Ilość ruchu

Opis tego obrazu, również skomentowany poniżej

W grze w bilard można uznać, że istnieje zachowanie pędu układu utworzonego przez zderzające się kule. W ten sposób, podczas zderzenia poruszającej się piłki z inną nieruchomą, ta ostatnia uzyska całość (jeśli padająca piłka zostanie zatrzymana) lub część (jeśli będzie kontynuowana lub zostanie odbita) początkowego pędu padającej piłki. Kluczowe dane

Jednostki SI	kg · m · s- 1 (= N · s )
Wymiar	ML T-1
Natura	Rozmiar Wektor konserwatywny rozległy
Link do innych rozmiarów	$\ vec {p} = m \ vec {czas.}$

W fizyce The wielkość przepływu jest produktem o masie przy prędkości wektora istotnej ciała zakłada się, że punkt. Chodzi więc o wielkość wektorową, określoną przez , która zależy od układu odniesienia badania. Dzięki addytywności można zdefiniować pęd ciała niepunktowego (lub systemu materialnego), który można wykazać, że jest równy pędowi jego środka bezwładności, na który wpływa całkowita masa układu, lub ( C jest środek bezwładności układu). $\ vec {p} = m \ vec {czas.}$ ${\ displaystyle {\ vec {p}} _ {\ tekst {system}} = m _ {\ tekst {system}} {\ vec {v}} _ {C}}$

Pojęcie pędu jest naturalnie wprowadzone dynamicznie : w rzeczywistości fundamentalna relacja dynamiki wyraża, że działanie siły zewnętrznej na układ prowadzi do zmiany jego pędu: . Ponadto jest częścią, wraz z energią , wielkości, które są zachowane dla systemu izolowanego, to znaczy poddanego jakimkolwiek działaniom zewnętrznym, lub jeśli są one pomijalne lub są kompensowane. Ta właściwość jest wykorzystywana w szczególności w teorii zderzeń . ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {p}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ vec {F}} _ {\ rm {ext}}}$

W mechanice analitycznej lub kwantowej pęd pojawia się naturalnie jako wielkość związana z niezmienniczością hamiltonianu lub lagrangianu w przesunięciu przestrzeni, czyli z właściwością jednorodności przestrzeni, która jest skutecznie weryfikowana przy braku sił zewnętrznych lub pola. Na bardziej ogólnym poziomie jest to w istocie jedna z konsekwencji twierdzenia Noether, które pozwala powiązać ciągłą symetrię układu z prawami zachowania.

Pojęcie pędu liniowego lub pędu uogólnia w mechanice analitycznej pojęcie pędu jako sprzężenia momentu uogólnionej prędkości , tj . . Ilość ruchu i impuls są często mylone z powodu ich zbieżności w większości przypadków. Jednak te dwie wielkości są różne. $\ kropka {q_i}$ $p_i = \ frac {\ częściowe L} {\ częściowe \ kropka {q_i}}$

Impuls pokrywa się z pędem we współrzędnych kartezjańskich lub ogólniej, jeśli jest pochodną zmiennej liniowej, a nie kąta i przy braku pola magnetycznego. W przypadku naładowanej cząstki poruszającej się w polu elektromagnetycznym pęd i pęd różnią się terminem ze względu na potencjał wektorowy , gdzie $q$ jest ładunkiem cząstki. „Kątowym” odpowiednikiem liniowego momentu pędu jest moment pędu ogólnie mylony z momentem pędu . $\ kropka {q_i}$ $q \ vec {A}$

Możliwe jest również określenie wielkości ruchu, częściej nazywanego impulsem , dla pola elektromagnetycznego . Najczęściej odwołuje się do objętościowej gęstości impulsów pola podanej przez . ${\ displaystyle {\ vec {g}} = \ varepsilon _ {0} {\ vec {E}} \ klin {\ vec {B}}}$

W mechanice relatywistycznej pojęcia pędu i energii są połączone przez wprowadzenie kwadrywektora energia-pęd , gdzie $γ$ jest współczynnikiem Lorentza . $p ^ \ alfa = (\ gamma mc, \ gamma m \ vec {v})$

W mechanice kwantowej pęd definiuje się jako „operator wektorowy”, to znaczy jako zbiór trzech operatorów (jeden na składnik przestrzenny), które respektują pewne relacje komutacyjne (zwane kanonicznymi ) ze składnikami operatora położenia .

Fabuła

System arystotelesowski

Pierwsze sformułowanie pędu znajdujemy u Jeana Buridana (1292-1363), w jego Questiones sur la physique d' Aristote : Wszczepiony impet wzrasta w tym samym stosunku co prędkość. Kiedy inicjator wprawia ciało w ruch, nadaje mu pewien impet . Jest to pewna siła, która pozwala ciału poruszać się w kierunku, w którym poruszający rozpoczyna ten ruch, czy to w górę, w dół, na boki, czy po okręgu. To z powodu tego impetu , mówi, kamień porusza się po tym, jak rzucający przestaje nim poruszać. Ale ze względu na opór powietrza (a także grawitację kamienia) próbując poruszyć go w kierunku przeciwnym do ruchu wywołanego impetem , będzie on cały czas słabł. Dlatego ruch kamienia będzie stopniowo wolniejszy, a ostatecznie pęd jest tak zmniejszony lub zniszczony, że przeważa grawitacja kamienia i przesuwa kamień w jego naturalne miejsce. Można, mówi, przyjąć to wyjaśnienie, ponieważ inne wyjaśnienia okazują się fałszywe, podczas gdy wszystkie zjawiska zgadzają się z tym. Należy zauważyć, że wszczepiony impuls jest spowodowany prędkością i przyjmuje się, że jest do niej proporcjonalny. Gdzie indziej Buridan uważał to za proporcjonalne do masy ciała. W odpowiednio dobranych jednostkach. Termin $waga \times prędkość$ powtórzony przez historyka nauki Olafa Pedersena (w) nadaje dokładne znaczenie impetowi , koncepcji, która wcześniej była dość niejasna. Formalnie ta nowa koncepcja dynamiki jest równa rozpędowi fizyki klasycznej, ale w rzeczywistości te dwie rzeczy są bardzo różne, ponieważ odgrywają różne role w swoich odpowiednich teoriach dynamicznych. Ważne jest to, że w średniowiecznym znaczeniu słowo impetus jest siłą o takim samym statusie fizycznym jak grawitacja, lekkość, magnetyzm itp. Jednakże teoria może dobrze utorowały drogę dla koncepcji bezwładności , które na stałe zastąpi XVII th wieku .

Mechanika klasyczna

W Dyskursy dimostrazioni matematiche intorno należna NUOVE Scienze z Galilei , zachowania pędu, jest jeszcze w pełni uznane i stosowane, występuje tylko podczas prezentacji. René Descartes , mierząc jej pełny zakres, wprowadza ją jako „prawo natury” na progu swojej filozofii naturalnej. Jednak polami zastosowań systemu Kartezjusza pozostają kosmologia filozoficzna. Nie ma jakości twierdzenia naukowego, nierozerwalnie związanego z warunkami wymaganymi przez zgeometryzowaną teorię ruchu. Poprzez powiązanie z koncepcją materii samej w sobie obojętnej na spoczynek i ruch, Galileusz jest bezpośrednim prekursorem klasycznej zasady bezwładności, otwierając drogę do pierwszej matematycznej teorii ruchu, której wyniki w pełni przejdą do syntezy newtonowskiej. ...

