Równoległościan

W geometrii powierzchni , A równoległościanu (lub równoległościanu ) jest w postaci stałej, których powierzchnie są sześć równoległoboki . To jest dla równoległoboku tym, czym sześcian jest dla kwadratu i czym jest chodnik dla prostokąta .

W geometrii afinicznej , gdzie bierze się pod uwagę tylko pojęcie równoległości, równoległościan można również zdefiniować jako

sześciokąt , których powierzchnie są równoległe parami;
graniastosłupa , którego podstawa jest równoległobokiem.

W geometrii euklidesowej , gdzie pojęcia odległości i kąta mają znaczenie, wyróżniamy poszczególne równoległościany: sześcian, którego wszystkie twarze są kwadratami, prawy lub prostokątny blok równoległościanu , którego ściany są wszystkie prostokąty, romboedr, którego ściany są wszystkie z diamentów .

Równoległościan jest trójwymiarową wersją równoległościanu .

Etymologia

Słowo to jest pochodzenia greckiego ( παραλληλεπιπεδον , paralelepipedon ) i składa się z dwóch greckich słów: παράλληλος ( parallêlos , „równoległość”) i ἐπίπεδον ( epipedon , „płaska powierzchnia”).

Właściwości afiniczne

Równoległościan ma:

6 boków, które można pogrupować w 3 pary boków. W każdej parze twarzy jedna twarz jest obrazem drugiej w tłumaczeniu;
12 krawędzi, które można pogrupować w trzy grupy po 4 krawędzie. Krawędzie tej samej grupy są obrazami siebie nawzajem w tłumaczeniu;
8 szczytów.

Jeśli umieścimy się w układzie współrzędnych określonym przez wierzchołek i trzy wektory zbudowane przez krawędzie wynikające z tego wierzchołka, współrzędne 8 wierzchołków będą miały postać ( ε 1 , ε 2 , ε 3 ), gdzie ε 1 , ε 2 i ε 3 mogą wynosić 0 lub 1. Równoległościan jest podstawowym elementem trójskośnego układu siatkowatego .

Jeśli weźmiemy pod uwagę równoległościan jako pryzmat, możemy przyjąć za podstawę dowolną z sześciu ścian.

Każda ściana jest równoległobokiem, ma środek symetrii, co sprawia, że równoległościan jest zonoedrem .

Właściwości euklidesowe

W geometrii euklidesowej kształt równoległościanu jest całkowicie określony przez długość trzech krawędzi wychodzących z wierzchołka i wartość trzech kątów, które tworzą między nimi. Długości trzech krawędzi można wybrać dowolnie, ale kąty, które tworzą, są współzależne.

Objętość równoległościanu jest iloczynem pola powierzchni jego podstawy i jego wysokości.

Jeśli wektory zbudowane z trzech krawędzi z tego samego wierzchołka to a = ( a 1 , a 2 , a 3 ), b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) ic = ( c 1 , c 2 , c 3 ) gdzie współrzędne podane są w ortonormalnym układzie współrzędnych, objętość równoległoboku jest równa wartości bezwzględnej iloczynu mieszanego trzech wektorów, co odpowiada bezwzględnej wartości wyznacznika macierzy utworzonej ze współrzędnych wektorów .

$V = \ left | \ det {\ begin {bmatrix} a_ {1} & a_ {2} & a_ {3} \\ b_ {1} & b_ {2} & b_ {3} \\ c_ {1} & c_ {2} & c_ {3} \ end {bmatrix}} \ right |.$

Kiedy równoległościan jest zdefiniowany przez długości a , b i c trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka i kątów α, β i γ, które tworzą między nim, jego objętość wynosi: ${\ Displaystyle V = abc {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} \ alfa - \ cos ^ {2} \ beta - \ cos ^ {2} \ gamma +2 \ cos \ alfa \ cos \ beta \ cos \ gamma}}.}$

Objętość czworościanu zbudowanego na trzech krawędziach wychodzących z tego samego wierzchołka równoległościanu jest równa jednej szóstej objętości równoległościanu.

Rozwój

Równoległościan ma rozwój podobny do chodnika, ale we wzorze równoległościanu równoległoboki tej samej pary pojawiają się w dwóch różnych orientacjach. Ten wzór ilustruje fakt, że trzy kąty równoległoboków dzielących ten sam wierzchołek muszą weryfikować następujące serie nierówności:

${\ Displaystyle 0 <\ alfa + \ beta + \ gamma <2 \ pi ~;}$
${\ Displaystyle 0 <\ alfa + \ beta - \ gamma <2 \ pi ~;}$
${\ Displaystyle 0 <\ alfa - \ beta + \ gamma <2 \ pi ~;}$
${\ Displaystyle 0 <- \ alfa + \ beta + \ gamma <2 \ pi.}$

Uwagi i odniesienia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w języku angielskim zatytułowanego „ Równoległościan ” ( zobacz listę autorów ) .

Definicje leksykograficzne i etymologiczne terminu „równoległościan” ze skomputeryzowanego skarbca języka francuskiego na stronie internetowej National Center for Textual and Lexical Resources
Le Petit Robert , 1987.
(en) James Foadi i Gwyndaf Evans, „ On the allowed values for the triclinic unit-cell angle ” , Acta Cryst. , vol. A67,2011, s. 93-95 ( DOI 10.1107 / S0108767310044296 , czytaj online ).