Operator laplacowski
Laplace'a operatora , albo po prostu Laplace'a , jest operator różnicowy określone przez stosowanie gradientu operatora , a następnie nałożenie na rozbieżności operatora :
Δϕ=∇→2ϕ=∇→⋅(∇→ϕ)=div(grad→ ϕ).{\ Displaystyle \ Delta \ phi = {\ vec {\ nabla}} ^ {2} \ phi = {\ vec {\ nabla}} \ cdot ({\ vec {\ nabla}} \ phi) = \ operatorname {div } \ left ({\ overrightarrow {\ operatorname {grad}}} ~ \ phi \ right).}
Intuicyjnie łączy i wiąże statyczny opis pola (opisanego jego gradientem) z efektami dynamicznymi (dywergencją) tego pola w czasie i przestrzeni. To najprostszy i najpopularniejszy przykład operatora eliptycznego .
Pojawia się w matematycznym ujęciu wielu dyscyplin teoretycznych, takich jak geofizyka , elektrostatyka , termodynamika , mechanika klasyczna i kwantowa . Okaże się systematycznie w odniesieniu do równania Laplace'a , z równania Poissona , z równania ciepła i równania fali .
Operator Laplacian zastosowany dwukrotnie nazywa się bilaplacian .
Prezentacja
Efekt fizyczny
Jednym ze sposobów podejścia do zrozumienia laplacian jest zauważenie, że reprezentuje on rozszerzenie w wymiarze trzecim (lub drugim lub więcej) tego, co jest drugą pochodną w wymiarze pierwszym.
Tak jak gradient jest trójwymiarowym ekwiwalentem zmienności czasowej , tak Laplacian odzwierciedla drugą pochodną, czyli przyspieszenie : przyjmuje ważne wartości w obszarach silnie wklęsłych lub wypukłych, to znaczy, które oznaczają deficyt w stosunku do płaszczyzny „rozkładu średniego” materializowanego przez gradient . Ważna wartość (dodatnia lub ujemna) laplackiego oznacza, że lokalnie wartość pola skalarnego jest zupełnie inna niż średnia jego otoczenia; i dynamicznie, tę różnicę wartości należy zniwelować.
Ogólnie rzecz biorąc, będziemy mieć zatem równania fizyczne pokazujące, że prędkość ewolucji wielkości fizycznej w punkcie będzie tym większa, ponieważ w tym momencie ważny jest laplacian, a stosunek między nimi jest określony przez współczynnik dyfuzji.
Oto, co przekłada się na przykład równanie ciepła :
∂∂t{\ displaystyle {\ frac {\ częściowy} {\ częściowy t}}}T{\ displaystyle T}= .
α{\ displaystyle \ alpha}∇2{\ displaystyle \ nabla ^ {2}}T{\ displaystyle T}
Szybkość zmian temperatury w punkcie jest (w granicach współczynnika) tym większa, im większa jest różnica temperatury ze średnią jego otoczenia.
Definicja
Symbolizowany grecką literą delta , odpowiada zatem operatorowi nabla zastosowanemu dwukrotnie do rozważanej funkcji. Najczęściej stosowana jest do pól skalarnych , a jej wynikiem jest wtedy także pole skalarne. Pierwsze zastosowanie nabla dotyczy skalara: jest to zatem gradient , a wynikiem jest wektor:
∇→ϕ=(∂ϕ∂x∂ϕ∂y∂ϕ∂z){\ Displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ phi = {\ początek {pmatrix} {\ frac {\ częściowe \ phi} {\ częściowe x}} \\ {\ frac {\ częściowe \ phi} {\ częściowe y }} \\ {\ frac {\ części \ phi} {\ części z}} \ end {pmatrix}}}Druga operacja dotyczy zatem wektora. Jest to wtedy rozbieżność , a wynikiem jest skalar:
∇→⋅(∇→ϕ)=(∂∂x∂∂y∂∂z).(∂ϕ∂x∂ϕ∂y∂ϕ∂z)=∂2ϕ∂x2+∂2ϕ∂y2+∂2ϕ∂z2{\ Displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot ({\ vec {\ nabla}} \ phi) = {\ zacząć {pmatrix} {\ frac {\ częściowe} {\ częściowe x}} i {\ frac { \ częściowe} {\ częściowe y}} & {\ frac {\ częściowe} {\ częściowe z}} \ end {pmatrix}}. {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ części \ phi} {\ częściowe x} } \\ {\ frac {\ części \ phi} {\ częściowe y}} \\ {\ frac {\ części \ phi} {\ częściowe z}} \ end {pmatrix}} = {\ frac {\ części ^ { 2} \ phi} {\ part x ^ {2}}} + {\ frac {\ part ^ {2} \ phi} {\ part y ^ {2}}} + {\ frac {\ part ^ {2} \ phi} {\ częściowe z ^ {2}}}},
stąd tożsamości wspomniane we wstępie.