Jednostki

SI modułu pędu jest kilogram metrów na sekundę kg M S -1 , odpowiednik Nm s ( Ns ).

Urządzenie w cesarskiego systemu jest funt utwardzana w podwyŜszonej sekund ( lbf s ): 1 lbf s = 4,448 221 ns . Jest to pomieszanie tych dwóch jednostek, metrycznych i calowych, co było przyczyną utraty sondy Mars Mars Climate Orbiter23 września 1999, nacisk niewielkich poprawek trajektorii na orbitę sondy został niedoszacowany o współczynnik ~ 4,5.

Mechanika klasyczna

Definicja w mechanice Newtona

W mechanice klasycznej pęd punktu materialnego o masie $m$ animowanego w danym układzie odniesienia prędkości definiuje się jako iloczyn masy i prędkości: ${\ vec {czas.}}$

\ vec {p} = m \ vec {czas.}

Jest więc, podobnie jak prędkość, wielkością wektorową , której jednostką SI jest kilogram-metr na sekundę ( kg m s- 1 ).

Wielkość ta jest addytywna , więc dla układu materiałowego złożonego z cząstek N , całkowity pęd (lub wypadkowa kinetyczna ) układu jest określony przez:

{\ displaystyle {\ vec {p}} = \ suma _ {i} {m_ {i} \, {\ vec {v}} _ {i}}}

Wprowadzając środek bezwładności C układu, którego wektor położenia jest z definicji , natychmiast wyprowadza się zależność: ${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {C} = {\ frac {\ suma _ {i} {m_ {i} {\ vec {r}} _ {i}}} {\ suma _ {i} Środek}}}}$

{\ displaystyle \ suma _ {i} {m_ {i} {\ vec {v}} _ {i}} = \ po lewej (\ suma _ {i} {m_ {i}} \ po prawej) {\ vec {v }}_{VS},}

innymi słowy całkowity pęd układu jest równy pędowi jego środka bezwładności C, na który wpływa całkowita masa układu: $M = \ suma_i {m_i} \,$

{\ displaystyle {\ vec {p}} = M \, {\ vec {v}} _ {C}.}

Zależność ta obowiązuje dla każdego rodzaju systemu materiałowego, odkształcalnego lub nie.

W mechanice ciała stałego pęd jest wynikiem torsora kinetycznego .

Ilość ruchu i sił

Podstawowy związek dynamiki

Podstawowy związek dynamiki wyraża fakt, że działanie na życie zmienia się tempo materiału o w galilejskim ramki odniesienia :

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {p}}} {\ mathrm {d} t}} = \ suma _ {i} {{\ vec {F}} _ {i}}}

Związek ten można łatwo uogólnić na układ materialny w odniesieniu do całkowitego pędu układu, to znaczy jego środka bezwładności C, na który wpływa całkowita masa układu:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {p}}} {\ mathrm {d} t}} = \ suma _ {i} {{\ vec {F}} _ {i, {\ rm {w.}}}}.}

Wynik ten znany jest pod nazwą twierdzenia o wypadkowej kinetycznej lub twierdzenia o środku bezwładności : pokazuje on, że dla układu materialnego działanie sił zewnętrznych prowadzi do zmiany pędu środka bezwładności system.

Zachowanie pędu

W przypadku braku sił zewnętrznych lub gdy ich wypadkowa jest równa zeru, pęd układu materialnego jest więc stałą ruchu , ponieważ od tamtej pory . W mechanice analitycznej prawo zachowania może być powiązane z niezmiennością translacji lagranżanu w przestrzeni, patrz . poniżej. ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {p}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ vec {0}}}$

Klasyczną ilustracją zachowania pędu jest wahadło Newtona , często używane jako obiekt dekoracyjny ( patrz ilustracja obok). Kula na jednym końcu jest wypuszczana bez prędkości i nabiera pewnego ruchu, a następnie zderza się z innymi sąsiednimi kulami. Piłka na drugim końcu zaczyna ponownie w tym samym kierunku, co piłka padająca, po nabyciu pędu, który jest „przenoszony” przez sąsiednie kule.

Ogólnie rzecz biorąc, zachowanie pędu jest bardzo ważne w badaniu wstrząsów cząstek lub rozpadu (rozdzielenia na kilka części) układu. Rzeczywiście, w przypadku uderzenia dwóch (lub więcej) ciał materialnych, czas trwania oddziaływania między ciałami jest bardzo krótki i można pominąć efekt oddziaływań zewnętrznych względem układu, jakim są zderzające się ciała. którego całkowity pęd można zatem uznać za zachowany. Należy podkreślić, że energia kinetyczna generalnie nie jest zachowywana podczas zderzenia, ponieważ często podczas zderzenia następuje zmiana wewnętrznego stanu ciał: na przykład dwie cząstki, które pozostają obok siebie podczas zderzenia. tylko jeśli zderzenie jest elastyczne , energia kinetyczna jest zachowana, oprócz pędu ( patrz ilustracje obok).

Dwa klasyczne przykłady ilustrują zastosowanie zasady zachowania pędu w badaniu wstrząsów lub dezintegracji układu:

Przykład 1: uderzenie z pełną siłą kuli bilardowej przez inną kulę: kula bilardowa o masie m uderza z pełną siłą (środki wyrównane) z prędkością winną kulę bilardową o masie m' , początkowo nieruchomą. Zachowanie całkowitego pędu układu {kula 1 + kula 2} podczas bardzo krótkiego czasu trwania wstrząsu implikuje: $\ vec {czas.} _i$

{\ displaystyle m \, {\ vec {v}} _ {i} = m \, {\ vec {v}} _ {f} + m '\, {\ vec {v}}' _ {f}}

, albo ,

{\ displaystyle m '\, {\ vec {v}}' _ {f} = - m \, ({\ vec {v}} _ {f} - {\ vec {v}} _ {i}) = -m \, \ Delta {\ vec {v}} _ {i}}

gdzie jest zmiana prędkości pierwszej piłki podczas wstrząsu. Jeśli uderzenie ma pełną siłę, to i są współliniowe, a następnie druga kula wylatuje z odpowiednią prędkością . Na granicy może nastąpić przeniesienie całego pędu z pierwszej kuli na drugą, a następnie . $\ Delta \ vec {czas.} _i$ $\ Delta \ vec {czas.} _i$ ${\ displaystyle {\ vec {vb}} '_ {f}}$ $v'_f = \ frac {m} {m '} | \ Delta v_i |$ $v'_f = \ frac {m} {m '} v_i$

Przykład 2: odrzut broni palnej : gdy używana jest broń palna, system {broń o masie M + pocisk o masie m } można uznać za izolowany, przy czym działanie ciężaru jest pomijalne. W tym przypadku, przy założeniu, że broń jest nieruchoma w układzie odniesienia, zachowanie pędu układu przed i po oddaniu strzału oznacza, że:

{\ displaystyle {\ vec {0}} = {\ vec {p}} _ {\ tekst {broń}} + {\ vec {p}} _ {\ tekst {pocisk}} = m _ {\ tekst {broń } } \, {\ vec {v}} _ {\ text {broń}} + m _ {\ text {pocisk}} \, {\ vec {v}} _ {\ text {pocisk}}}

{\ displaystyle {\ vec {vb}} _ {\ tekst {piłka}}}

oraz wyznaczanie odpowiednio prędkości pocisku i broni tuż po wystrzeleniu. Zobacz szczegółowy artykuł: odrzut broni palnej .

