Równanie ciepła

W matematyce i fizyce teoretycznej , ciepło równanie jest paraboliczny częściowy równanie różniczkowe do opisu zjawiska fizyczne przewodnictwa cieplnego , wprowadza się w 1807 przez Joseph Fourier , po doświadczeniach na rozchodzenie się ciepła, a następnie przez modelowanie ewolucji temperatury z trygonometryczne serii , ponieważ zwanych szeregów Fouriera i Fouriera transformacji , pozwalając na wielką poprawę matematycznego modelowania zjawisk, w szczególności podstaw termodynamiki, a które doprowadziły również do bardzo ważnych prac matematycznych, aby były rygorystyczne, prawdziwa rewolucja w zarówno fizyka, jak i matematyka od ponad wieku.

Odmiana tego równania jest bardzo obecna w fizyce pod ogólną nazwą równania dyfuzji . Okaże się w dyfuzji masy w środowisku binarnym lub ładunku elektrycznego w przewodniku, transferu promieniowania , itd. Jest również powiązany z równaniem Burgersa i równaniem Schrödingera .

Uzyskanie równania

Możemy zdefiniować prawo zachowania dla rozległej zmiennej napędzanej z dużą prędkością i obejmującej okres produkcji masowej poprzez: $\ phi$ ${\ displaystyle \ mathbf {V}}$ $S$

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ phi} {\ częściowe t}} + \ nabla \ cdot (\ phi \ mathbf {V}) = S}

W naszym przypadku zajmiemy się:

${\ Displaystyle \ phi = h = \ Delta h_ {f} ^ {0} + \ int _ {T_ {0}} ^ {T} \ rho \, C_ {P} \, \ mathrm {d} T}$	entalpia objętościowa (w J m -3 ),
$\ rho$	gęstość (w kg · m -3 ),
$C_ {P}$	ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu (w J kg −1 K −1 ),
${\ displaystyle \ Delta h_ {f} ^ {0}}$	ciepło formowania w temperaturze $T 0$ , dowolne (zwykle bierzemy 293 K),
${\ displaystyle \ mathbf {V} = {\ Frac {\ mathbf {j}} {h}}}$	prędkość dyfuzji energii w ośrodku (w m s −1 ),
$\ mathbf {j}$	strumień dyfuzji (w W m −2 ), który należy wyrazić,

Równanie ciepła zostanie zatem wyrażone w następującej postaci:

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe h} {\ częściowe t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {j} = S}

lub

{\ Displaystyle \ rho C_ {P} {\ Frac {\ częściowe T} {\ częściowe t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {j} = S}

Propagacji energii odbywa się przez Browna mechanizmu z fononów i elektryczne nośników ładunku (elektrony lub otwory), w związku z tym przy bardzo małym charakterystycznej skali w porównaniu do tych, makroskopowego problemu. Jest zatem opisane równaniem typu dyfuzji, prawem Fouriera:

{\ Displaystyle \ mathbf {j} = - \ lambda \ nabla T}

gdzie jest przewodność cieplna (w W · m −1 K −1 ), wielkość skalarna, która zależy od składu i stanu fizycznego ośrodka, przez który przenika ciepło, a na ogół również od temperatury. Może być również tensorem w przypadku mediów anizotropowych, takich jak grafit . $\ lambda$

Jeżeli medium jest jednorodne, a jego przewodnictwo w bardzo niewielkim stopniu zależy od temperatury, równanie cieplne możemy zapisać w postaci:

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe T} {\ częściowe t}} - D \ nabla ^ {2} T = {\ Frac {S} {\ rho C_ {P}}}}

gdzie jest współczynnik dyfuzji cieplnej i Laplace'a . ${\ Displaystyle D = {\ Frac {\ lambda} {\ rho C_ {P}}}}$ $\ nabla ^ 2$