Będąc wynikiem podwójnego wyprowadzenia przestrzennego, jeśli zostanie zastosowane do wielkości fizycznej G o wymiarze [ G ], wynik będzie w [ G ] na metr kwadratowy.
Zmiana układu współrzędnych
Dla pola skalarnego po ustaleniu tensora metrycznego g otrzymujemy:
Δw=1detsol∂ja(detsolsoljajot∂jotw){\ Displaystyle \ Delta a = {\ Frac {1} {\ sqrt {\ det g}}} \ częściowe _ {i} \ lewo ({\ sqrt {\ det g}} \; g ^ {ij} \ częściowe _ {j} a \ right)}.
Ta formuła ułatwia obliczenie Laplacian w dowolnym układzie współrzędnych .
Laplasian tensorów
Mówiąc bardziej ogólnie, wektorowy operator Laplasiana stosuje się do pól wektorowych , a definicja laplaciana przez dywergencję gradientu (ten ostatni jest brany pod uwagę na indeksie tensorowym utworzonym przez gradient) jest ważna dla dowolnego pola tensorowego a . Uważaj jednak, aby w tym przypadku wzór stał się fałszywy. Laplacian macierzy współrzędnych jest macierzą współrzędnych Laplaca. Laplacian
Δϕ=∇(∇ϕ){\ Displaystyle \ Delta \ phi = \ nabla (\ nabla \ phi)}
Δw=w;ja;ja=soljajotw;ja;jot{\ Displaystyle \ Delta a = a _ {; i} ^ {; i} = g ^ {ij} a _ {; i; j}}
ma taką samą liczbę indeksów jak a . Laplacian dopuszcza uogólnienie na dostatecznie gładkie przestrzenie nieeuklidesowe, zwane operatorem Laplace'a-Beltramiego .
Wyrażenie w różnych układach współrzędnych
- W dwuwymiarowych współrzędnych kartezjańskich Laplacian to:
Δ=∇2=∂2∂x2+∂2∂y2{\ Displaystyle \ Delta = \ nabla ^ {2} = {\ Frac {\ częściowe ^ {2}} {\ częściowe x ^ {2}}} + {\ Frac {\ częściowe ^ {2}} {\ częściowe y ^ {2}}}}.
- W trójwymiarowych współrzędnych kartezjańskich:
Δ=∇2=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2{\ Displaystyle \ Delta = \ nabla ^ {2} = {\ Frac {\ częściowe ^ {2}} {\ częściowe x ^ {2}}} + {\ Frac {\ częściowe ^ {2}} {\ częściowe y ^ {2}}} + {\ frac {\ części ^ {2}} {\ części z ^ {2}}}}.
- We współrzędnych kartezjańskich w ℝ n :
Δfa(x1,...,xnie)=∑k=1nie∂2fa∂xk2(x1,...,xnie){\ Displaystyle \ Delta f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ suma _ {k = 1} ^ {n} {\ Frac {\ częściowe ^ {2} f} {\ częściowe x_ { k} ^ {2}}} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}.