{\ displaystyle {\ vec {vb}} _ {\ tekst {broń}}}

W efekcie dochodzi do zjawiska odrzutu broni przy dużej prędkości . ${\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ tekst {broń}} = - {\ frac {m _ {\ tekst {pocisk}}} {m _ {\ tekst {broń}}}} \, {\ vec { v}} _ {\ tekst {piłka}}}$

To samo zjawisko występuje, gdy ciężki przedmiot (kamień) zostanie zrzucony z łodzi (zdjęcie obok). To słynne przeżycie łodzi Cielkowskiego .

Ogólnie rzecz biorąc, zjawisko to pozwala zrozumieć zasadę działania silnika rakietowego ( patrz rysunek obok): wyrzucenie masy (dm jest zmianą masy statku, która jest ujemna) materii z prędkością wyrzutu podczas d t prowadzi — ze względu na zachowanie pędu — (i pomijając działanie sił zewnętrznych ) do zmiany prędkości rakiety kosmicznej od . Poprzez całkowanie w skończonym okresie czasu prędkość rakiety (o początkowej masie m 0 ) zmienia się zatem o $Δ$ $m$ $<0,$ ponieważ rakieta traci masę. W ten sposób rakieta porusza się w kierunku przeciwnym do wyrzucanych gazów (por. równanie Cielkowskiego ). ${\ styl wyświetlania - \ matematyka {d} m}$ $\ vec {czas.} _e$ ${\ displaystyle m \, \ mathrm {d} {\ vec {v}} = \ mathrm {d} m \, {\ vec {v}} _ {e}}$ $\ Delta t$ $\ Delta \ vec {v} = \ vec {v} _e \ ln {\ po lewej (1+ \ frac {\ Delta m} {m_0} \ po prawej)}$

Przykład 3: Uniesienie skrzydła: Możliwe jest obliczenie uniesienia skrzydła poprzez zsumowanie elementarnych sił nacisku działających w każdym punkcie tego skrzydła. Jednak wytwarzanie siły nośnej przez skrzydło jest nieodłącznie spowodowane rzutem w dół powietrza przepływającego nad tym skrzydłem (możemy więc powiedzieć, że skrzydło jest reaktywne ).

Podobnie pomiar w tunelu aerodynamicznym zmiany pędu poziomego powietrza opływającego skrzydło umożliwia obliczenie oporu aerodynamicznego tego skrzydła. Koncepcja perkusji mechanicznej

Odmiana pędu spowodowanych działaniem siły jest zatem obliczana jako integralny z siłą podczas trwania działania siły. Dla obiektu o początkowym pędzie w chwili $t$ $1$ , na który działa siła przez czas $t$ $2$ $-$ $t$ $1$ , całka tej siły względem czasu w tym czasie wynosi: ${\ displaystyle {\ vec {p}} _ {1} = {\ vec {p}} (t_ {1})}$ ${\ displaystyle {\ vec {F}} (t)}$

{\ displaystyle {\ vec {I}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ vec {F}} (t) \, \ mathrm {d} t}

Wykorzystując fundamentalną relację dynamiki otrzymujemy: ${\ displaystyle {\ vec {F}} (t) = {\ frac {\ matematyka {d} {\ vec {p}} (t)} {\ matematyka {d} t}}}$

{\ displaystyle {\ vec {I}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ frac {\ matematyka {d} {\ vec {p}} (t)} {\ matematyka {d} t}} \, \ mathrm {d} t = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ mathrm {d} {\ vec {p}} = {\ vec {p} } _ {2} - {\ vec {p}} _ {1} = \ Delta {\ vec {p}}}

Zwyczajem, wywodzącym się z anglosaskiej nazwy impuls , jest nazywanie tej wielkości „impulsem”. Niemniej jednak, ściśle mówiąc, w języku francuskim impuls oznacza moment sprzężony, wielkość mechaniki Lagrange'a . Gdy czas działania siły jest bardzo krótki, poprzednia wielkość $I$ nazywana jest udarem mechanicznym , ze względu na jej znaczenie w teorii wstrząsów.

Definicja w mechanice analitycznej

W mechanice Lagrange'a stan układu cząstek N (3 N stopni swobody) jest opisany przez jego odnotowany Lagranżian , gdzie i oznacza współrzędne i prędkości uogólnione w postaciach wektorowych i-tej cząstki ( i = 1, .. ., N ). ${\ displaystyle L ({\ vec {q}} _ {i}, {\ kropka {\ vec {q}}} _ {i}, t) \,}$ ${\ displaystyle {\ vec {q}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ kropka {\ vec {q}}} _ {i}}$

Pojęcie momentu sprzężonego lub uogólnionego pędu

Dla każdej cząstki możliwe jest określenie momentu sprzężonego (lub uogólnionego pędu) za pomocą zależności: ${\ displaystyle {\ vec {q}} _ {i}}$

{\ displaystyle {\ vec {p}} _ {i} = {\ frac {\ częściowy L} {\ częściowy {\ kropka {\ vec {q}}} _ {i}}}}

Symbol wyznaczenia operatora gradientu oceniano w odniesieniu do komponentów z ogólnych prędkości o i- cząstki TH. ${\ displaystyle {\ frac {\ częściowy L} {\ częściowy {\ kropka {\ vec {q}}} _ {i}}}}$ ${\ displaystyle {\ kropka {\ vec {q}}} _ {i}}$

Zgodnie z równaniami Lagrange'a , które są zapisane tymi samymi zapisami, pojawia się on natychmiast , a jeśli współrzędna jest cykliczna , to znaczy, że Lagrange'a L nie zależy od niej, to i dlatego moment sprzężony jest zachowywany. ${\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {\ matematyka {d} t}} \ lewo ({\ frac {\ częściowy L} {\ częściowy {\ kropka {\ vec {q}}} _ {i }}} \ prawy) - {\ frac {\ częściowy L} {\ częściowy {\ vec {q}} _ {i}}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ kropka {\ vec {p}}} _ {i} = {\ frac {\ częściowy L} {\ częściowy {\ vec {q}} _ {i}}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {q}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ kropka {\ vec {p}}} _ {i} = 0}$ ${\ vec {p}} _ {i}$

Sprzężony moment - rozróżnienie pędu

Pojęcie momentu sprzężonego generalnie nie odpowiada pojęciu pędu.

