Undeformable stałe modelu jest stały wzór często stosowane w mechanice z punktu istotnych układów . Jest to idealizacja zwykłego pojęcia ciała stałego (w stanie) , uważanego za absolutnie sztywne i pomijającego wszelkie odkształcenia .
Stabilne wymiarowo stałe jest model stosowany w mechanice opisać zachowanie ciała obiektu, (część).
Jak sama nazwa wskazuje, uważa się, że z biegiem czasu odległość między dwoma danymi punktami nie zmienia się. Oznacza to, że zaniedbuje się zjawisko sprężystej i a fortiori plastycznej deformacji , a ciało stałe nie wykazuje pęknięcia.
Model ten znajduje szerokie zastosowanie w kinematyce i dynamice , gdzie stanowi podstawę badania ruchów ciała stałego. W porównaniu z modelem punktu materialnego umożliwia uwzględnienie prawidłowego obrotu obiektu względem układu odniesienia .
Jedną z głównych konsekwencji tej Nieodkształcalność jest equiprojectivity na polu z prędkości wektory z punktów ciała stałego. To jest podstawą pojęcia kinematycznego torsora i pojęcia chwilowego środka obrotu .
Model staje się nieodpowiedni, gdy zaangażowane siły (ze względu na podstawową zasadę dynamiki ) stają się ważne. Można wtedy zauważyć znaczną różnicę między zachowaniem przewidzianym przez teorię nieodkształcalnej bryły a obserwowanym zachowaniem. Na przykład odkształcenie sprężyste części powoduje przesunięcie fazowe między naprężeniem a reakcją, punkt styku części nie znajduje się dokładnie tam, gdzie się tego spodziewamy i dlatego modyfikuje zaangażowane siły., Występuje efekt odbicia, a nawet degradacja niektórych części.
W szczególności model nieodkształcalnej bryły nie nadaje się do badania wstrząsów , wstrząsów i wibracji (np. Akustyki ).
Ponadto niektóre systemy są zaprojektowane tak, aby ulegały znacznym odkształceniom. Tak jest na przykład w przypadku sprężyn , membran i miechów . Model oczywiście nie pozwala nam badać tych systemów.
Zauważ również, że pojęcie sztywnego ciała jest generalnie nie do pogodzenia ze szczególną teorią względności . W szczególności sztywność nie zawsze może być zachowana w teorii względności podczas różnych ruchów, w tym odpowiednich obrotów i przyspieszeń. Model nieodkształcalnej bryły jest zatem ważny tylko wtedy, gdy występujące prędkości są znacznie mniejsze niż prędkość światła .
Stałe S jest zbiorem punktów materiału M I , których wzajemne odległości pozostaje stała z upływem czasu.
Należy zauważyć, że definicja ta jest bardzo restrykcyjna i nie należy jej mylić z definicją „ ciała stałego ”, która wskazuje na niską średnią swobodną drogę składników materii (mniejszą niż odległość międzyatomowa). Ciało stałe w fizyczno-chemicznym sensie ruchów atomów lub cząsteczek bez makroskopowej deformacji ( mieszanie termiczne , dyfuzja ). Ponadto nadal mówi się o ciałach stałych, nawet gdy obiekt ulega znacznym odkształceniom ( elastyczny , plastyczny , lepki przepływ ).
Jeśli chodzi o systemy materiałowe w ogóle (odkształcalne lub nie), można przyjąć albo nieciągły sposób opisu (lub dyskretny), albo wciąż ciągły.
Najłatwiejszym do zastosowania modelem jest rozważenie bryły (lub układu materiałowego) jako zbioru dużej liczby punktów materialnych M i o masach m i . Następnie definiuje się całkowitą masę ciała stałego , będąc w ramach klasycznego modelu z addytywnością mas. Wszystkie inne ekstensywne fizyczne są formalnie określone dyskretnych sum: na przykład, pęd wyrażone , etc.
Materia ma dyskretną mikroskopijną strukturę, składającą się z atomów , które same mają również strukturę wewnętrzną. Jeśli jednak weźmiemy pod uwagę „mezoskopowy” element objętości ciała stałego, to prawdopodobnie będzie ono zawierało bardzo dużą liczbę atomów. Na przykład sześcian żelaza o boku 1 μm (bardzo mały w skali makroskopowej) zawiera prawie 8,5 × 10 13 atomów. W ten sposób ciało stałe można traktować jako ośrodek ciągły . Dokładniej mówiąc, o ośrodku będzie można powiedzieć, że jest ciągły, jeśli liczba cząstek zawartych w objętości elementarnej jest wystarczająco duża, aby można było pominąć jego fluktuacje. Ten tryb opisu nie jest specyficzny dla ciał stałych, ale jest również bardzo odpowiedni dla płynów .
Zakładając ośrodki ciągłe, można opisać ciało stałe (lub także układ materiałowy, taki jak płyn) nie przez dyskretny zbiór punktów materialnych, ale przez objętościowy rozkład masy , zdefiniowany w dowolnym punkcie M domeny przestrzeni. V zajęty przez ciało stałe.
Dokładniej można zdefiniować gęstość , biorąc pod uwagę element objętości wyśrodkowany w punkcie M masy , przez granicę, którą należy rozumieć „z zachowaniem ważnej wartości przed wymiarami atomowymi”. Podobną definicję stosuje się do określenia gęstości ładunku elektrycznego lub gęstości prądu .
Uwaga: mówi się, że ciało stałe jest jednorodne, jeśli jest stałe dla dowolnego punktu M ciała stałego (lub układu).
Większość elementów kinetycznych układów materiałowych (a tym samym ciał stałych) można zdefiniować zastępując sumowanie wskaźników punktów materialnych modelu dyskretnego przez całkowanie objętości na polu V , na przykład:
W przypadku bryły model ciągły jest najczęściej uważany za trudniejszy w użyciu, dlatego często preferowany jest model dyskretny, szczególnie w dowodach różnych twierdzeń. Tym niemniej umożliwia jak najściślejsze zdefiniowanie pojęć symetrii mechanicznej oraz przeprowadzenie obliczeń momentów bezwładności , które są trudne do wykonania przez sumowanie.
Z definicji mechanicznej bryły jasno wynika, że ma ona swój własny kształt geometryczny - jest ponadto elementarną makroskopową charakterystyką ciała stałego . Często brane są pod uwagę bryły o prostych kształtach geometrycznych (np. Kula, sześcian, cylinder…) przedstawiające elementy o symetrii geometrycznej (np. Środek, oś lub płaszczyzna symetrii ). Jednak rozkład mas w takiej bryle niekoniecznie ma te same elementy symetrii .
Mówimy o symetrii mechanicznej związanej z symetrią geometryczną, jeśli dla dowolnej pary punktów (M, M ') bryły homologicznej w symetrii geometrycznej mamy ρ (M) = ρ (M') . Istnienie bryły symetrii mechanicznych znacznie upraszcza wyznaczanie położenia środka bezwładności G , głównych osi bezwładności, obliczanie momentów bezwładności .
Ogólne badanie ruchu bryły jest w ogólnym przypadku złożone, chociaż stan sztywności modelu znacznie upraszcza problem. faktycznie, zamiast nieskończoności (lub bardzo dużej liczby) stopni swobody, bryła ma tylko 6 stopni swobody :
Warto rozważyć kilka specjalnych przypadków.
Dla dowolnych dwóch punktów M i P bryły. Zgodnie z hipotezą mamy PM = cte, czyli:
,a więc :
.Chodzi więc o pole równoogniskowe , czyli torsor . W rezultacie:
(1),gdzie jest wektor obracanie substancji stałej w badaniu ramy z odniesienia (R) (lub barycentrycznej ramki odniesienia (R * ) związane, ponieważ oba są w tłumaczeniu). Wektor ten ma dla wartości chwilową prędkość kątową ciała stałego, dla kierunku chwilową oś obrotu ciała stałego.
Relację tę można zapisać, wprowadzając środek bezwładności G ciała stałego (mylony ze środkiem masy C ): rzeczywiście jest oczywiste, że dla dowolnego punktu M ciała, że GM = cte, zatem wzór (1) ma zastosowanie a więc : co pozwala pokazać, że ruch nieokreślonego punktu M bryły rozbija się na ruch „translacyjny” i kolejny na „ prawidłowy obrót ” .
Z definicji bryła (S) jest w ruchu postępowym w układzie odniesienia (R), jeśli podczas ruchu odcinek linii łączący dowolne dwa punkty A i B z (S) zachowuje stały kierunek w przestrzeni w czasie. Można również powiedzieć, że podczas ruchu translacyjnego bryły w (R) dowolny odcinek łączący dowolne dwa punkty A i B z (S) porusza się równolegle do siebie. Ten typ ruchu, bardzo prosty, odpowiada idei ruchu bryły „en bloc”. Często występuje w życiu codziennym, na przykład:
Te dwa przykłady pokazują, że pojęcia ruchu postępowego bryły nie należy mylić z pojęciem ruchu prostoliniowego.
Pole prędkości i opis ruchu ciała stałego w translacjiWynika to z definicji, że bryła w ruchu translacyjnym w układzie odniesienia (R) jest pozbawiona właściwej rotacji, a zatem: a pole prędkości bryły w ruchu jest bardzo proste: dla dowolnego punktu M bryły ( S) .
W konsekwencji, w przypadku ciała stałego w ruchu translacyjnym, ruch ciała stałego można opisać ruchem jego środka bezwładności G, przy czym wszystkie inne punkty M ciała stałego mają tę samą trajektorię z wyjątkiem jednego przemieszczenia. Elementy kinetyczne związane z bryłą w translacji są również bardzo prostymi wyrażeniami, ponieważ w rzeczywistości mamy odpowiednio dla energii i momentu pędu bryły w translacji (używamy twierdzeń Königa , ważnych dla dowolnego układu materialnego):
Zatem z dynamicznego punktu widzenia badanie ruchu ciała stałego w ruchu translacyjnym zostanie zredukowane do punktu materialnego G, na który ma wpływ masa całkowita M ciała stałego: wynik ten nie jest zaskakujący, o ile podczas ruchu postępowego trzy stopnie swobody obrotu właściwej bryły są niejako „zamrożone”.
Sytuacja ta odpowiada sytuacji, gdy w odniesieniu do układu odniesienia (R) istnieje stała linia w (R) oznaczona tak, że w dowolnym momencie t różne punkty M bryły opisują ruch kołowy o tej samej prędkości kątowej . prostopadła do płaszczyzny zawierającej M . Ogólnie uwaga, ta prędkość kątowa nie jest stała, chyba że obrót jest równomierny.
Linia nazywana jest osią obrotu bryły, niekoniecznie przechodzi przez bryłę. Jeżeli jest to wektor jednostkowy osi zorientowany zgodnie z regułą prawej ręki , to wektor obrotu bryły ma ustalony kierunek podczas ruchu i jest zapisany , jako znak wskazujący kierunek obrotu, zgodnie z regułą prawa ręka .
Opis ruchu bryły w ruchu obrotowym wokół stałej osi jest prosty: rzeczywiście, dzięki sztywności bryły, można w dowolnym momencie zlokalizować położenie bryły za pomocą pojedynczej współrzędnej kątowej, podając kąt między linią odcinka połączenie danego punktu bryły i jej rzutu na oś, położonego względem wybranego kierunku początku, z prędkością kątową bryły. Ruch jest zatem z jednym stopniem swobody .
Pole prędkości ciała stałego obracającego się wokół ustalonej osiPonieważ dowolny punkt P osi jest ustalony w (R) , pole prędkości bryły (S) w ruchu obrotowym w porównaniu do jest po prostu zapisane:
,będący dowolnym punktem (S) . O ile jest współliniowe z , to pole prędkości nie zależy od wyboru punktu P na osi, ponieważ wtedy rozważając inny punkt mamy dla dowolnego punktu ciała stałego (S) :
,od tego czasu . Jeśli weźmiemy pod uwagę rzut na oś punktu bryły, możemy wówczas wprowadzić odległość między punktem a osią , a ponieważ mamy ruch kołowy w płaszczyźnie prostopadłej do osi zawierającej te dwa punkty, wynika to z: wykorzystując lokalną podstawę następujące wyrażenie pola prędkości obracającej się bryły: dla dowolnego punktu bryły (S) .
W konsekwencji energia kinetyczna ciała stałego (S) w porównaniu z (R) jest zapisana:
,znamienny tym, że ilość jest moment bezwładności ciała stałego w stosunku do osi obrotu : .
Energia kinetyczna obrotu wokół stałej osi jest zatem proporcjonalna do kwadratu prędkości kątowej , przy czym moment bezwładności odzwierciedla rozkład mas ciała stałego wokół osi .
W ten sam sposób jeden dla momentu kątowego w porównaniu z nieokreślonym punktem O osi:
,moment pędu ciała stałego obracającego się wokół stałej osi jest zatem współliniowy z jego wektorem obrotu.
Najbardziej ogólny ruch ciała stałego względem układu odniesienia Galileusza (R) można podzielić na ruch środka bezwładności G tego ciała stałego względem (R) i ruch wokół chwilowej osi obrotu, z którym związany jest chwilowy wektor rotacji , w układzie odniesienia związanym ze środkiem bezwładności i w ruchu translacyjnym w stosunku do odniesienia badania (R) . Ten szczególny układ odniesienia jest barycentrycznym układem odniesienia bryły, oznaczonym (R * ) .
W tym przypadku można wykazać, korzystając z definicji elementów kinetycznych ciała stałego oraz właściwości związanej z polem prędkości (względem środka bezwładności), że zapisuje się energię kinetyczną i moment pędu ciała stałego :
, ,gdzie jest tensor bezwładności ciała stałego i wypadkowa przyłożonych sił. Energia fizyczna i moment pędu pojawiają się jako suma dwóch terminów:
Te wyniki są w rzeczywistości ilustracją twierdzeń Königa dotyczących energii i momentu pędu, które są ważne dla każdego systemu materiałowego, odkształcalnego lub nie.