We współrzędnych biegunowych (a więc w wymiarze 2) laplacian jest wyrażony w następujący sposób:
Δfa=1r∂∂r(r∂fa∂r)+1r2∂2fa∂θ2=∂2fa∂r2+1r∂fa∂r+1r2∂2fa∂θ2.{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Delta f & = {\ Frac {1} {r}} {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe r}} \ lewo (r {\ Frac {\ częściowe f} { \ częściowe r}} \ right) + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ części ^ {2} f} {\ części \ theta ^ {2}}} \\ & = {\ frac {\ częściowe ^ {2} f} {\ częściowe r ^ {2}}} + {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe r}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ Partial ^ {2} f} {\ Partial \ theta ^ {2}}}. \ End {aligned}}}
Wystarczy dodać do Laplacian we współrzędnych biegunowych powyżej, aby otrzymać tę odpowiadającą parametryzacji cylindrycznej :
∂2fa∂z2{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {2} f} {\ częściowe z ^ {2}}}}(x=rsałataθ,y=rgrzechθ,z){\ Displaystyle (x = r \ cos \ theta, r = r \ sin \ theta, z)}
Δfa=1r∂∂r(r∂fa∂r)+1r2∂2fa∂θ2+∂2fa∂z2=∂2fa∂r2+1r∂fa∂r+1r2∂2fa∂θ2+∂2fa∂z2.{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Delta f & = {\ Frac {1} {r}} {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe r}} \ lewo (r {\ Frac {\ częściowe f} { \ częściowe r}} \ right) + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ części ^ {2} f} {\ części \ theta ^ {2}}} + {\ frac {\ części ^ {2} f} {\ części z ^ {2}}} \\ & = {\ frac {\ części ^ {2} f} {\ części r ^ {2}}} + {\ frac { 1} {r}} {\ frac {\ części f} {\ części r}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ części ^ {2} f} {\ częściowy \ theta ^ {2}}} + {\ frac {\ części ^ {2} f} {\ części z ^ {2}}}. \ end {aligned}}}
Z ustawieniem
(x=rgrzech(θ)sałata(φ),y=rgrzech(θ)grzech(φ),z=rsałata(θ)){\ Displaystyle (x = r \ sin (\ teta) \ cos (\ varphi), r = r \ sin (\ teta) \ sin (\ varphi), z = r \ cos (\ teta))},
Laplacian wyraża się następująco:
Δfa=∂2fa∂r2+2r∂fa∂r+1r2∂2fa∂θ2+1r2dębnikθ∂fa∂θ+1r2grzech2θ∂2fa∂φ2{\ Displaystyle \ Delta f = {\ Frac {\ częściowe ^ {2} f} {\ częściowe r ^ {2}}} + {\ Frac {2} {r}} {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe r}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ części ^ {2} f} {\ części \ theta ^ {2}}} + {\ frac {1} { r ^ {2} \ tan \ theta}} {\ frac {\ part f} {\ part \ theta}} + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} { \ frac {\ częściowe ^ {2} f} {\ części \ varphi ^ {2}}}}.
Lub w innej formie, która może być bardziej odpowiednia do niektórych obliczeń i daje poprzedni wzór po opracowaniu:
Δfa=1r2∂∂r(r2∂fa∂r)+1r2grzechθ∂∂θ(grzechθ∂fa∂θ)+1r2grzech2θ∂2fa∂φ2{\ Displaystyle \ Delta f = {\ Frac {1} {r ^ {2}}} {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe r}} \ lewo (r ^ {2} {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe r}} \ right) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {\ części} {\ części \ theta}} \ left (\ sin \ theta { \ frac {\ części f} {\ części \ theta}} \ right) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ części ^ {2} f} {\ części \ varphi ^ {2}}}}.