Np. w przypadku ruchu pojedynczego punktu materialnego w potencjale centralnym $V ( r )$ , w zależności tylko od odległości $r$ od początku $O$ , ruch jest płaski (2 stopnie swobody) i Lagrange'em układu można łatwo zapisać we współrzędnych cylindryczno-biegunowych w postaci:

{\ displaystyle L (r, \ theta, {\ kropka {r}}, {\ kropka {\ theta}}) = {\ frac {1} {2}} m ({\ kropka {r}} ^ {2 } + r ^ {2} {\ kropka {\ theta}} ^ {2}) - V (r)}

a sprzężony moment jest zatem wartością momentu pędu cząstki (który w tym przypadku jest zachowany, ponieważ L nie zależy od θ ). $\ theta$ $p _ {\ theta} = \ frac {\ częściowy L} {\ częściowy \ kropka {\ theta}} = pan ^ 2 \ kropka {\ theta}$

Tylko wtedy, gdy uogólnione współrzędne pokrywają się ze współrzędnymi kartezjańskimi ( tj. $q i = ( x i , y i , z i )$ ) i przy braku pola elektromagnetycznego, a zatem moment sprzężony odpowiada ilości ruchu każda cząstka. Rzeczywiście w tym przypadku równania Lagrange'a są utożsamiane z równaniami wynikającymi z fundamentalnej relacji dynamiki zastosowanej do każdej cząstki. ${\ displaystyle {\ vec {p}} _ {i} = m_ {i} \, {\ vec {v}} _ {i}}$

Jeśli używane są współrzędne kartezjańskie, a cząstki, które przenoszą ładunek $Q i$ znajdują się w obecności pola elektromagnetycznego, zdefiniowanego przez potencjały skalarne i wektor pola zanotowany , Lagranżan układu obejmuje potencjał uogólniony: i w tym przypadku moment sprzężony jest zapisywany z równań Lagrange'a $(\ phi, \ vec {A})$ ${\ displaystyle V ({\ vec {r}} _ {i}, {\ kropka {\ vec {v}}} _ {i}, t) = \ suma _ {i} {(Q_ {i} \, \ phi -Q_ {i} \, {\ vec {v}} _ {i} \ cdot {\ vec {A}})}}$

{\ displaystyle {\ vec {p}} _ {i} = m_ {i} \, {\ vec {v}} _ {i} + Q_ {i} \, {\ vec {A}} = {\ vec {\ pi}} _ {i} + Q_ {i} \, {\ vec {A}}}

, zwracając uwagę na pęd cząstki.

{\ displaystyle {\ vec {\ pi}} _ {i} = m_ {i} \, {\ vec {v}} _ {i}}

Sprzężony moment jest wtedy nazywany pędem, aby odróżnić go od pędu . ${\ vec {p}} _ {i}$ $\ vec {\ pi} _i \,$

Ilość ruchu i niezmienność przez translację w przestrzeni

Nieskończenie małe przesunięcie systemu w przestrzeni jest definiowane przez transformację zastosowaną do każdej cząstki, będącej elementarnym wektorem translacji. Jest to oczywiste, ponieważ ta translacja pozostawia niezmienione wektory prędkości cząstek, które pokrywają się z prędkościami uogólnionymi dla współrzędnych kartezjańskich. ${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {i} \; \ do {\ vec {r}} _ {i} + \ delta {\ vec {r}}}$ $\ delta \ vec {r}$ $\ kropka {\ delta \ vec {r}} = \ vec {0}$ $\ vec {czas.} _i$

Jeśli lagranżjan układu jest niezmienny przez translację w przestrzeni, to z konieczności odpowiadająca mu zmienność elementarna wynosi zero w pierwszym rzędzie w . $\ delta L \,$ $\ delta \ vec {r}$

Zgodnie z równaniami Lagrange'a i operując we współrzędnych kartezjańskich, warunek ten jest zapisany w postaci:

{\ displaystyle \ delta L = \ suma _ {i} {\ lewo ({\ frac {\ częściowy L} {\ częściowy {\ vec {r}} _ {i}}} \ cdot \ delta {\ vec {r }} \ prawo)} = \ suma _ {i} {\ lewo [{\ frac {\ rm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ lewo ({\ frac {\ częściowy L} {\ częściowy {\ vec {v}} _ {i}}} \ po prawej) \ cdot \ delta {\ vec {r}} \ po prawej]} = {\ frac {\ rm {d}} {\ matematyka {d} t} } \ lewo (\ sum _ {i} m_ {i} {\ vec {v_ {i}}} \ prawo) \ cdot \ delta {\ vec {r}} = 0}

Jednak tłumaczenie elementarny uznane za arbitralne, niezmienność przez tłumaczeniu Lagrange'a wynika, że całkowity pęd układu jest zachowana . $\ delta \ vec {r} \,$ ${\ displaystyle {\ vec {\ Pi}} = \ suma _ {i} m_ {i} \, {\ vec {v}} _ {i}}$

W ten sposób wielkość ruchu pojawia się naturalnie w mechanice analitycznej jako zachowana wielkość związana z niezmiennością przez translację lagranżianu (lub hamiltonianu), to znaczy z właściwością jednorodności przestrzeni . Jest to szczególny przypadek twierdzenia Noether .

Formalizm hamiltonowski

W Hamiltona formalizmu opisu stanu systemu z N stopni swobody odbywa się względem N współrzędnych oraz uogólnione impulsów $q I$ i $s I$ , działający w Hamiltona ekspresji $H ( q , s , t ),$ z system.

Możliwe jest wprowadzenie nawiasu Poissona dwóch dowolnych wielkości $f ( q , p )$ i $g ( q , p ) w$ funkcji współrzędnych i uogólnionych impulsów, określonych wzorem:

\ {f, g \} = \ sum_i {\ lewo (\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe q_i} \ frac {\ częściowe g} {\ częściowe p_i} - \ frac {\ częściowe f} {\ częściowe p_i } \ frac {\ częściowe g} {\ częściowe q_i} \ prawy)}

W szczególnym przypadku, gdy $f = q i$ i $g = p i$ pojawia się ${ q i , p i } = 1$ : wynik ten pozwala uogólnić pojęcie położenia i pędu w mechanice kwantowej, umożliwiając zdefiniowanie przez zasadę korespondencji kanoniczną relację komutacyjną między dwoma operatorami.

Mechanika płynów

Definicja w mechanice płynów

W kontekście Eulerowskiego opisu płynów, równania są na ogół przedstawiane w postaci lokalnej (w jednym punkcie). Pozbywamy się pojęcia objętości, definiując w dowolnym punkcie płynu wektor pędu przez

${\ displaystyle \ rho (M, t) \; {\ vec {v}} (M, t)}$

z $p$ gęstości od cieczy badane w punkcie $M,$ w czasie $T$ i prędkości cząstki płynu znajduje się w punkcie $M,$ w czasie $t$ . Jeśli płyn jest nieściśliwy, $ρ$ jest stałe w czasie i przestrzeni. ${\ displaystyle {\ vec {czas.}} (M, t)}$

Twierdzenie o pędzie dla płynu

Twierdzenie o pędzie dla płynu jest napisane:

${\ displaystyle \ sum {\ vec {F}} _ {\ mathrm {(ext / fluid)}} = \ iiint _ {V} {\ frac {\ częściowy (\ rho {\ vec {v}})} { \ częściowy t}} \, \ mathrm {d} V + \ iint _ {S} (\ rho {\ vec {v}}) \ cdot ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {n}} ) \, \ mathm {d} S}$

Należy zauważyć, że siły wywierane z zewnątrz na płyn są dwojakiego rodzaju: siły na odległość (objętościowe) i siły w kontakcie (powierzchnia):

${\ displaystyle \ sum {\ vec {F}} _ {\ mathm {(ext / płyn)}} = \ iiint _ {V} {\ vec {f}} \, \ mathrm {d} V + \ iint _ { S} {\ vec {\ tau}} \, \ matematyka {d} S}$

Przykładem siły objętościowej jest waga, a przykładem siły powierzchniowej są siły tarcia (zamiast tego mówimy o lepkości ).