Aby zamknąć system, to na ogół konieczne jest określenie w domenie uchwały, ograniczonego , z wychodzących normalny : $\Omega$ $\ częściowe \ Omega$ ${\ mathbf {n}}$

warunek wstępny : ; ${\ Displaystyle \ forall \, \ mathbf {x} \, \ in \, \ Omega \ ,, \ quad T (\ mathbf {x}, 0) \ = \ T_ {init} (\ mathbf {x})}$
warunek brzegowy na krawędzi pola , na przykład: x∈∂Ω{\ Displaystyle \ mathbf {x} \ \ w \, \ częściowe \ Omega} ${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ \ w \, \ częściowe \ Omega}$
- Warunek Dirichleta : , ${\ Displaystyle \ quad T (\ mathbf {x}, t) \ = \ T _ {\ tekst {krawędź}} (\ mathbf {x}, t)}$
- Stan Neumann : , biorąc pod uwagę. ${\ Displaystyle \ quad {\ Frac {\ częściowe T (\ mathbf {x}, t)} {\ częściowe n}} \ = \ \ mathbf {n} (\ mathbf {x}) \ cdot \ nabla T (\ mathbf {x}, t) \ = \ f (\ mathbf {x}, t)}$ $fa$

Rozwiązywanie równania ciepła szeregami Fouriera

Jedną z pierwszych metod rozwiązania równania ciepła zaproponował sam Joseph Fourier ( Fourier 1822 ).

Rozważymy uproszczony przypadek jednowymiarowego równania, które może modelować zachowanie ciepła w pręcie. Następnie zapisujemy równanie:

\ Displaystyle \ częściowe T = \ alfa \ częściowe_ {xx} ^ 2 T.

gdzie T = T ( x , t ) dla xw przedziale [0, L ], gdzie L jest długością pręta at ≥ 0.

Stawiamy sobie warunek początkowy:

T (x, 0) = f (x) \ quad \ forall x \ in [0, L]

i warunki brzegowe, tutaj jednorodnego typu Dirichleta:

T (0, t) = 0 = T (L, t) \ quad \ forall t> 0

Celem jest znalezienie nietrywialnego rozwiązania równania, które wyklucza rozwiązanie zerowe. Następnie stosujemy metodę rozdzielania zmiennych , zakładając, że rozwiązanie jest zapisywane jako iloczyn dwóch niezależnych funkcji:

T (x, t) = X (x) Y (t).

Ponieważ T jest rozwiązaniem częściowego równania różniczkowego, mamy:

\ frac {Y '(t)} {\ alpha Y (t)} = \ frac {X' '(x)} {X (x)}.

Dwie równe funkcje, które nie zależą od tej samej zmiennej, są z konieczności stałe, równe wartości podanej tutaj −λ, to znaczy:

Y '(t) = - \ lambda \ alpha Y (t)

X '' (x) = - \ lambda X (x).

Sprawdza się, czy warunki brzegowe zabraniają przypadku λ ≤ 0 mieć rozwiązań niezerowych:

Załóżmy, że λ <0. Wtedy istnieją rzeczywiste stałe B i C takie, że ${\ Displaystyle X (x) = być ^ {{\ sqrt {- \ lambda}} \, x} + Ce ^ {- {\ sqrt {- \ lambda}} \, x}}$ .Jednak warunki brzegowe narzucają X (0) = 0 = X ( L ), to znaczy B = 0 = C , a zatem T wynosi zero.
Załóżmy λ = 0. Nie jest wówczas taka sama rzeczywistym stałych B , C, tak, że X ( x ) = Bx + C . Po raz kolejny warunki brzegowe dają X zero, a zatem T zero.

Pozostaje więc przypadek λ> 0. Istnieją więc stałe rzeczywiste A , B , C takie, że

Y (t) = A e ^ {- \ lambda \ alpha t}

X (x) = B \ sin (\ sqrt {\ lambda} \, x) + C \ cos (\ sqrt {\ lambda} \, x).

Warunki brzegowe narzucają teraz C = 0 i że istnieje dodatnia liczba całkowita n taka, że

\ sqrt {\ lambda} = n \ frac {\ pi} {L}.