Z ustawieniem
(x=rsałata(ψ)sałata(φ)sałata(θ),y=rsałata(ψ)sałata(φ)grzech(θ),z=rsałata(ψ)grzech(φ),t=rgrzech(ψ)){\ Displaystyle (x = r \ cos (\ psi) \ cos (\ varphi) \ cos (\ teta), r = r \ cos (\ psi) \ cos (\ varphi) \ sin (\ theta), z = r \ cos (\ psi) \ sin (\ varphi), t = r \ sin (\ psi))},
Laplacian wyraża się następująco:
Δfa=∂2fa∂r2+3r∂fa∂r+1r2sałata2ψsałata2φ∂2fa∂θ2+1r2sałata2ψ∂2fa∂φ2-dębnikφr2sałata2ψ∂fa∂φ+1r2∂2fa∂ψ2-2dębnikψr2∂fa∂ψ{\ Displaystyle \ Delta f = {\ Frac {\ częściowe ^ {2} f} {\ częściowe r ^ {2}}} + {\ Frac {3} {r}} {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe r}} + {\ frac {1} {r ^ {2} \ cos ^ {2} \ psi \ cos ^ {2} \ varphi}} {\ frac {\ części ^ {2} f} {\ częściowe \ theta ^ {2}}} + {\ frac {1} {r ^ {2} \ cos ^ {2} \ psi}} {\ frac {\ części ^ {2} f} {\ części \ varphi ^ { 2}}} - {\ frac {\ tan \ varphi} {r ^ {2} \ cos ^ {2} \ psi}} {\ frac {\ części f} {\ części \ varphi}} + {\ frac { 1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ części ^ {2} f} {\ części \ psi ^ {2}}} - {\ frac {2 \ tan \ psi} {r ^ {2} }} {\ frac {\ częściowa f} {\ części \ psi}}}.
Sferyczne współrzędne w dowolnym wymiarze
We współrzędnych hipersferycznych
(x1=φ1sałataφ2,x2=φ1grzechφ2sałataφ3,...,xnie-1=φ1grzechφ2...grzechφnie-1sałataφnie,xnie=φ1grzechφ2...grzechφnie-1grzechφnie){\ Displaystyle (x_ {1} = \ varphi _ {1} \ cos \ varphi _ {2}, x_ {2} = \ varphi _ {1} \ sin \ varphi _ {2} \ cos \ varphi _ {3) }, \ ldots, x_ {n-1} = \ varphi _ {1} \ sin \ varphi _ {2} \ ldots \ sin \ varphi _ {n-1} \ cos \ varphi _ {n}, x_ {n } = \ varphi _ {1} \ sin \ varphi _ {2} \ ldots \ sin \ varphi _ {n-1} \ sin \ varphi _ {n})},
Laplacian wyraża się następująco:
Δfa=∂2fa∂φ12+nie-1φ1∂fa∂φ1+1φ12(∂2fa∂φ22+nie-2dębnikφ2∂fa∂φ2)+1φ12∑ja=3nie[(∏k=2ja-11grzech2φk)(∂2fa∂φja2+nie-jadębnikφja∂fa∂φja)]{\ Displaystyle \ Delta f = {\ Frac {\ częściowe ^ {2} f} {\ częściowe \ varphi _ {1} ^ {2}}} + {\ Frac {n-1} {\ varphi _ {1} }} {\ frac {\ part f} {\ part \ varphi _ {1}}} + {\ frac {1} {\ varphi _ {1} ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ part ^ {2} f} {\ Partial \ varphi _ {2} ^ {2}}} + {\ frac {n-2} {\ tan \ varphi _ {2}}} {\ frac {\ Partial f} { \ części \ varphi _ {2}}} \ right) + {\ frac {1} {{\ varphi _ {1}} ^ {2}}} \ sum _ {i = 3} ^ {n} \ left [ {\ left (\ prod _ {k = 2} ^ {i-1} {\ frac {1} {\ sin ^ {2} \ varphi _ {k}}} \ right) \ left ({\ frac {\ częściowe ^ {2} f} {\ części \ varphi _ {i} ^ {2}}} + {\ frac {ni} {\ tan \ varphi _ {i}}} {\ frac {\ części f} {\ częściowe \ varphi _ {i}}} \ right)} \ right]}.