Mechanika relatywistyczna

Kiedy Albert Einstein sformułował swoją szczególną teorię względności , dostosował definicję pędu do czterowymiarowego ( kwadrywektorowego ) wektora zwanego czteromomentem , równego czterokrotnej prędkości pomnożonej przez masę ciała. Czteromoment również pozostaje stały w czasie przy braku jakiejkolwiek siły zewnętrznej.

Co więcej, norma czteromomentu jest niezmienna przez zmianę inercjalnego układu odniesienia . Dokładniej, pseudo-norma jest niezmienna przez transformacje Lorentza , co przekłada się na niezmienność masy m ciała (i jego energii w spoczynku : mc² ). Z drugiej strony następuje zmiana współrzędnych czteromomentu z jednego układu odniesienia na inny, co odzwierciedla fakt, że prędkość ciała i jego energia kinetyczna różnią się w zależności od układu odniesienia.

Wyrażenie quadri-prędkości cząstki o prędkości przestrzennej v mniejszej niż c to:

{\ displaystyle u ^ {\ alfa} = (\ gamma c, \ gamma {\ vec {v}}),}

gdzie reprezentuje klasyczny wektor prędkości cząstki i jest czynnikiem zwanym relatywistycznym współczynnikiem gamma lub współczynnikiem Lorentza , gdzie $c$ jest prędkością światła . Kwadrat normy tego kwadrywektora jest określony wzorem . ${\ vec {czas.}}$ $\ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}$ $u ^ \ alpha \ cdot u_ \ alpha = \ gamma ^ 2 (c ^ 2-v ^ 2) = c ^ 2$

Kwadrywektor energii impulsu, który uogólnia w mechanice relatywistycznej pojęcie pędu, otrzymujemy rozpatrując $p α = μ α$ przez analogię z definicją klasyczną, która daje , z: ${\ displaystyle p ^ {\ alfa} = (\ gamma \, m \, c, \ gamma \, m \, {\ vec {v}}) = \ lewo ({\ frac {E} {c}}, {\ vec {p}} \ prawo)}$

${\ Displaystyle E = \ gamma \, m \, c ^ {2}}$ , relatywistyczna energia cząstki;
i , relatywistyczny pęd cząstki, którego klasyczną normą jest energia kinetyczna. ${\ displaystyle {\ vec {p}} = \ gamma \, m \, {\ vec {v}}}$

Kwadrat normy tego kwadrywektora jest wielkością, która pozostaje niezmienna podczas transformacji Lorentza i która z konieczności jest równa kwadratowi normy $μ α,$ tj. $m$ $2$ $c$ $2$ , a zatem $mu ^ \ alfa$

E ^ 2-c ^ 2 \ mathbf {p} ^ 2 = m ^ 2c ^ 4

Relatywistyczna niezmienna związane z tym quadrivector jest więc energia masa cząstki (jak masa pozostaje bez zmian w newtonowskiej mechaniki przez zmianę ramki odniesienia).

Obiekty o zerowej masie, takie jak fotony , również mają 4-moment, gdy pseudonorma kwadrywektora $p$ wynosi zero. Mamy w tym przypadku:

\ mathbf {E} ^ 2-p ^ 2 c ^ 2 = m ^ 2 c ^ 4 = 0

stąd

p = E / c

dla standardu klasycznego pędu.

Impuls pola elektromagnetycznego

Pojęcie pędu nie ogranicza się do ciała materialnego, ale można je rozszerzyć na pole takie jak pole elektromagnetyczne, dla którego jest ono nazywane impulsem, aby uniknąć zamieszania. Impuls pola elektromagnetycznego odpowiadającego objętości V jest określony wzorem:

{\ displaystyle {\ vec {P}} _ {\ rm {EM}} = \ iiint _ {V} {\ varepsilon _ {0} \ lewo ({\ vec {E}} \ klin {\ vec {B} } \ prawo) \, \ mathrm {d} \ tau}}

Wielkość odpowiada gęstości impulsu elektromagnetycznego , czyli impulsowi pola elektromagnetycznego na jednostkę objętości. Jest bezpośrednio związany z wektorem Poyntinga, ponieważ . ${\ displaystyle {\ vec {g}} = \ varepsilon _ {0} {\ vec {E}} \ klin {\ vec {B}}}$ $\ vec {R} = \ frac {\ vec {E} \ klin \ vec {B}} {\ mu_0}$ $\ vec {g} = \ frac {\ vec {R}} {c ^ 2}$

Można wykazać, że wielkość ta dobrze odpowiada gęstości impulsu związanej z polem elektromagnetycznym, biorąc pod uwagę jego oddziaływanie z ładunkami i prądami obecnymi w dowolnej objętości V , ograniczonej przez zamkniętą powierzchnię $( S )$ : przez zachowanie impulsu W układzie globalnym {ładunki + prądy + pole em} zmienność gęstości impulsów ładunków i prądów oraz pola musi być równa przepływowi gęstości impulsów przez powierzchnię $( S )$ .

Oddziaływanie między polem a ładunkami i prądami obejmuje gęstość siły Lorentza i zgodnie z równaniami Maxwella otrzymujemy : $\ vec {f} = \ rho \ vec {E} + \ vec {j} \ klin \ vec {B}$

dla gęstości ładunku: ; ${\ displaystyle \ rho = \ varepsilon _ {0} \ operatorname {div} {\ vec {E}}}$
dla gęstości prądu , ${\ displaystyle {\ vec {j}} = {\ vec {\ nazwa operatora {rot}}} \ po lewej ({\ frac {\ vec {B}} {\ mu _ {0}}} \ po prawej) - \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ częściowy {\ vec {E}}} {\ częściowy t}}}$

co daje przez podstawienie:

{\ displaystyle {\ vec {f}} = \ po lewej (\ varepsilon _ {0} \ nazwa operatora {div} {\ vec {E}} \ po prawej) {\ vec {E}} + {\ vec {\ nazwa operatora { rot}}} \ lewy ({\ frac {\ vec {B}} {\ mu _ {0}}} \ prawy) \ klin {\ vec {B}} - \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ częściowy {\ vec {E}}} {\ częściowy t}} \ klin {\ vec {B}}}

ale zgodnie z tożsamością przychodzi: ${\ displaystyle {\ frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \ lewy (\ varepsilon _ {0} {\ vec {E}} \ klin {\ vec {B}} \ prawy) = \ varepsilon _ {0 } {\ frac {\ częściowy {\ vec {E}}} {\ częściowy t}} \ klin {\ vec {B}} + \ varepsilon _ {0} {\ vec {E}} \ klin {\ frac { \ częściowy {\ vec {B}}} {\ częściowy t}}}$

