{\ displaystyle v}jest względną prędkością rozpatrywanego telefonu komórkowego;
• vs{\ displaystyle c}jest prędkością światła w próżni  ;
• β{\ displaystyle \ beta}jest zmniejszona prędkość , określony jako stosunek do  :v{\ displaystyle v}vs{\ displaystyle c}

β=vvs{\ displaystyle \ beta = {\ frac {v} {c}}};

• α{\ displaystyle \ alpha}jest współczynnikiem skurczu, który jest odwrotny od  :γ{\ displaystyle \ gamma}

α=vs2-v2vs=1-v2vs2=1-β2=reτret=1γ{\ Displaystyle \ alpha = {\ Frac {\ sqrt {C ^ {2} -v ^ {2}}} {c}} = {\ sqrt {1 - {\ Frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} = {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ tau} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {1 } {\ gamma}}};

• t{\ displaystyle t} jest współrzędną czasową;
• τ{\ displaystyle \ tau}to czysty czas .

Wymiar

W analizie wymiarowej współczynnik Lorentza jest wielkością bezwymiarową .

Niektóre wartości

Poniższa tabela przedstawia niektóre wartości współczynnika Lorentza odpowiadające różnym wartościom prędkości, podane jako procent c .

β=v/vs{\ displaystyle \ beta = v / c}	γ{\ displaystyle \ gamma}	α=1/γ{\ Displaystyle \ alpha = 1 / \ gamma}
0,000	1000	1000
0,100	1,005	0,995
0,200	1.021	0,980
0,300	1.048	0.954
0,400	1.091	0.917
0,500	1.155	0,866
0.600	1,250	0,800
0,700	1400	0,714
0,800	1.667	0.600
0,866	2000	0,500
0.900	2,294	0,436
0,990	7.089	0,141
0,999	22,366	0,045

Główne zastosowanie

Współczynnik Lorentza dotyczy dylatacji czasu i skurczu długości w szczególnej teorii względności .

Możemy opisać te efekty, rozważając następujące wyimaginowane eksperymenty (wyobrażone, ponieważ aby efekt był mierzalny, konieczne jest, aby prędkości były zbliżone do prędkości światła).

Obserwatorzy naziemni umieszczeni wzdłuż toru danej rakiety i obserwujący jej zegar przez iluminator zobaczą, że ten ostatni obraca się wolniej. Jeśli Δτ jest przedziałem czasu odczytanym na zegarze rakietowym, będzie mu odpowiadał dłuższy czas Δt określony wzorem:

Δt=γΔτ.{\ Displaystyle \, \ Delta t = \ gamma \ Delta \ tau \,.}

To wydłużenie czasu jest przyczyną słynnego paradoksu bliźniąt .

Skurcz długości ilustruje paradoks pociągu . Jeżeli pociąg o odpowiedniej długości L 0 (jest to długość mierzona przez obserwatora w spoczynku w stosunku do pociągu) przejedzie przez tunel o tej samej długości naturalnej L 0 , obserwatorzy znajdujący się na torze będą mogli zaobserwować, że w godz. w danej chwili pociąg wydaje się im krótszy od tunelu, a jego „pozorna” długość L jest krótsza od tunelu i określona wzorem:

L=L0/γ.{\ Displaystyle \, L = L_ {0} / \ gamma \,.}

Demonstracja

Szczególne przyczyny względności dotyczące wydarzeń zidentyfikowanych w czterowymiarowej czasoprzestrzeni za pomocą współrzędnej czasowej t i trzech współrzędnych przestrzennych ( x, y, z ). Jeśli weźmiemy pod uwagę dwa zdarzenia E1 i E2 o współrzędnych ( t 1 , x 1 , y 1 , z 1 ) i ( t 2 , x 2 , y 2 , z 2 ) określamy kwadrat przedziału czasoprzestrzennego Δτ między nimi dwa zdarzenia według wzoru:

vs2Δτ2=vs2(t2-t1)2-(x2-x1)2-(y2-y1)2-(z2-z1)2,{\ Displaystyle \, c ^ {2} \ Delta \ tau ^ {2} = c ^ {2} (t_ {2} -t_ {1}) ^ {2} - (x_ {2} -x_ {1} ) ^ {2} - (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2} - (z_ {2} -z_ {1}) ^ {2} \ ,,}

lub:

vs2Δτ2=vs2Δt2-Δs2{\ Displaystyle \, c ^ {2} \ Delta \ tau ^ {2} = c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta s ^ {2}}

jeśli Δt i Δs reprezentują odległość czasową i odległość przestrzenną między dwoma zdarzeniami.

Szczególna teoria względności zakłada, że ​​wielkość ta jest niezależna od znaku odniesienia, w którym jest obliczana. Mówi się, że jest niezmienny przez zmianę współrzędnych.

Zastosujmy tę właściwość niezmienności do dwóch zdarzeń zachodzących w rakiecie. Rozważmy zatem dwa kolejne błyski oddzielone przedziałem czasowym Δτ mierzonym w rakiecie (wystarczy odczytać czas wskazywany przez zegar pokładowy). W nieruchomej klatce dwóch obserwatorów naziemnych w zbieżności z błyskami 1 i 2 odnotowuje czas na swoim zegarze i mierzy różnicę czasu równą Δt . Ci dwaj obserwatorzy naziemni znajdują się w odległości równej v Δt, jeśli v jest prędkością rakiety. Wielkość ta reprezentuje odległość przestrzenną między zdarzeniami E1 i E2 w stałej klatce. Ponieważ w rakiecie emitowane są dwie błyskawice, odległość przestrzenna między tymi samymi dwoma zdarzeniami oszacowana w ramie rakiety wynosi zero. Zapisując niezmienność wielkości c 2 Δt 2  -  Δs 2 otrzymujemy:

vs2Δτ2-0=vs2Δτ2=vs2Δt2-v2Δt2.{\ Displaystyle \, c ^ {2} \ Delta \ tau ^ {2} -0 = c ^ {2} \ Delta \ tau ^ {2} = c ^ {2} \ Delta t ^ {2} -v ^ {2} \ Delta t ^ {2} \,.}

Ta formuła dobrze oddaje:

Δt=Δτ/1-(v2/vs2){\ Displaystyle \ Delta t = \ Delta \ tau / {\ sqrt {1- (v ^ {2} / c ^ {2})}}} równy z definicji γΔτ{\ Displaystyle \ gamma \ Delta \ tau}

Uwaga

Wprowadzając parametr prędkości kątowej θ określony wzorem:

θ=wtwniegodz(v/vs){\ displaystyle \ theta \, = \, \ mathrm {atanh} \, (v / c)}

mamy :

β=(v/vs)=tanh⁡θ{\ Displaystyle \, \ beta = (v / c) = \ tanh \ theta}

i:

γ=pałka⁡θ.{\ Displaystyle \, \ gamma = \ cosh \ theta \,.}

Ta zmiana zmiennej umożliwia prostsze pisanie wzorów Lorentza .

Energia

Z wartości energetycznej cząstki masy w spoczynku wnioskujemy , γ{\ displaystyle \ gamma}m0{\ displaystyle m_ {0}}

mi=mvs2=γm0vs2{\ Displaystyle E = mc ^ {2} = \ gamma m_ {0} c ^ {2}}

gdzie jest prędkość światła w próżni i masa poruszającej się cząstki (która zależy od jej prędkości). vs{\ displaystyle c}m{\ displaystyle m}

Korzystając z seryjnego rozszerzenia tej funkcji w postaci liczby całkowitej,

mi=m0vs21-v2vs2=m0vs2+12m0v2+38m0v4vs2+...+m0vs2(2nie)!22nie(nie!)2v2nievs2nie+...{\ Displaystyle E = {\ Frac {m_ {0} c ^ {2}} {\ sqrt {1 - {\ Frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} = m_ {0 } c ^ {2} + {\ frac {1} {2}} m_ {0} v ^ {2} + {\ frac {3} {8}} {\ frac {m_ {0} v ^ {4} } {c ^ {2}}} + ... + m_ {0} c ^ {2} {\ frac {(2n)!} {2 ^ {2n} (n!) ^ {2}}} {\ frac {v ^ {2n}} {c ^ {2n}}} + ...}

Znajdujemy energię spoczynkową zawartą w masie (v = 0):

mi0=m0vs2{\ Displaystyle E_ {0} = m_ {0} c ^ {2}}

mi=mi0+mivs{\ displaystyle E = E_ {0} + E_ {c}}

mivs=(γ-1)m0vs2{\ Displaystyle E_ {c} = (\ gamma -1) m_ {0} c ^ {2}}

γ=1+mivsm0vs2{\ Displaystyle \ gamma = 1 + {\ Frac {E_ {c}} {m_ {0} c ^ {2}}}}

Jak również przybliżenie energii kinetycznej dla małych prędkości (v << c):

mivs≈12m0v2{\ Displaystyle E_ {c} \ około {\ Frac {1} {2}} m_ {0} v ^ {2}} z m0≈m{\ displaystyle m_ {0} \ około m}

Uwagi i odniesienia

1. Clement 2017 , rozdz.  2 , rozdz. 1 , §  1.1 , s.  19.
2. Semay i Silvestre-Brac 2016 , rozdz.  2 , rozdz. 2.1 , §  2.1.4 , s.  30.
3. Taillet, Villain i Febvre 2013 , sv factor de Lorentz, s.  269, kol.  2 .
4. Steane 2012 , rozdz.  2 , rozdz. 2.1 , s.  17.
5. Gourgoulhon 2010 , rys historyczny, str.  113.
6. (w) Hendrik A. Lorentz , "  Zjawiska elektromagnetyczne w układzie poruszającym się z prędkością mniejszą niż światło  " , Proceedings of the Section of Sciences, Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen, Amsterdam , vol.  6,1904, s.  809-831
7. Rax 2005 , rozdz.  2 , rozdz. 2.1 , s.  40.
8. Warkocz n. d .
9. Ruffini i in. , rys. 1 , str.  31.
10. Taillet, Villain i Febvre 2013 , sv factor of Lorentz, s.  270, kol.  1 .
11. Cox i Forshaw 2012 , rozdz.  3 , s.  42.
12. Taillet, Villain i Febvre 2013 , sv rapidité, s.  575, kol.  1 .
13. Taillet, Villain i Febvre 2013 , sv transformacja Lorentza, str.  691, kol.  1 .
14. Douglas C. Giancoli , Fizyka ogólna: fale, optyka i fizyka współczesna , t.  3: Fale, optyka i współczesna fizyka,2004, 488  str. ( ISBN  2-8041-1702-2 , czytaj online ), s.  207 ( czytaj online )

Zobacz też

Bibliografia

• [Clément 2017] B. Clément , Fizyka cząstek: wprowadzenie do pojęć i formalizmu modelu standardowego , Malakoff, Dunod , pot.  „Sciences sup. / Fizyka ",sierpień 2017, 2 II  wyd. ( 1 st  ed. Kwiecień 2013), 1  obj. , VII -182  s. , Chory. , 24  cm ( ISBN  978-2-10-076171-5 , EAN  9782100761715 , OCLC  1004270212 , uwaga BnF n o  FRBNF45343687 , SUDOC  204093430 , prezentacja online , czytaj online ).
• [Cox i Forshaw 2012] B. Cox i J. Forshaw ( przetłumaczone  z języka angielskiego przez G. Chouraqui ), Pourquoi E = mc 2  ? : A jak to działa? ["  Dlaczego E = mc 2  ?  »], Malakoff, Dunod , pot.  „Quai des sciences”,Kwiecień 2012( repr. Lut. 2019), 1 st  ed. , 1  obj. , XII -206  s. , Chory. , 24  cm ( ISBN  978-2-10-057564-0 , EAN  9782100575640 , OCLC  798386654 , uwaga BnF n o  FRBNF42661962 , SUDOC  160848504 , prezentacja online , czytaj online ).
• [Gourgoulhon 2010] É. Gourgoulhon , Restricted Relativity: From Particles to Astrophysics , Les Ulis i Paris, EDP ​​Sciences i CNRS Éditions , coll.  "Bieżąca wiedza / Fizyka",Maj 2010, 1 st  ed. , 1  obj. , XXVI -776  pkt. , Chory. , 23  cm ( ISBN  978-2-7598-0067-4 i 978-2-271-07018-0 , EAN  9782759800674 , OCLC  731758818 , uwaga BnF n o  FRBNF41411713 , SUDOC  14466514X , prezentacja online , czytaj online ) , rozdz.  4 („Kinematyka”), rozdz. 4.1 („Współczynnik Lorentza”), s.  99-106.
• [Rax 2005] J.-M. Rax ( pref.  Spośród B. Bigota ,) Fizyka plazmy: Kursy i aplikacje , Malakoff, Dunod , coll.  „Sciences sup. / Fizyka ",Sierpień 2005, 1 st  ed. , 1  obj. , XII -426  s. , Chory. , 24  cm ( ISBN  978-2-10-007250-7 , EAN  9782100072507 , OCLC  77230441 , uwaga BnF n o  FRBNF40025642 , SUDOC  090320409 , prezentacja online , czytaj online ).
• [Ruffini i in. 2002] R. Ruffini , S.-S. Xue , CL Bianco , F. Fraschetti i P. Chardonnet „  czarnych dziur źródło energii  ” La Recherche , N O  353: „gniew czarny otworów: tajemnicy błysków”Maj 2002, s.  30-32 ( Bibcode  2002Rech..353 ... 30R , podsumowanie , czytaj online ).
• [Semay i Silvestre-Brac 2016] C. Semay i B. Silvestre-Brac , Restricted Relativity: bases and applications , Malakoff, Dunod , coll.  „Sciences sup. / Fizyka ",marzec 2016, 3 e  ed. ( 1 st  ed. Paź 2005), 1  obj. , X -309  str. , Chory. , 24  cm ( ISBN  978-2-10-074703-0 , EAN  9782100747030 , OCLC  945975983 , uwaga BnF n o  FRBNF45019762 , SUDOC  192365681 , prezentacja online , czytaj online ).
• [Steane 2012] (en) AM Steane , Relativity made stosunkowo easy [„Relativity made stosunkowo easy”], Oxford, OUP , hors coll. ,Paź 2012, 1 st  ed. , 1  obj. , XV -419  s. , Chory. , 18,9 × 24,6  cm ( ISBN  978-0-19-966285-2 i 978-0-19-966286-9 , EAN  9780199662852 , OCLC  867915395 , SUDOC  170633683 , prezentacja online , czytaj online ).
• [Taillet, Villain i Febvre 2013] R. Taillet , L. Villain i P. Febvre , Słownik fizyki , Bruksela, De Boeck Sup. , z wyjątkiem coll. ,Lut. 2013, 3 e  ed. ( 1 st  ed. Maj 2008), 1  obj. , X -899  str. , Chory. , 24  cm ( ISBN  978-2-8041-7554-2 , EAN  9782804175542 , OCLC  842156166 , uwaga BnF n o  FRBNF43541671 , SUDOC  167932349 , czytaj online ) , współczynnik sv Lorentza, str.  269-270.

Powiązane artykuły

• Ograniczona teoria względności , wzory Lorentza
• Przedział czasoprzestrzenny
• E = mc 2
• Transformacja Lorentza

Linki zewnętrzne

• [Tresse nd] L. Tresse , "  The Lorentz Factor  " , na temat niestandardowej astrofizyki z Jednostki Szkolenia i Nauczania Obserwatorium Paryskiego , n. d .
• (w) Lorentz czynnik (czynnik Lorentza) na etymologiczne Dictionary of Astronomy and Astrophysics z Obserwatorium Paryskiego .