Nieruchomości
- Operator Laplaciana jest liniowy :Δ(λfa+sol)=λΔfa+Δsol {\ Displaystyle \ Delta (\ lambda f + g) = \ lambda \ Delta f + \ Delta g ~}
- Operator Laplaciana spełnia regułę Leibniza dla operatora różniczkowego drugiego rzędu:Δ(fasol)=(Δfa)sol+2⋅(∇fa)⋅(∇sol)+fa(Δsol){\ Displaystyle \ Delta (fg) = (\ Delta f) \, g + 2 \ cdot (\ nabla f) \ cdot (\ nabla g) + f (\ Delta g)}
- Operator Laplaciana jest operatorem ujemnym w tym sensie, że dla każdej funkcji płynnej ϕ ze zwartą obsługą mamy:
∫ϕΔϕ = -∫‖grad ϕ‖2≤0{\ Displaystyle \ int \ phi \, \ Delta \ phi \ = \ - \ int \ | \ operatorname {grad} \ \ phi \ | ^ {2} \ quad \ równoważnik 0}.Ta równość jest zademonstrowana za pomocą relacji , całkowania przez części i przy użyciu wersji twierdzenia Stokesa , które przenosi się na całkowanie przez części w przypadku jednowymiarowym.Δ=div grad{\ displaystyle \ Delta = {\ text {div grad}}}
- Operator Laplaciana jest niezależny od wyboru bazy ortonormalnej opisującej zmienne przestrzenne.
Funkcja harmoniczna
Mówi się, że funkcja (z ) jest harmoniczna, jeśli spełnia następujące równanie, zwane równaniem Laplace'a :
fa:mi→R{\ displaystyle f: E \ rightarrow \ mathbb {R}}mi⊂Rnie{\ Displaystyle E \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {n}}
∀x∈mi,(Δfa)(x)=0{\ Displaystyle \ forall x \ in E \ quad (\ Delta f) (x) = 0}.
Interpretacja
Rozumowanie będzie ograniczone do przypadku planu. Pochodna funkcji w punkcie położonym na prostej jest definiowana jako granica stosunku zmian wokół tego punktu funkcji i zmiennej, gdy ta ostatnia zmiana zmierza do zera. W obliczeniach numerycznych uzyskuje się przybliżenie tej pochodnej dla kroku h za pomocą skończonych różnic :
ϕ′(x)=ϕ(x+godz/2)-ϕ(x-godz/2)godz{\ Displaystyle \ phi '(x) = {\ Frac {\ phi (x + h / 2) - \ phi (xh / 2)} {h}}}.
Druga pochodna jest wyrażona przez
ϕ″(x)=ϕ′(x+godz/2)-ϕ′(x-godz/2)godz=ϕ(x+godz)+ϕ(x-godz)-2ϕ(x)godz2{\ Displaystyle \ phi '' (x) = {\ Frac {\ phi '(x + h / 2) - \ phi' (xh / 2)} {h}} = {\ Frac {\ phi (x + h ) + \ phi (xh) -2 \ phi (x)} {h ^ {2}}}}.
Ta wielkość, która zmierza w kierunku Laplacian, gdy h zmierza w kierunku 0, jest proporcjonalna do różnicy między połową sumy wartości ekstremalnych a wartością środkową . Właściwość uogólnia się na dowolną liczbę zmiennych.
Podejście geometryczne
Istotne jest, aby jasno określić prostą interpretację fizyczną dla Laplacji, innymi słowy, zapytać, jakie jest fizyczne znaczenie wielkości ∇ 2 ϕ , gdzie ϕ jest dowolną wielkością fizyczną. W szczególności φ może oznaczać potencjalne grawitacyjne V lub potencjał grawitacji U , ale φ może również odnosić się do bardziej skomplikowanej wielkości niż zwykła wielkość skalarna, na przykład wektora lub tensora. Laplacian, będąc operatorem skalarnym, można w ten sposób ustalić jego fizyczne znaczenie w układzie współrzędnych do wyboru. Dla uproszczenia używamy tutaj współrzędnych kartezjańskich Ox , Oy , Oz , w których ∇ 2 jest wyrażone przez
∇2=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} = {\ Frac {\ częściowe ^ {2}} {\ częściowe x ^ {2}}} + {\ Frac {\ częściowe ^ {2}} {\ częściowe y ^ {2 }}} + {\ frac {\ Partial ^ {2}} {\ Part z ^ {2}}}}.