{\ displaystyle {\ vec {f}} + {\ frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \ lewo (\ varepsilon _ {0} {\ vec {E}} \ klin {\ vec {B}} \ prawo) = \ lewo (\ varepsilon _ {0} \ operatorname {div} {\ vec {E}} \ prawo) {\ vec {E}} + \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ częściowy {\ vec {E}}} {\ częściowy t}} \ klin {\ vec {B}} + {\ vec {\ nazwa operatora {rot}}} \ lewo ({\ frac {\ vec {B}} {\ mu _ { 0}}} \ prawy) \ klin {\ vec {B}}}

właściwy wyraz można uczynić bardziej symetrycznym za pomocą dwóch równań Maxwella dających strukturę pola:

$\ vec {\ nazwa operatora {rot}} \ vec {E} = - \ frac {\ częściowy \ vec {B}} {\ częściowy t}$ ;
$\ nazwa operatora {div} \ vec {B} = 0$ ,

co ostatecznie daje:

{\ displaystyle {\ vec {f}} + {\ frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \ lewo (\ varepsilon _ {0} {\ vec {E}} \ klin {\ vec {B}} \ prawo) = \ lewo (\ lewo (\ varepsilon _ {0} \ operatorname {div} {\ vec {E}} \ prawo) {\ vec {E}} - \ varepsilon _ {0} {\ vec {E} } \ klin {\ vec {\ nazwa operatora {rot}}} {\ vec {E}} \ prawo) + \ lewo ((\ nazwa operatora {div} {\ vec {B}}) {\ frac {\ vec {B }} {\ mu _ {0}}} - {\ frac {\ vec {B}} {\ mu _ {0}}} \ klin {\ vec {\ nazwa operatora {rot}}} {\ vec {B} } \ dobrze)}

Właściwy termin można zatem wyrazić w postaci rozbieżności tensora więzów Maxwella :

{\ displaystyle \ sigma _ {ij} = \ varepsilon _ {0} E_ {i} E_ {j} + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} B_ {i} B_ {j} - { \ frac {1} {2}} \ po lewej ({\ varepsilon _ {0} E ^ {2} + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} B ^ {2}} \ po prawej) \ delta _ {ij}}

lub wreszcie:

{\ displaystyle {\ vec {f}} + {\ frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \ lewo (\ varepsilon _ {0} {\ vec {E}} \ klin {\ vec {B}} \ po prawej) = \ nabla \ cdot \ mathbf {\ sigma}}

to ostatnie równanie rzeczywiście pojawia się w postaci równania równowagi lokalnej, wyraz po lewej stronie podaje czasową zmienność lokalnej gęstości impulsów układu ładunków i prądów ( ) oraz pola ( wyraz w ), wyraz linia odpowiadająca wymianie z resztą. Tak więc, można porównać do gęstości impulsów pola elektromagnetycznego. ${\ vec {f}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ częściowy {\ vec {g}}} {\ częściowy t}} = {\ frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \ lewo (\ varepsilon _ {0} {\ vec { E}} \ klin {\ vec {B}} \ prawy)}$ $\ vec {g}$

Mechanika kwantowa

W mechanice kwantowej stan układu w chwili t jest opisany przez oznaczony wektor stanu należący do przestrzeni stanów układu (ten ma strukturę przestrzeni Hilberta ). Różne zwykłe wielkości fizyczne (pozycja, energia itp.) są wówczas operatorami hermitowskimi , a więc z rzeczywistymi wartościami własnymi, zwanymi obserwabliami . $| \ psi (t) \ rangle$ $\ matematyczny {E}$

Pojęcie pędu cząstki, częściej nazywane pędem, odpowiada operatorowi, a właściwie zbiorowi trzech operatorów, z których każdy odpowiada trzem składowym przestrzeni, zwanych operatorami skalarnymi, które można zgrupować, analogicznie do klasycznego W przypadku tak zwanego operatora wektorowego , zwanego operatorem impulsowym, zanotowano . $\ kapelusz {\ vec {\ mathbf {p}}}$

Operatory pozycji i pędu - kanoniczne relacje komutacyjne

Operator pozycyjny i operator impulsowy są z definicji operatorami wektorowymi, których trzy operatory skalarne działające na różne składowe $j$ $=$ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ odpowiadają różnym kierunkom przestrzeni i są zgodne z następującymi kanonicznymi zależnościami komutacyjnymi : $\ kapelusz {\ vec {\ mathbf {r}}}$ $\ kapelusz {\ vec {\ mathbf {p}}}$

\ begin {cases} \ left [\ hat {\ mathbf {x}} _ j, \ hat {\ mathbf {p}} _ k \ right] = i \ hbar \ delta_ {jk} \ hat {1} \\ \ left [\ hat {\ mathbf {p}} _ j, \ hat {\ mathbf {p}} _ k \ right] = \ left [\ hat {\ mathbf {x}} _ j, \ hat {\ mathbf {x}} _ k \ prawo] = 0 \ koniec {przypadki}

Pierwszy komutacji związek formalnie wywnioskować analogicznie do wspornika Poissona ${ q j , p k } = δ jk$ pomiędzy współrzędnych uogólnionych i tętno Hamiltona mechaniczną przez zastosowanie recepty (zasada korespondencji) . $[\ hat {x} _j, \ hat {p} _k] \ quad \ leftrightarrow \ quad i \ hbar \ {x_j, p_k \}$

Nieprzemienność między i (tak samo dla pozostałych składników) oznacza, że nie jest możliwe jednoczesne zmierzenie położenia i pędu (a tym samym prędkości) cząstki . Tak więc istnieją nierówności, zwane Heisenberga , odchylenie standardowe środki wyznaczone $Δ$ $x$ i $Δ$ $p$ $x$ pomiaru każdej z dwóch wielkości: . $\ kapelusz {\ mathbf {x}}$ $\ kapelusz {\ mathbf {p}} _ \ mathbf {x}$ $\ Delta x \ Delta p_x \ geqslant \ frac {\ hbar} {2}$

Konsekwencją tych relacji jest to, że pojęcie trajektorii nie istnieje dla cząstki kwantowej.

Heurystycznie tę sytuację można łatwo zrozumieć. Rzeczywiście, jeśli chce się precyzyjnie zlokalizować cząstkę, konieczne jest użycie fali o krótkiej długości fali, a więc o dużej energii. Jednak energia ta z konieczności zostanie przekazana, w całości lub w części, cząstce, modyfikując znacznie jej pęd. Możliwe będzie zastosowanie fali o większej długości fali, ale wtedy wzrośnie niepewność pomiaru pozycji.

