Rdzeń cieplny

W matematyce , jądro ciepła jest zielony funkcja (zwany również podstawowy roztwór) równania ciepła na określonej domeny, ewentualnie z odpowiednimi granicznych warunkach. Jest również jednym z głównych narzędzi do studiowania na Laplace'a spektrum . Jądro ciepła przedstawia zmianę temperatury równą jednej jednostce ciepła w punkcie w początkowym czasie.

Ogrzej rdzeń w wolnej przestrzeni

Jądro ciepła w wolnej przestrzeni R d ma wyrażenie

K.(t,x,y)=1(4πt)re/2mi-|x-y|2/4t{\ Displaystyle K (t, x, r) = {\ Frac {1} {(4 \ pi t) ^ {d / 2}}} e ^ {- | xy | ^ {2} / 4t}} ${\ Displaystyle K (t, x, r) = {\ Frac {1} {(4 \ pi t) ^ {d / 2}}} e ^ {- | xy | ^ {2} / 4t}}$

i jest rozwiązaniem równania ciepła

∂K.∂t(t,x,y)=ΔxK.(t,x,y){\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe K} {\ częściowe t}} (t, x, y) = \ Delta _ {x} K (t, x, y)} ${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe K} {\ częściowe t}} (t, x, y) = \ Delta _ {x} K (t, x, y)}$

dla wszystkich t > 0 i x , y ∈ R d , z warunkiem początkowym

limt→0K.(t,x,y)=δ(x-y)=δx(y){\ Displaystyle \ lim _ {t \ do 0} K (t, x, y) = \ delta (xy) = \ delta _ {x} (y)} ${\ Displaystyle \ lim _ {t \ do 0} K (t, x, y) = \ delta (xy) = \ delta _ {x} (y)}$

gdzie δ jest rozkładem Diraca, a granicę przyjmuje się w znaczeniu rozkładów , tj. dla dowolnej funkcji testowej φ

limt→0∫RreK.(t,x,y)φ(y)rey=φ(x).{\ Displaystyle \ lim _ {t \ do 0} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} K (t, x, r) \ varphi (y) \, \ mathrm {d} y = \ varphi (x).} ${\ Displaystyle \ lim _ {t \ do 0} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} K (t, x, r) \ varphi (y) \, \ mathrm {d} y = \ varphi (x).}$

Teoria widmowa

Definicje ogólne

Albo kompaktowy obszar na pokładzie . Na tym polu rozważa się operator dodatni , którym jest laplacian , posiadający warunki brzegowe na brzegu pola (Dirichlet, Neumann, mieszane), które całkowicie rozwiązują problem. $\Omega$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ częściowe \ Omega$ ${\ displaystyle {\ hat {H}} = - \ \ Delta}$ $\Delta$ $\ częściowe \ Omega$

Operator dodatni jest generatorem ciągłej półgrupy w . Następnie możemy napisać dla dowolnej sumarycznej funkcji kwadratowej f : ${\ displaystyle {\ hat {H}} = - \ \ Delta}$ $L ^ {2} (\ Omega)$

${\ Displaystyle e ^ {- \; t \; {\ kapelusz {H}}} \ f (x) \ = \ e ^ {+ \; t \; \ Delta} \ f (x) \ = \ int _ {\ Omega} dy \ K (x, y, t) \ f (y)}$

Funkcja K ( x , y , t ) nazywana jest „ jądrem ciepła ”. Rzeczywiście funkcja:

${\ Displaystyle f (x, t) \ = \ e ^ {+ \; t \; \ Delta} \ f (x)}$

jest oczywiście rozwiązaniem równania ciepła :

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe f (x, t)} {\ częściowe t}} \ = \ \ Delta \ f (x, t)}$

Ponadto częściowo grupa dąży do tożsamości, gdy czas t dąży do zera:

${\ Displaystyle f (x, t) \ = \ \ e ^ {+ \; t \; \ Delta} \ f (x) \ \ do _ {t \ do 0 ^ {+}} \ f (x)}$

tak, że jądro ciepła K musi mieć asymptotyczne zachowanie:

${\ Displaystyle K (x, y, t) \ \ do _ {t \ do 0 ^ {+}} \ \ delta (xy)}$

gdzie jest dystrybucja Diraca . Zatem jądro ciepła K ( x , y , t ) wydaje się być funkcją Greena lub elementarnego rozwiązania równania ciepła. ${\ Displaystyle \ delta (x)}$

Teoria widmowa

Gdy pole jest zwarte, operator dodatni ma dyskretne spektrum wartości własnych, z którymi jest skojarzona baza Hilberta wektorów własnych (używa się tutaj notacji Diraca ): $\Omega$ ${\ displaystyle {\ hat {H}} = - \ \ Delta}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} \ | \ psi _ {n} \ rangle \ = \ \ lambda _ {n} \ | \ psi _ {n} \ rangle \ ,, \ quad 0 \ równoważnik \ lambda _ {1} \ leq \ lambda _ {2} \ leq \ dots \ leq \ lambda _ {n} \ leq \ dots \ leq + \ infty}$

Następnie możemy napisać, wprowadzając dwukrotnie relację zamykającą:

${\ Displaystyle K (x, r, t) \ = \ \ langle y | e ^ {- \; t \; {\ kapelusz {H}}} | x \ rangle \ = \ \ suma _ {n, m = 1} ^ {+ \ infty} \ \ langle y | \ psi _ {m} \ rangle \ \ langle \ psi _ {m.} | E ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} | \ psi _ {n} \ rangle \ \ langle \ psi _ {n} | x \ rangle}$

kto staje się:

${\ Displaystyle K (x, y, t) \ = \ \ suma _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ langle y | \ psi _ {n} \ rangle \ \ langle \ psi _ {n} | x \ rangle \ e ^ {- \; t \; \ \ lambda _ {n}} \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ {\ overline {\ psi _ {n} }} (y) \ \ psi _ {n} (x) \ e ^ {- \; t \; \ lambda _ {n}}}$

Ślad rdzenia cieplnego

Ślad rdzenia ciepła jest określona przez:

${\ Displaystyle \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ kapelusz {H}}} \ = \ \ suma _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ e ^ {- \; t \; \ lambda _ {n}}}$

Ponieważ stany własne są ortonormalne, można zauważyć, że można napisać:

${\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} dx \ K (x, x, t) \ = \ \ suma _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ e ^ {- \; t \; \ lambda _ {n}} \ \ int _ {\ Omega} dx \ | \ psi _ {n} (x) | ^ {2} \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ e ^ { - \; t \; \ lambda _ {n}}}$

Mamy zatem podstawową relację:

${\ Displaystyle \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ kapelusz {H}}} \ = \ \ int _ {\ Omega} dx \ K (x, x, t)}$

Relacja ta jest powiązana z wieloma „wzorami śladowymi”, takimi jak ta Selberga w geometrii hiperbolicznej lub Gutzwiller w przybliżeniu półklasycznym.

Funkcje widmowe

Definiujemy funkcję liczenia wartości własnych:

${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (\ lambda) \ = \ \ mathrm {Tr} \ \ theta ({\ kapelusz {H}} - \ lambda) \ = \ \ suma _ {n = 1} ^ { + \ infty} \ \ theta (\ lambda _ {n} - \ lambda)}$

gdzie jest dystrybucja Heaviside . Funkcja liczenia jest rosnącą dodatnią funkcją schodkową, która daje całkowitą liczbę wartości własnych mniejszą lub równą . Jego pochodną jest gęstość widmowa wartości własnych: $\ podatek)$ $\ lambda$

${\ Displaystyle \ rho (\ lambda) \ = \ \ mathrm {Tr} \ \ delta ({\ kapelusz {H}} - \ lambda) \ = \ \ suma _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ delta (\ lambda _ {n} - \ lambda)}$

Ślad jądra ciepła jest powiązany z tymi funkcjami przez transformację Laplace'a :

${\ Displaystyle \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ kapelusz {H}}} \ = \ \ suma _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ e ^ {- \; t \; \ lambda _ {n}} \ = \ \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- \; t \; \ lambda} \ \ rho (\ lambda) \ d \ lambda \ = \ \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- \; t \; \ lambda} \ d {\ mathcal {N}} (\ lambda)}$

Widmowa funkcja zeta

Zakładamy tutaj, że podstawowe . Analogicznie do funkcji zeta Riemanna wprowadzamy widmową funkcję zeta za pomocą szeregu typu Dirichleta : ${\ displaystyle \ lambda _ {1} \ neq 0}$

${\ Displaystyle \ zeta (s) \ = \ \ suma _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ {\ Frac {1} {\ lambda _ {n} ^ {s}}}}$

która zbiega się dla wystarczająco dużych. Ta funkcja zeta jest połączona ze śladem jądra cieplnego przez transformację typu Mellina : ${\ Displaystyle \ Re \ mathrm {e} \ lewo [\, s \, \ w prawo]}$

${\ Displaystyle \ zeta (s) \ = \ {\ Frac {1} {\ Gamma (s)}} \ \ int _ {0} ^ {+ \ infty} dt \ t ^ {s-1} \ \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}}}$

Funkcja zeta jest używana w szczególności do regulowania wyznaczników operatorów (en), które pojawiają się podczas obliczania całek ścieżek w kwantowej teorii pola . Istotnie, wyznacznik operatora H jest zdefiniowany przez:

${\ Displaystyle \ mathrm {det} \ {\ kapelusz {H}} \ = \ \ prod _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ lambda _ {n}}$

Z tożsamością:

${\ Displaystyle \ ln \ \ mathrm {det} \ {\ kapelusz {H}} \ = \ \ ln \ \ lewo (\ prod _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ lambda _ {n} \ po prawej) \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ ln \ lambda _ {n} \ = \ \ mathrm {Tr} \ \ ln \ {\ hat {H}}}$

łatwo demonstrujemy relację formalną:

${\ Displaystyle \ mathrm {det} \ {\ kapelusz {H}} \ = \ \ exp \, \ lewo [\, - \ \ zeta '(0) \ \ prawej]}$

gdzie pochodna funkcji zeta jest obliczana przy s = 0.

Rozszerzenie na kompaktowe kolektory riemannowskie

Wszystkie powyższe definicje rozciągają się całkiem naturalnie na przypadek operatora Laplace'a-Beltramiego na zwartej rozmaitości riemannowskiej , która wówczas ma również dyskretne widmo. Na rozmaitości zwartej funkcję stałą można znormalizować do jedności, tak że stan podstawowy jest powiązany z zerową wartością własną, która nie jest zdegenerowana.

Dobrze jest wtedy zapytać: i mamy: $\ lambda _ {0} = 0$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} \ | \ psi _ {n} \ rangle \ = \ \ lambda _ {n} \ | \ psi _ {n} \ rangle \ ,, \ quad 0 = \ lambda _ { 0} \ <\ lambda _ {1} \ leq \ lambda _ {2} \ leq \ dots \ leq \ lambda _ {n} \ leq \ dots \ leq + \ infty}$

Z widmem tym można również skojarzyć funkcję zeta pod warunkiem „ręcznego” usunięcia zerowej wartości własnej.

Asymptotyczny rozwój jądra ciepła

Przekątna człon jądra ciepła dopuszcza asymptotyczny rozwój w krótkim czasie.

Kompaktowa odmiana riemanińska bez obramowania

Dla zwartej rozmaitości riemannowskiej M o wymiarze d bez granicy mamy rozwinięcie Minakshisundaram-Pleijel (1949):

${\ Displaystyle K (x, x, t) \ \ sim \ {\ Frac {1} {t ^ {d / 2}}} \ \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} (x) \ t ^ {n} \ qquad (t \ do 0 ^ {+})}$

gdzie współczynniki są gładkimi funkcjami na M , które zależą od metryki i jej pochodnych w x . Całkując we wszystkich punktach x wnioskujemy, że ślad jądra ciepła również dopuszcza asymptotyczny rozwój w krótkim czasie: $a_n (x)$

${\ Displaystyle \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ kapelusz {H}}} \ \ sim \ {\ Frac {1} {t ^ {d / 2}}} \ \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} A_ {n} \ t ^ {n} \ qquad (t \ do 0 ^ {+})}$

gdzie stałe są zdefiniowane przez: $Rok}$

${\ Displaystyle A_ {n} \ = \ \ int _ {M} a_ {n} (x) \ d \ mu (x)}$

do pomiaru wywołanego przez metrykę. Stałe te ujawniają pewne globalne cechy geometryczne M ; na przykład stała jest proporcjonalna do hiperobjętości rozmaitości:, gdzie: $A_0$ ${\ Displaystyle \ mathrm {mes} \, (M)}$

${\ Displaystyle \ mathrm {mes} \, (M) \ = \ \ int _ {M} \ d \ mu (x)}$

Odmiany na pokładzie

Istnienie takiego asymptotycznego rozwoju można rozszerzyć na odmiany o wystarczająco regularnych krawędziach. Operator Laplace-Beltrami musi wtedy mieć zapewnione odpowiednie warunki brzegowe.

Widmo i geometria

Rozwój śladu rdzenia ciepła jest powiązany z rozwojem funkcji liczenia wartości własnej (lub jej pochodnej, gęstości widmowej).

Powiązane artykuły

Bibliografia

Leksykony

Marcel Berger, Paul Gauduchon i Edmond Mazet; Widmo rozmaitości riemanowskiej , Lecture Notes in Mathematics 194 , Springer-Verlag (1971).
Isaac Chavel; Wartości własne w Riemannian Geometry , Pure and Applied Mathematics 115 , Academic Press ( 2 e- wydanie 1984) ( ISBN 0121706400 ) .

Kilka artykułów

S Minakshisundaram & A Pleijel; Niektóre właściwości funkcji własnych operatora Laplace'a na rozmaitościach riemannowskich , Canadian Journal of Mathematics 1 (1949), 242-256.
HP McKean & IM Singer; Curvature and the eigenvalues of the Laplacian , Journal of Differential Geometry 1 (1) (1967), 43-69.
Peter B. Gilkey; Geometria spektralna rozmaitości Riemanniana , Journal of Differential Geometry 10 (4) (1975), 601-618.
Yves Colin de Verdière; Asymptotyczne właściwości równania ciepła na rozmaitości zwartej, według P. Gilkey , Bourbaki Seminar (Listopad 1973).
Yves Colin de Verdière; Laplacian spectrum and length of periodic geodesics (I) , Compositio Mathematica 27 (1) (1973), s. 83-106 . Numdam .
Yves Colin de Verdière; Laplacian spectrum and length of periodic geodesics (II) , Compositio Mathematica , 27 (2) (1973), s. 159-184 . Numdam .
Maria Teresa Arede; Geometria jądra ciepła na rozmaitościach , praca podyplomowa, Uniwersytet w Marsylii (1983).
Teresa Arede; Manifolds, dla których jądro ciepła jest podane w kategoriach długości geodezyjnych , Letters in Mathematical Physics 9 (2) (1985), 121-131.
Peter B Gilkey; Asymptotyki równania ciepła , proc. Miły. Matematyka czysta i stosowana. V54 (1993), 317-336.
Klaus Kirsten; Funkcje spektralne w matematyce i fizyce , Chapman & Hall / CRC, Boca Raton, FL (2002), ( ISBN 1-58488-259-X ) .
Peter B. Gilkey; Asymptotyczne wzory w geometrii spektralnej , Studies in Advanced Mathematics, t. 43, Chapman & Hall / CRC, Boca Raton, FL (2004), ( ISBN 1-58488-358-8 )

Wirtualna biblioteka

Claude Bardos i Olivier. Laffite; Synteza starych i niedawnych wyników dotyczących asymptotycznego zachowania laplackich wartości własnych na rozmaitości riemannowskiej (1998). PostScript .
M. van den Berg, S. Desjardins i PB Gilkey; Asymptotyki zawartości ciepła rozmaitości riemannowskich , w: Differential Geometry and its Applications , O. Kowalski & D. Krupka (red.), Materiały z V międzynarodowej konferencji 1992 na temat geometrii różniczkowej i jej zastosowań na Uniwersytecie Śląskim (1993), ( ISBN 80-901581 -0-2 ) , s. 61-64 . PostScript .
DV Vassilevich; Rozszerzenie jądra ciepła: podręcznik użytkownika , raport fizyczny 388 (2003), 279-360. ArXiv: hep-th / 0306138 .
Arlo Caine; Jądro ciepła na kolektorze riemannowskim , pdf .
Daniel Grieser; Uwagi na temat jądra ciepła na rozdzielaczach z granicą , pdf .

Uwagi

W fizyce statystycznej jest to kanoniczna funkcja podziału Z (t) układu dla „odwrotnej temperatury” t .
Subbaramiah Minakshisundaram & Åke Pleijel; Niektóre właściwości funkcji własnych operatora Laplace'a na rozmaitościach riemannowskich , Canadian Journal of Mathematics 1 (1949), 242-256.