Załóżmy, że w dowolnym punkcie O , przyjmowanym za początek tego układu osi Oxyz , pole ϕ przyjmuje wartość ϕ 0 . Rozważmy elementarną kostki bocznej A , których brzegi są równoległe do osi współrzędnych i którego środek pokrywa się z początkiem O . Średnia wartość ϕ w tym sześcianie elementarnym, innymi słowy średnia wartość ϕ w sąsiedztwie punktu O , jest wyrażona wyrażeniem
ϕ¯=1w3∫VSϕ(x,y,z)rexreyrez{\ Displaystyle {\ overline {\ phi}} = {\ Frac {1} {a ^ {3}}} \ int _ {\ mathcal {C}} \ phi (x, y, z) \; \ mathrm { d} x \ mathrm {d} y \ mathrm {d} z},
gdzie każda z trzech całek odnosi się do sześcianu C = [- a ⁄ 2 , a ⁄ 2 ] 3 .
W dowolnym punkcie P ( x , y , z ) w pobliżu O (0,0,0) rozwijamy ϕ w szeregu Taylora-Maclaurina . Mamy więc:
ϕ(x,y,z)=ϕ0+(∂ϕ∂x)0x+(∂ϕ∂y)0y+(∂ϕ∂z)0z{\ Displaystyle \ phi (x, r, z) = \ phi _ {0} + \ lewo ({\ frac {\ częściowe \ phi} {\ częściowe x}} \ prawo) _ {0} x + \ lewo ( {\ frac {\ części \ phi} {\ części y}} \ right) _ {0} y + \ left ({\ frac {\ części \ phi} {\ częściowe z}} \ right) _ {0} z }+12[(∂2ϕ∂x2)0x2+(∂2ϕ∂y2)0y2+(∂2ϕ∂z2)0z2]{\ Displaystyle + {\ Frac {1} {2}} \ lewo [\ lewo ({\ Frac {\ częściowe ^ {2} \ phi} {\ częściowe x ^ {2}}} \ prawej) _ {0} x ^ {2} + \ left ({\ frac {\ części ^ {2} \ phi} {\ części y ^ {2}}} \ right) _ {0} y ^ {2} + \ left ({\ frac {\ częściowe ^ {2} \ phi} {\ częściowe z ^ {2}}} \ right) _ {0} z ^ {2} \ right]}+(∂2ϕ∂x∂y)0xy+(∂2ϕ∂y∂z)0yz+(∂2ϕ∂z∂x)0zx+...{\ Displaystyle + \ lewo ({\ Frac {\ częściowe ^ {2} \ phi} {\ częściowe x \ częściowe y}} \ prawej) _ {0} xy + \ lewo ({\ Frac {\ częściowe ^ {2 } \ phi} {\ częściowe y \ częściowe z}} \ po prawej) _ {0} yz + \ left ({\ frac {\ części ^ {2} \ phi} {\ częściowe z \ częściowe x}} \ right) _ {0} zx + \ ldots}
Z jednej strony, funkcje nieparzyste w tym wyrażeniu zapewniają zerowy wkład do ϕ przez całkowanie - a ⁄ 2 do a ⁄ 2 . Na przykład,
∫VSxrexreyrez=[(w2)22-(-w2)22][w2--w2][w2--w2]=[0][w][w]=0{\ Displaystyle \ int _ {\ mathcal {C}} x \; \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y \ mathrm {d} z = \ lewo [{\ Frac {\ lewo ({\ Frac {a } {2}} \ right) ^ {2}} {2}} - {\ frac {\ left ({\ frac {-a} {2}} \ right) ^ {2}} {2}} \ right ] \ left [{\ frac {a} {2}} - {\ frac {-a} {2}} \ right] \ left [{\ frac {a} {2}} - {\ frac {-a} {2}} \ right] = [0] [a] [a] = 0}.
Z drugiej strony, nawet funkcje każdy wnosi wkład o 5 /12. Na przykład,
∫VSx2rexreyrez=[(w2)33-(-w2)33][w2--w2][w2--w2]=w512{\ Displaystyle \ int _ {\ mathcal {C}} x ^ {2} \; \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y \ mathrm {d} z = \ lewo [{\ frac {\ left ({ \ frac {a} {2}} \ right) ^ {3}} {3}} - {\ frac {\ left ({\ frac {-a} {2}} \ right) ^ {3}} {3 }} \ right] \ left [{\ frac {a} {2}} - {\ frac {-a} {2}} \ right] \ left [{\ frac {a} {2}} - {\ frac {-a} {2}} \ right] = {\ frac {a ^ {5}} {12}}}.
Wydedukujemy to
ϕ¯=ϕ0+w224(∂2ϕ∂x2+∂2ϕ∂y2+∂2ϕ∂z2)0{\ Displaystyle {\ overline {\ phi}} = \ phi _ {0} + {\ Frac {a ^ {2}} {24}} \ lewo ({\ Frac {\ częściowe ^ {2} \ phi} { \ częściowe x ^ {2}}} + {\ frac {\ częściowe ^ {2} \ phi} {\ częściowe y ^ {2}}} + {\ frac {\ częściowe ^ {2} \ phi} {\ częściowe z ^ {2}}} \ right) _ {0}},
lub
ϕ¯=ϕ0+w224(∇2ϕ)0{\ Displaystyle {\ overline {\ phi}} = \ phi _ {0} + {\ Frac {a ^ {2}} {24}} {\ bigl (} \ nabla ^ {2} \ phi {\ bigr) } _ {0}}.
Ponieważ punkt O został wybrany arbitralnie, możemy go asymilować do bieżącego punktu P i porzucić indeks 0. Otrzymujemy w ten sposób następujące wyrażenie, którego interpretacja jest natychmiastowa:
∇2ϕ=24w2(ϕ¯-ϕ){\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi = {\ Frac {24} {a ^ {2}}} \ lewo ({\ overline {\ phi}} - \ phi \ prawej)},
to znaczy wielkość ∇ 2 ϕ jest proporcjonalna do różnicy ϕ - ϕ . Stała proporcjonalności jest równa 24 / a 2 na osiach kartezjańskich. Innymi słowy, ilość ∇ 2 φ jest miarą różnicy pomiędzy wartością cp w każdym punkcie P i wartością średnią cp w pobliżu punktu P . W szczególności funkcje harmoniczne ( patrz wyżej ) mają tę właściwość, że są funkcjami przeciętnymi (lub „ funkcjami klasy średniej ”).
Uwaga: Laplacian funkcji można również interpretować jako lokalną średnią krzywiznę funkcji, co jest łatwo wizualizowane dla funkcji f z tylko jedną zmienną. Możemy łatwo zweryfikować, że rozumowanie zaproponowane tutaj dla Laplacian odnosi się do funkcji f i jej drugiej pochodnej. Druga pochodna (lub krzywizna) reprezentuje zatem lokalne odchylenie średniej w odniesieniu do wartości w rozważanym punkcie.
Uwagi i odniesienia
-
Wyrażenie laplacowskie we współrzędnych biegunowych (wymiar 2) .
-
Analiza matematyczna / Ćwiczenia / Różniczkowalność # Ćwiczenie 7 na Wikiversity .
-
Wyrażenie laplacowskie we współrzędnych sferycznych (wymiar 3) .
-
Wyrażenie laplasowskie we współrzędnych hipersferycznych (wymiar 4) .
-
Wyrażenie laplacowskie we współrzędnych sferycznych (dowolny wymiar) .
-
Pokazujemy to używając faktu, że transpozycja macierzy przejścia z jednej bazy na drugą jest identyczna z jej odwrotnością.
Zobacz też
Powiązane artykuły
Linki zewnętrzne