Wyrażenie w reprezentacji pozycji

W reprezentacji pozycji, gdzie stan systemu można opisać funkcją falową , operator pozycji dla danego składnika x po prostu odpowiada pomnożeniu przez niego funkcji falowej: $\ psi \ lewo (\ vec {r}, t \ prawo) = \ langle \ vec {r} | \ psi (t) \ rangle$

\ kapelusz {\ mathbf {x}} \ psi = x \ cdot \ psi

łatwo wtedy zweryfikować, że ze względu na kanoniczną zależność komutacyjną między a pędem w kierunku , dla cząstki bez ładunku elektrycznego i bez spinu, operator podaje: ${\ kapelusz {x}}$ $\ kapelusz {p} _x$ $x$

\ hat {\ mathbf {p}} _ x = -i \ hbar \ frac {\ częściowy} {\ częściowy x}

wektorowy operator pędu zapisany jest w postaci wewnętrznej w następujący sposób: $\ kapelusz {\ vec {\ mathbf {p}}}$

\ hat {\ vec {\ mathbf {p}}} = - i \ hbar \ vec {\ nabla}

Ekspresja w reprezentacji impulsowej

W reprezentacji impulsowej stan układu opisuje funkcja falowa „impuls” , operator impulsu dla danej składowej x po prostu odpowiada pomnożeniu funkcji falowej przez ten jeden: $\ psi \ lewo (\ vec {p}, t \ prawo) = \ langle \ vec {p} | \ psi (t) \ rangle$

\ kapelusz {\ mathbf {p}} _ \ mathbf {x} \ psi = p_x \ cdot \ psi

łatwo wtedy zweryfikować, że ze względu na kanoniczną zależność komutacyjną pomiędzy i wyrażeniem pozycji operatora , dla cząstki bez ładunku elektrycznego i bez spinu, jest dana wzorem: $\ kapelusz {\ mathbf {x}}$ $\ kapelusz {\ mathbf {p}} _ \ mathbf {x}$ $\ kapelusz {\ mathbf {x}}$

\ hat {\ mathbf {x}} = i \ hbar \ frac {\ częściowy} {\ częściowy p_x}

operator wektora pozycji jest zapisany w tej reprezentacji w postaci wewnętrznej w następujący sposób: $\ kapelusz {\ vec {\ mathbf {r}}}$

\ hat {\ vec {\ mathbf {r}}} = ja \ hbar \ vec {\ nabla} _ {p}

Stany czyste i zachowanie pędu

Stany własne operatora pędu, czyli stany, dla których pęd cząstki ma określoną wartość, są podane w jednowymiarowej reprezentacji pozycji wzdłuż x równaniem z wartościami własnymi:

\ kapelusz {\ mathbf {p}} _ x \ psi_ {px} = p_x \ psi_ {px}

albo przychodzi natychmiast .

{\ styl wyświetlania - \ mathrm {i} \, \ hbar {\ frac {\ częściowy \ psi _ {px}} {\ częściowy x}} = p_ {x} \ psi _ {px}}

{\ displaystyle \ psi _ {px} (x) = C \ exp \ po lewej (\ mathrm {i} \, {\ frac {p_ {x} x} {\ hbar}} \ po prawej)}

Wartość $p x$ nie jest określana ilościowo a priori , chyba że na cząstce nałożono specjalne warunki, na przykład jeśli jest ona zamknięta w pudełku .

Wynik ten natychmiast uogólnia się do trzech wymiarów w postaci , gdzie jest wektorem falowym cząstki. Te stany nie mogą być normalizowane w zwykłym sensie (nie są sumowalnymi funkcjami kwadratowymi), ale można je znormalizować „w sensie rozkładów”: ${\ displaystyle \ psi _ {p} ({\ vec {r}}) = C \ exp {\ lewo (\ matematyka {i} \, {\ frac {{\ vec {p}} \ cdot {\ vec { r}}} {\ hbar}} \ po prawej)} = C \ exp {\ po lewej (\ mathrm {i} \, {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r}} \ po prawej)}}$ $\ vec {k} = \ frac {\ vec {p}} {\ hbar}$

\ int {\ psi_ {p '} (\ vec {r}) \ psi_p (\ vec {r}) d ^ 3 \ vec {r}} = \ delta \ lewo (\ vec {p} \' - \ vec {p} \ dobrze)

Przy takim warunku normalizacji można wykazać, że przyjmując fazę rzeczywistą C jako konwencję, a znormalizowane stany własne operatora impulsu są w ten sposób zapisane w reprezentacji pozycji: $C = \ frac {1} {\ lewy (2 \ pi \ hbar \ prawy) ^ {3/2}}$

{\ Displaystyle \ psi _ {p} ({\ vec {r}}) = {\ Frac {1} {\ po lewej (2 \ pi \ hbar \ po prawej) ^ {3/2}}} \ exp {\ po lewej (\ mathrm {i} \, {\ frac {{\ vec {p}} \ cdot {\ vec {r}}} {\ hbar}} \ po prawej)}}

Dla układu stacjonarnego operator hamiltonowski układu wyraża się w funkcji operatora pędu: (cząstka bez spinu przy braku pola magnetycznego). Ogólnie rzecz biorąc, ze względu na brak komutacji między impulsem a operatorem położenia, stany własne impulsu nie są stanami własnymi hamiltonianu. $\ kapelusz {\ mathbf {H}} = \ frac {\ kapelusz {\ mathbf {p}} ^ 2} {2m} + V (\ vec {r})$

Jednak w przypadku cząstki swobodnej w całej przestrzeni, stany własne hamiltonianu są stanami pędu, bo wtedy i komutują między nimi. W związku z tym stany własne energii nie są kwantyfikowane i są kwalifikowane jako ciągłe . Każdy z nich odpowiada określonej wartości impulsu. Sytuacja ta odpowiada w mechanice kwantowej zachowaniu klasycznego pędu. $V (\ vec {r}) = 0$ $\ kapelusz {\ vec {\ mathbf {p}}}$ $\ kapelusz {\ mathbf {H}}$ $E = \ frac {p ^ 2} {2m} = \ frac {\ hbar ^ 2 k ^ 2} {2m}$

„Całkowita” funkcja falowa takiego układu, to znaczy rozwiązanie równania Schrödingera zależne od czasu, jest dana przez , z , częstotliwością związaną z energią E . Stany własne mają zatem postać fal biegnących , odzwierciedlających na poziomie kwantowym klasyczne przemieszczenie cząstki w kierunku impulsu. ${\ displaystyle \ Psi ({\ vec {r}}, t) = C \ exp \ lewo (\ pm \ mathrm {i} \, {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r}} - \ mathrm {i} \, \ omega t \ prawo)}$ $\ omega = E / \ hbar$

Ciągły charakter tych stanów własnych impulsu zanika, jeśli cząsteczka nie jest już ściśle wolna , ale zamknięta w danym obszarze przestrzeni („bariera nieskończonego potencjału”). Z matematycznego punktu widzenia sprowadza się to do nałożenia warunków brzegowych na funkcję falową, która będzie musiała znieść się na „granicy” „pudełka”, w którym zamknięta jest cząstka, ponieważ istnieje prawdopodobieństwo, że ta ostatnia nie będzie się znajdować na zewnątrz. ten region. Te warunki brzegowe są fizycznie odzwierciedlone przez kwantyfikację energii, a zatem i pędu (więcej szczegółów w artykule Cząstka w pudełku ). Odpowiadające im stany własne przyjmą postać sumy swobodnych stanów własnych i będą odpowiadały falom stojącym , tłumacząc na poziomie kwantowym zamknięcie cząstki, zob. rysunek naprzeciwko.