Otrzymujemy w ten sposób postać rozwiązania. Jednak badane równanie jest liniowe, więc każda liniowa kombinacja rozwiązań sama w sobie jest rozwiązaniem. Tak więc ogólna postać rozwiązania jest podana przez

{\ Displaystyle T (x, t) = \ suma _ {n = 1} ^ {+ \ infty} D_ {n} \ sin \ lewo ({\ Frac {n \ pi x} {L}} \ prawej) e ^ {- {\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2} \ alpha t} {L ^ {2}}}}.}

Wartość warunku początkowego daje:

{\ displaystyle f (x) = T (x, 0) = \ suma _ {n = 1} ^ {+ \ infty} D_ {n} \ sin \ lewo ({\ Frac {n \ pi x} {L} } \ dobrze).}

Rozpoznajemy rozwój szeregu Fouriera , który daje wartości współczynników:

{\ Displaystyle D_ {n} = {\ Frac {2} {L}} \ int _ {0} ^ {L} f (x) \ sin \ lewo ({\ Frac {n \ pi x} {L}} \ right) \, \ mathrm {d} x.}

Uogólnienie

Innym sposobem znalezienia tego wyniku jest zastosowanie twierdzenia Sturma-Liouville'a i dekompozycja rozwiązania na podstawie odpowiednich rozwiązań przestrzennej części operatora różniczkowego na przestrzeni spełniającej warunki brzegowe.

W przedstawionym wcześniej przypadku sprowadza się to do wyznaczenia rozwiązań własnych operatora na przestrzeni funkcji dwukrotnie różniczkowalnych w sposób ciągły i zerowych na krawędziach [0, L ]. Wektory własne tego operatora mają zatem postać: $\ Delta u = \ częściowa_ {xx} ^ 2 u$

e_n (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ left (\ frac {n \ pi x} {L} \ right), \ \ forall n \ geqslant 1,

powiązane wartości własne

{\ Displaystyle \ Delta e_ {n} = - {\ Frac {n ^ {2} \ pi ^ {2}} {L ^ {2}}} e_ {n}}

W ten sposób możemy wykazać, że podstawa ( e n ) jest ortonormalna dla iloczynu skalarnego i że każda funkcja spełniająca f (0) = f ( L ) = 0 może na tej podstawie jednoznacznie rozłożyć się, co jest przestrzenią pod-gęstą z L 2 ((0, l )). Kontynuując obliczenia, znajdujemy oczekiwaną postać rozwiązania.

Podstawowe rozwiązanie

Próbujemy rozwiązać równanie ciepła na ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d} \ razy] 0, \ infty [}$

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe u} {\ częściowe t}} = {\ Frac {1} {2}} \ Delta u}

gdzie jeden zauważa , z warunkiem początkowym . Dlatego wprowadzamy podstawowe równanie: ${\ Displaystyle \ Delta u = \ suma _ {i = 1} ^ {d} {\ Frac {\ częściowy ^ {2} u} {\ częściowy x_ {i} ^ {2}}}}$ ${\ Displaystyle u (\ cdot, 0) = f}$

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} {\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe K_ {0}} {\ częściowe t}} = {\ Frac {1} {2}} \ Delta K_ {0}} \\ K_ {0} (\ cdot, 0) = \ delta _ {0} \ end {sprawy}}}

gdzie oznacza masę Diraca równą 0. Rozwiązanie związane z tym problemem (lub jądrem ciepła ) uzyskuje się na przykład biorąc pod uwagę gęstość ruchu Browna: $\ delta _ {0}$

{\ Displaystyle K_ {0} (x, t) = {\ Frac {1} {(2 \ pi t) ^ {d / 2}}} \ exp \ lewo (- {\ Frac {| x | ^ {2 }} {2t}} \ right)}

a rozwiązanie ogólnego problemu uzyskuje się przez splot:

{\ Displaystyle u (x, t) = K_ {0} (\ cdot, t) \ ast f = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} K_ {0} (xy, t) f (y ) \ mathrm {d} y = {\ frac {1} {(2 \ pi t) ^ {d / 2}}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} \ exp \ left (- { \ frac {| xy | ^ {2}} {2t}} \ right) f (y) \ mathrm {d} y}

od tego czasu spełnia równanie i warunek początkowy dzięki właściwościom iloczynu splotu. $u$

Odwrotne problemy

Rozwiązanie równania ciepła spełnia następującą zasadę maksimum :

\ forall (x, t) \ in \ Omega \ times [0, T], \, \ min (0, \ inf_ \ Omega T_0) \ leqslant T \ leqslant \ max (0, \ sup_ \ Omega T_0).

Z biegiem czasu rozwiązanie nigdy nie przyjmie wartości niższych niż minimum danych początkowych ani wyższych niż maksimum z tych danych.

Równanie ciepła jest stabilnym równaniem różniczkowym cząstkowym, ponieważ małe zakłócenia warunków początkowych prowadzą do niewielkich zmian temperatury w późniejszym czasie z powodu tej zasady maksimum. Jak każde równanie dyfuzji, równanie ciepła ma silny wpływ regularyzujący na rozwiązanie: nawet jeśli dane początkowe wykazują nieciągłości, rozwiązanie będzie regularne w dowolnym punkcie przestrzeni po rozpoczęciu zjawiska dyfuzji.

To samo nie dotyczy odwrotnych problemów, takich jak:

wsteczne równanie ciepła, czyli zadany problem, w którym warunek początkowy zastępuje się warunkiem końcowym typu , ${\ Displaystyle \ forall \, x \, \ in \, \ Omega \ ,, \ quad T (x, t_ {f}) \ = \ T_ {f} (x)}$
określenie warunków brzegowych na podstawie znajomości temperatury w różnych punktach w czasie.

Te problemy są źle postawione i można je rozwiązać jedynie poprzez nałożenie ograniczenia regularyzacji rozwiązania.

Uogólnienia

Równanie ciepła uogólnia się naturalnie:

w dla każdego n ; $\ mathbb {R} ^ {n}$
na rozmaitości riemannowskiej dowolnego wymiaru poprzez wprowadzenie operatora Laplace'a-Beltramiego , który uogólnia laplaciański.

Uwagi i odniesienia

Uwagi

Jeśli medium jest jednorodne, przewodnictwo jest prostą funkcją temperatury . Więc to zależy od miejsca przez wariacji przestrzennych temperatury: . Jeśli zależy bardzo mało od ( ), to zależy również bardzo mało od miejsca. ${\ Displaystyle \ lambda (T)}$ ${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ lambda} {\ częściowe x}} = {\ Frac {\ mathrm {d} \ lambda} {\ mathrm {d} T}} \, {\ Frac {\ częściowe T} {\ częściowe x}}}$ $\ lambda$ $T$ ${\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} \ lambda} {\ mathrm {d} T}} \ w przybliżeniu 0}$

Bibliografia

Wspomnienie o rozchodzeniu się ciepła w ciałach stałych , znane z abstraktu opublikowanego w 1808 roku pod podpisem Siméona Denisa Poissona w Nouveau Bulletin des sciences par la Société philomathique de Paris , t. I, str. 112-116, nr 6.
Jean Zinn-Justin , Całka ścieżki w mechanice kwantowej: wprowadzenie , EDP Sciences ,2003, 296 str. ( ISBN 978-2-86883-660-1 , czytaj online ).
Robert Dautray, Probabilistyczne metody równań fizyki , Eyrolles ,1989( ISBN 978-2-212-05676-1 ).

Zobacz też

Bibliografia

Joseph Fourier , Analityczna teoria ciepła ,1822[ szczegóły wydań ]
Jean Dhombres i Jean-Bernard Robert, Joseph Fourier (1768-1830): twórca fizyki-matematyki , Paryż, Belin , coll. „Uczony, era”1998, 767 str. ( ISBN 978-2-7011-1213-8 , OCLC 537928024 )
Haïm Brezis , Analiza funkcjonalna: teoria i zastosowania [ szczegóły wydań ]

Powiązane artykuły

Linki zewnętrzne

http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/claude_saintblanquet/conducti/11intro/11intro.htm
http://www.lmm.jussieu.fr/~lagree/COURS/MECAVENIR/cours4_eqchal_loc.pdf
https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~edumas/GisclonJME4.pdf
Teoria ciepła Fouriera zastosowana do temperatury Ziemi , analiza tekstu Fouriera z 1827 r. Na stanowisku BibNum .
Analityczna teoria ciepła (1822), rozdz. III (fundamenty transformaty Fouriera), online i skomentowane na stronie BibNum .