Równanie falowe
Równanie fali (czasami nazywany fali równanie lub równanie d'Alembert'a ) jest ogólne równanie opisuje propagację o fali , który może być przedstawiony za pomocą ilości skalarnych lub wektorowych.
W przypadku wektora, w wolnej przestrzeni, w ośrodku jednorodnym , liniowym i izotropowym , równanie falowe jest zapisane:
∇2mi→=1vs2∂2mi→∂t2.{\ displaystyle \ nabla ^ {2} {\ vec {E}} = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ częściowy ^ {2} {\ vec {E}}} { \ częściowy t ^ {2}}}.}Operator
∇2=Δ=Σjot=1NIE∂2∂xjot2{\ displaystyle \ nabla ^ {2} = \ Delta = \ suma _ {j = 1} ^ {N} {\ frac {\ częściowa ^ {2}} {\ częściowa x_ {j} ^ {2}}}}(gdzie N jest wymiarem przestrzeni) nazywa się Laplace'm i czasami zauważamy
◻=Δ-1vs2∂2∂t2{\ displaystyle \ kwadrat = \ Delta - {\ Frac {1} {c ^ {2}}} {\ Frac {\ częściowy ^ {2}} {\ częściowy t ^ {2}}}}operator falowy lub d'alembertien .
mi→{\ styl wyświetlania {\ vec {E}}}opisuje zarówno amplitudę fali, jak i jej polaryzację (poprzez jej wektorowy charakter). to może być połączone do szybkości propagacji fali. Na przykład w przypadku fali dźwiękowej c oznacza prędkość dźwięku 343 m / s w powietrzu w temperaturze 20 ° C. W przypadku bardziej złożonych zjawisk, takich jak propagacja fali zmieniającej się wraz z jej częstotliwością (tj. dyspersja), zastępujemy c prędkością fazową:
vp=ωk.{\ displaystyle v _ {\ mathrm {p}} = {\ frac {\ omega} {k}}.}Patrząc na każdy ze składników (odwzorowując zależność w każdym z kierunków przestrzeni), otrzymujemy równanie odnoszące się do skalara, zwane równaniem d'Alemberta :
mi→{\ styl wyświetlania {\ vec {E}}}
ΔU=1vs2∂2U∂t2.{\ displaystyle \ Delta U = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ częściowy ^ {2} U} {\ częściowy t ^ {2}}}.}
Historyczny
Ustalenie równania falowego pochodziło z badania drgań struny skrzypiec . Aby model zachowania, matematyków XVII th century zastosowali drugie prawo Newtona do kabla, najpierw postrzegany jako skończonego zbioru mas punktowych połączonych sprężyn (których zachowanie jest przez Prawo Hooke'a ustanowiony w 1660 roku), przed zwiększeniem liczby mas, aby zbliżyć się do liny.
W 1727 Jean Bernoulli wznowił eksperyment ze struną skrzypcową i zauważył, że jej drgania tworzą sinusoidę, a zmienność jej amplitudy w punkcie również tworzy krzywą sinusoidalną, podkreślając w ten sposób mody. W 1746 r. Jean le Rond d'Alembert zajął się modelem mas punktowych połączonych sprężynami i ustalił jedynie na podstawie równań, że drgania struny zależą zarówno od przestrzeni, jak i czasu.
Jednowymiarowe równanie przestrzeni
Ustanowiony przez prawo Newtona i Hooke'a
Rozważmy łańcuch mas punktowych m połączonych bezmasowymi sprężynami o długości h i sztywności k :
Rozważ u ( x ) przemieszczenie masy m w x względem jej poziomego położenia spoczynkowego. Siły wywierane na masę m w punkcie x + h to:
faNIEmiwtonie=m⋅w(t)=m⋅∂2∂t2ty(x+h,t){\ displaystyle F _ {\ mathrm {Newton}} = m \ cdot a (t) = m \ cdot {{\ częściowy ^ {2} \ ponad \ częściowy t ^ {2}} u (x + h, t) } }
faHookmi=fax+2h-fax=k[ty(x+2h,t)-ty(x+h,t)]-k[ty(x+h,t)-ty(x,t)]{\ displaystyle F _ {\ mathrm {Hook}} = F_ {x + 2h} -F_ {x} = k \ lewo [{u (x + 2h, t) -u (x + h, t)} \ prawo ] -k [u (x + h, t) -u (x, t)]}
Przemieszczenie masy w punkcie x + h wyraża się zatem wzorem:
∂2∂t2ty(x+h,t)=km[ty(x+2h,t)-ty(x+h,t)-ty(x+h,t)+ty(x,t)]{\ displaystyle {\ częściowy ^ {2} \ ponad \ częściowy t ^ {2}} u (x + h, t) = {k \ ponad m} [u (x + 2h, t) -u (x + h , t) -u (x + h, t) + u (x, t)]}Zmiana notacji umożliwia wyraźne określenie zależności czasowej u ( x ).
Rozpatrując łańcuch N równoodległych mas rozłożonych na długości L = Nh , mas całkowitych M = Nm , i sztywności całkowitej K = k / N , otrzymujemy:
∂2∂t2ty(x+h,t)=KL2Mty(x+2h,t)-2ty(x+h,t)+ty(x,t)h2{\ displaystyle {\ częściowy ^ {2} \ ponad \ częściowy t ^ {2}} u (x + h, t) = {KL ^ {2} \ ponad M} {u (x + 2h, t) -2u (x + h, t) + u (x, t) \ nad h ^ {2}}}Sprawiając, że N dąży do nieskończoności, a zatem h do 0 (rozważając całkowitą długość jako pozostającą skończoną), przy założeniu regularności otrzymujemy:
∂2ty(x,t)∂t2=KL2M∂2ty(x,t)∂x2{\ displaystyle {\ częściowy ^ {2} u (x, t) \ ponad \ częściowy t ^ {2}} = {KL ^ {2} \ ponad M} {\ częściowy ^ {2} u (x, t) \ ponad \ częściowe x ^ {2}}}gdzie c 2 = KL 2 ⁄ M = kh 2 ⁄ m kwadrat prędkości propagacji odkształcenia.
Rozkład
W wymiarze 1 przestrzeni zapisano równanie
∂2U∂z2=1vs2∂2U∂t2.{\ displaystyle {\ frac {\ częściowy ^ {2} U} {\ częściowy z ^ {2}}} = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ częściowy ^ {2} U} {\ częściowy t ^ {2}}}.}Gdy zmienna przechodzi przez całą prostą rzeczywistą, ogólne rozwiązanie tego równania jest sumą dwóch funkcji:
z{\ styl wyświetlania z}
U(z,t)=fa(z-vst)+sol(z+vst).{\ styl wyświetlania U (z, t) = F (z-ct) + G (z + ct).}Rzeczywiście możemy napisać:
(∂2∂z2-1vs2∂2∂t2)U(z,t)=0{\ displaystyle \ lewo ({\ frac {\ częściowy ^ {2}} {\ częściowy z ^ {2}}} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ częściowy ^ { 2}} {\ częściowy t ^ {2}}} \ prawy) U (z, t) = 0}jest :
(∂∂z-1vs∂∂t)(∂∂z+1vs∂∂t)U(z,t)=0{\ displaystyle \ lewo ({\ frac {\ częściowy} {\ częściowy z}} - {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \ po prawej) \ po lewej ({ \ frac {\ częściowy} {\ częściowy z}} + {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \ po prawej) U (z, t) = 0}a jeśli ustawimy a = z - ct i b = z + ct , otrzymamy:
(∂∂w)(∂∂b)V(w,b)=0{\ displaystyle \ lewo ({\ frac {\ częściowy} {\ częściowy a}} \ po prawej) \ po lewej ({\ frac {\ częściowy} {\ częściowy b}} \ po prawej) V (a, b) = 0} lub
V(w,b)=U(w+b2,b-w2vs){\ displaystyle V (a, b) = U \ lewo ({\ frac {a + b} {2}}, {\ frac {ba} {2c}} \ po prawej)}
który jest rozwiązany w: alboV(w,b)=fa(w)+sol(b){\ Displaystyle V (a, b) = F (a) + G (b)}U(z,t)=fa(z-vst)+sol(z+vst){\ styl wyświetlania U (z, t) = F (z-ct) + G (z + ct)}
Pierwszy składnik to fala propagująca w kierunku rosnącego z (zwana falą biegnącą), a drugi składnik w kierunku malejącego z (zwany falą regresywną).
W przypadku problemu z warunkiem początkowym funkcje F i G są z nimi bezpośrednio związane: dla warunków początkowych postaci
{U(z,0)=fa(z),∂tU(z,0)=sol(z){\ displaystyle {\ początek {przypadki} U (z, 0) & = f (z), \\\ częściowe _ {t} U (z, 0) & = g (z) \ koniec {przypadki}}}rozwiązanie jest zapisane w postaci zwanej „formułą d'Alemberta”:
U(z,t)=12fa(z-vst)+12fa(z+vst)+12vs∫z-vstz+vstsol(s)res.{\ displaystyle U (z, t) = {\ frac {1} {2}} f (z-ct) + {\ frac {1} {2}} f (z + ct) + {\ frac {1} {2c}} \ int _ {z-ct} ^ {z + ct} g (s) \, \ mathm {d} s.}
Równanie falowe w wymiarze 3
W przypadku fali skalarnej w ośrodku jednorodnym zaleca się pracę we współrzędnych sferycznych w celu rozwiązania równania falowego:
1vs2∂2ty∂t2=∂2ty∂r2+2r∂ty∂r.{\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ częściowy ^ {2} u} {\ częściowy t ^ {2}}} = {\ frac {\ częściowy ^ {2} u} {\ częściowy r ^ {2}}} + {\ frac {2} {r}} {\ frac {\ częściowy u} {\ częściowy r}}.}Przepisując równanie jako:
1vs2∂2(rty)∂t2-∂2(rty)∂r2=0,{\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ częściowy ^ {2} (ru)} {\ częściowy t ^ {2}}} - {\ frac {\ częściowy ^ { 2} (ru)} {\ częściowe r ^ {2}}} = 0,}dochodzimy do tego, biorąc ponownie obliczenia wykonane na problemie jednowymiarowym, że rozwiązanie jest zapisane w postaci:
ty(r,t)=1rfa(r-vst)+1rsol(r+vst),{\ displaystyle u (r, t) = {\ frac {1} {r}} F (r-ct) + {\ frac {1} {r}} G (r + ct),}gdzie F i G są funkcjami arbitralnymi.
Okazuje się więc, że rozwiązania są falami sferycznymi, rozchodzącymi się lub zbliżającymi się do punktu początkowego układu odniesienia, traktowanego jako punkt źródłowy, gdzie fale są pojedyncze, a oddalają się z amplitudą malejącą o 1 ⁄ r .
Oszczędzanie energii
Jeśli jest rozwiązaniem równania falowego, to energia
ty{\ styl wyświetlania}
mi(ty(t))=12∫RNIE|∂ty∂t(t,x)|2rex+vs22∫RNIE|∇ty(t,x)|2rex{\ displaystyle E (u (t)) = {\ frac {1} {2}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {N}} \ lewo | {\ frac {\ częściowe u} {\ częściowe t }} (t, x) \ prawo | ^ {2} \ matematyka {d} x + {\ frac {c ^ {2}} {2}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {N}} \ lewo | \ nabla u (t, x) \ prawo | ^ {2} \ mathrm {d} x}jest zachowywany w czasie. Tutaj odnotowaliśmy wymiar przestrzeni i
NIE{\ styl wyświetlania N}
|∇ty(t,x)|2=Σjot=1NIE|∂ty∂xjot(t,x)|2.{\ Displaystyle \ po lewej | \ nabla u (t, x) \ po prawej | ^ {2} = \ suma _ {j = 1} ^ {N} \ po lewej | {\ frac {\ częściowe u} {\ częściowe x_ { j}}} (t, x) \ prawo | ^ {2}.}
Równanie w domenie ograniczonej z warunkiem brzegowym
Możemy również rozważyć równanie falowe w dziedzinie przestrzeni :
re{\ styl wyświetlania D}
◻ty(t,x)=0t∈R,x∈re{\ displaystyle \ square u (t, x) = 0 \ quad t \ in \ mathbb {R}, \ quad x \ in D}z warunkami brzegowymi , na przykład:
ty(t,x)=0,t∈R,x∈∂re{\ displaystyle u (t, x) = 0, \ quad t \ in \ mathbb {R}, \ quad x \ in \ częściowe D}( warunki brzegowe Dirichleta ) gdzie jest krawędzią pola , lub
∂re{\ styl wyświetlania \ częściowe D}re{\ styl wyświetlania D}
∂νty(t,x)=0,t∈R,x∈∂re{\ displaystyle \ częściowy _ {\ nu} u (t, x) = 0, \ quad t \ in \ mathbb {R}, \ quad x \ in \ częściowe D}( warunki brzegowe Neumanna ) gdzie jest zewnętrzną pochodną normalną na krawędzi .
∂ν{\ styl wyświetlania \ częściowy _ {\ nu}}∂re{\ styl wyświetlania \ częściowe D}
Uwagi i referencje
-
Douglas C. Giancoli, General Physics: Waves, Optics and Modern Physics ,1993, 488 s. ( ISBN 978-2-8041-1702-3 , czytaj w Internecie ) , s. 20.
-
Ian Stewart, 17 równań, które zmieniły świat , Flammarion , „Rozdział 8: Dobre wibracje – równanie fali”
Zobacz również
Fala na wibrującej strunie
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">