Uwagi i referencje

Patrz zwłaszcza Perez kursy fizyki: mechanika - 4 th edition, Masson, Paryż, 2001.
C. Cohen-Tannoudji , B. Diu i F. Laloë , Mechanika Kwantowa [ szczegóły wydania ]t. I , 1977, rozdz. III , B, s. 225 .
Zobacz także w mechanice klasycznej Lev Landau i Evgueni Lifchits , Fizyka teoretyczna [ szczegóły wydań ]i Herbert Goldstein, Charles P. Poole Jr. i John L. Safko, Mechanika klasyczna [ szczegóły wydań ].
Tak więc dla cząstki swobodnej o masie $m$ we współrzędnych sferycznych, Lagrange'a $L$ jest dana przez , a sprzężone momenty to , i . Jedynie $p$ $r$ , który jest momentem sprzężonym zmiennej liniowej, pokrywa się z momentem pędu (tutaj składowa promieniowa), pozostałe dwa sprzężone momenty zmiennych kątowych pokrywają się z dwoma składowymi momentu pędu cząstki, czasami też do tego nazywanego powód momentu pędu . $L (r, \ teta, \ phi) = \ tfrac {1} {2} m \ left (\ dot {r} ^ 2 + r ^ 2 (\ dot {\ theta} ^ 2 + \ sin ^ 2 \ teta \ kropka {\ phi} ^ 2) \ po prawej)$ $p_r = m \ kropka {r}$ $p _ {\ teta} = pan ^ 2 \ kropka {\ teta}$ $p _ {\ phi} = pan ^ 2 \ grzech ^ 2 \ teta \ kropka {\ phi}$
Olaf Pedersen (en) . Wczesna fizyka i astronomia: wprowadzenie historyczne . Archiwum CUP, 11 marca 1993. Strona 210
Clavelin Maurice "Galileo i Kartezjusza dotyczące ochrony nabytego ruchu", XVII 1/2009 ( N O 242), str. 31-43 . Czytaj online
Dla nie-Galilejskiego układu odniesienia , oprócz „rzeczywistych” sił działających na punkt materialny, to znaczy sił związanych z działaniem innego ciała materialnego na układ, konieczne jest uwzględnienie tzw. od bezwładności lub odniesienia, wiąże tylko jej charakter non-inercyjne, cf. zwłaszcza Perez, op. cyt. .
Dowód tego wyniku obejmuje prawo akcji i reakcji lub trzecie prawo Newtona, zob. Pereza, op. cyt.
Tutaj znowu, dla nie-Galilejskiego układu odniesienia, należy wziąć pod uwagę działanie sił bezwładności.
Wynik ten jest ważny dla wszystkich systemów materiałowych, a nie tylko dla ciał stałych .
Pojęcie to umożliwia przejście do formalizmu Hamiltona poprzez transformację Legendre'a na . $\ kropka {\ vec {q_i}} \,$
Wielkość określona przez jest czasami nazywana siłą uogólnioną. To nie nie odpowiadać w ogóle do pojęcia siły w mechanice Newtona, z wyjątkiem współrzędnych kartezjańskich. $\ vec {Q} _i = \ frac {\ częściowe L} {\ częściowe \ vec {q} _i}$
Jeśli tylko składnik tej uogólnionej współrzędnej jest cykliczny, tylko odpowiedni składnik momentu zostanie zachowany: por. przykład poniżej. $q_ {i, \ alfa} \,$ $p _ {_ ja, \ alfa} \,$
Patrz w szczególności Herbert Goldstein, Charles P. Poole Jr. i John L. Safko, Classical Mechanics [ szczegóły wydań ] w tym temacie.
Zobacz na ten temat Lev Landau i Evgueni Lifchits , Fizyka teoretyczna , t. 1: Mechanika [ szczegóły wydań ].
Objętość $( V )$ jest uważana za po prostu podłączoną .
Por. Lew Landau i Evgueni Lifchits , Fizyka teoretyczna , t. 3: Mechanika kwantowa [ szczegóły wydań ], §15.
Istnieje alternatywny opis, pisząc równanie Schrödingera we współrzędnych sferycznych i uwzględniając separację promieniowo-kątową ze względu na „centralny” charakter braku potencjału. W tym przypadku różne stany własne mają postać $ψ n , l , m ( r , θ , ϕ ) = Rn , l ( r ) Y lm ( θ , ϕ )$ gdzie $Y lm ( θ , ϕ )$ to sferyczne harmoniczne i $R NL ( r ) jest funkcją promieniowy którego ekspresja obejmuje kulisty funkcje Bessela . Te stany własne odpowiadają następnie określonym - i koniecznie skwantyfikowanym - wartościom momentu pędu. O ile te sferycznie symetryczne stany tworzą kompletną bazę, można na tej podstawie opracować stany własne impulsu: jest to wykorzystywane w szczególności w teorii rozpraszania kwantowego. Por. na ten temat Lev Landau i Evgueni Lifchits, Fizyka teoretyczna , t. 3: Mechanika kwantowa [ szczegóły wydań ] .$
Należy pamiętać, że jeśli hamiltonian jest stacjonarny, ogólne rozwiązanie zależnego od czasu równania Schrödingera ma postać , z rozwiązaniem stacjonarnego równania Schrödingera . ${\ displaystyle \ psi ({\ vec {r}}, t) = \ psi ({\ vec {r}}) \ exp \ lewo (- \ mathrm {i} \, {\ frac {E} {\ hbar }} t \ prawo)}$ $\ psi (\ vec {r}, t)$ $\ kapelusz {\ mathbf {H}} \ psi = E \ psi$

Zobacz również

Bibliografia

Ilość ruchu w mechanice klasycznej lub relatywistycznej:
- Perez, fizyka kursy: mechaniczne - 4 th Edition, Masson, Paryż, 2001 (do wprowadzenia w 1 st cyklu).
- Lev Landau i Evgueni Lifchits , Fizyka teoretyczna , t. . 1: Mechanika [ szczegóły wydań ] (poziom zaawansowany, w ramach formalizmu mechaniki analitycznej, z naciskiem na symetrię ogniwa/prawo zachowania).
- Lev Landau i Evgueni Lifchits , Fizyka teoretyczna , t. . 2: Teoria pola [ szczegóły wydań ] (dla mechaniki relatywistycznej).
- Herbert Goldstein, Charles P. Poole Jr. i John L. Safko, Mechanika klasyczna [ szczegóły wydań ](klasyczny odniesienia poziom 2 ND do 3 rd cykl, co odnosi się również mechanizmów relatywistyczne).
Ilość ruchu w mechanice kwantowej:
- C. Cohen-Tannoudji , B. Diu i F. Laloë , Mechanika kwantowa [ szczegóły wydania ] (klasyczne odniesienie do wprowadzenia do mechaniki kwantowej).
- Albert Mesjasz , Mechanika Kwantowa [ szczegóły wydań ] (kolejne starsze klasyczne odniesienie).
- Lev Landau i Evgueni Lifchits , Fizyka teoretyczna , t. . 3: Mechanika kwantowa [ szczegóły wydań ] (książka bardzo dobra, na poziomie zaawansowanym).
- R. Shankar, zasady mechaniki kwantowej , 2 d Edition, Plenum Press, New York 1994.

Powiązane artykuły

Linki zewnętrzne

Animacje lub filmy ilustrujące zachowanie pędu: