Sferyczna funkcja Bessela

W analizie , że kuliste funkcje Bessela są specjalne funkcje , wykonanego z funkcji Bessela konwencjonalnych i biorących udział w niektórych problemów mających kulisty symetrii .

Definiują je:

{\ Displaystyle j_ {n} (x) = {\ sqrt {\ pi \ ponad 2x}} J_ {n + {1 \ ponad 2}} (x),}

{\ Displaystyle y_ {n} (x) = {\ sqrt {\ pi \ ponad 2x}} Y_ {n + {1 \ ponad 2}} (x) = (- 1) ^ {n + 1} {\ sqrt {\ pi \ over 2x}} J _ {- n - {\ frac {1} {2}}} (x).}

W szczególności odpowiada kardynalnej funkcji sinus : $j_ {0}$

{\ Displaystyle j_ {0} (x) = {\ rm {sinc}} (x) = {\ sin (x) \ ponad x}.}

Na tej samej zasadzie możemy również zdefiniować sferyczne funkcje Hankla :

{\ Displaystyle h_ {n} ^ {(1)} (x) = {\ sqrt {\ pi \ ponad 2}} {H_ {n + {1 \ ponad 2}} ^ {(1)} (x) \ ponad {\ sqrt {x}}} = j_ {n} (x) + {\ rm {i}} y_ {n} (x),}

{\ Displaystyle h_ {n} ^ {(2)} (x) = {\ sqrt {\ pi \ ponad 2}} {H_ {n + {1 \ ponad 2}} ^ {(2)} (x) \ ponad {\ sqrt {x}}} = j_ {n} (x) - {\ rm {i}} y_ {n} (x).}

Nieruchomości

Sferyczne funkcje Bessela możemy zdefiniować za pomocą wzoru Rayleigha:

{\ Displaystyle j_ {n} (x) = (- x) ^ {n} \ lewo ({\ Frac {1} {x}} {\ Frac {d} {dx}} \ prawej) ^ {n} { \ sin (x) \ ponad x},}

{\ Displaystyle y_ {n} (x) = - (- x) ^ {n} \ lewo ({\ Frac {1} {x}} {\ Frac {d} {dx}} \ prawej) ^ {n} {\ cos (x) \ ponad x}.}

Funkcje generujące sferycznych funkcji Bessela to:

{\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ Frac {t ^ {n}} {n!}} j_ {n-1} (x) = {\ Frac {\ cos ({ \ sqrt {x ^ {2} -2xt}})} {x}},}

{\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ Frac {(-t) ^ {n}} {n!}} y_ {n-1} (x) = {\ Frac {\ sin ({\ sqrt {x ^ {2} + 2xt}})} {x}}.}

Funkcje te są rozwiązaniami części promieniowej równania Helmholtza we współrzędnych sferycznych , otrzymanych przez rozdzielenie zmiennych:

{\ Displaystyle x ^ {2} {\ Frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + 2x {\ Frac {dy} {dx}} + (x ^ {2} -n (n +1)) y = 0}