Środek bezwładności
Centrum bezwładności obiektu lub środka masy , jest to punkt w przestrzeni, w której stosowane są efekty bezwładności, to znaczy wektor zmienności z rozpędu . Jeżeli masa układu jest stała, co zakładamy dla uproszczenia później, a następnie , będąc przyspieszenie . Jest to również punkt, w którym stosuje się wektorową siłę bezwładności wynikającą z przyspieszenia treningu w przypadku układu odniesienia innego niż Galileusz.
rep→ret{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} {\ vec {p}}} {\ mathrm {d} t}}}
rep→ret=mw→{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} {\ vec {p}}} {\ mathrm {d} t}} = m {\ vec {a}}}
w→{\ displaystyle {\ vec {a}}}![{\ vec a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/546e6615827e17295718741fd0b86f639a947f16)
Jeśli chcemy obrócić obiekt wokół osi o zadanym kierunku, to osią, dla której należy zapewnić najmniejszy wysiłek, jest oś przechodząca przez środek bezwładności. Jeśli oś obrotu nie przechodzi przez środek bezwładności, generuje to wibracje w układzie; jest „ niezrównoważony ”.
W przypadku, gdy możemy rozpatrywać pole o równomiernej grawitacji , środek bezwładności jest mylony ze środkiem ciężkości . Oznaczamy to przez G.
sol→{\ displaystyle {\ vec {g}}}![{\ vec g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aad928c73fda5199478a151663f0ce3a57a8027)
Historyczny
Znaczenie koncepcji
Przechylanie obiektu poddanego przyspieszeniu
Rozważmy pojazd wyposażony w zawieszenie - motocykl, samochód, autobus… - który hamuje. Widać, że przód pojazdu pogrąża się w wodzie. I odwrotnie, nawet jeśli jest mniej widoczny, gdy pojazd przyspiesza liniowo, przód unosi się, co na przykład pozwala jednośladom na wykonanie tylnych kół .
Na zakręcie pojazdy czterokołowe odchylają się na zewnątrz z zakrętu; jednoślady muszą przechylać się do wewnątrz, aby uniknąć upadku.
Jeśli obiekt zostanie umieszczony na podłodze pojazdu, każde przyspieszenie w szerokim znaczeniu - zwiększanie lub zmniejszanie prędkości, zmiana kierunku - może spowodować jego upadek.
Aby opisać te efekty w ruchu obrotowym, konieczne jest zdefiniowanie punktu zastosowania efektów bezwładności. W statyce analitycznej podstawowa zasada dynamiki rotacji jest wyrażana ogólnie w porównaniu ze środkiem masy (ponieważ zazwyczaj mamy moment bezwładności w porównaniu z G), ten efekt bezwładności jest następnie maskowany, ponieważ jego moment względem tego punkt wynosi zero. Tak nie jest, jeśli rozważymy moment w odniesieniu do innego punktu lub jeśli chcemy zastosować metody rozdzielczości graficznej.
Ponadto w przypadku badania statycznego lub dynamicznego każdą siłę objętościową, która jest wywierana w jednolity sposób, można modelować za pomocą wektora siły działającego na środek bezwładności. Tak jest na przykład w przypadku obiektu wykonanego z materiału ferromagnetycznego w jednolitym polu magnetycznym .
Obrót wokół stałej osi
Rozważmy dysk, który chcemy obrócić wokół osi Δ prostopadłej do jego powierzchni, ustalonej w układzie odniesienia Galileusza. Aby wytworzyć dane przyspieszenie kątowe α, należy zapewnić mniejszą siłę, jeśli oś Δ przechodzi przez środek bezwładności (rysunek po lewej), niż w przypadku mimośrodu (rysunek po prawej). Skutkuje to twierdzeniem Huygensa do obliczania momentu bezwładności .
Z drugiej strony, podczas obrotu, jeśli środek bezwładności nie znajduje się na osi, oznacza to, że oś musi wywierać siłę na tarczę, aby wytworzyć przyspieszenie dośrodkowe centralne . Ta siła obracająca się wraz z przedmiotem wytwarza wibracje. Drgania te mogą powstać dobrowolnie, np. Dla wibratorów , lub też być mimowolne, w którym to przypadku są szkodliwe: powodują hałas, przedwczesne zużycie, poluzowanie elementów śrubowych, zjawisko zmęczenia, które może doprowadzić do zerwania osi , ...
W przypadku wirującego obiektu znajomość położenia środka bezwładności jest zatem niezbędna do określenia idealnej osi obrotu, w szczególności przy wysokich częstotliwościach obrotu.
Wyznaczenie położenia środka bezwładności
Dla układu n dyskretnych punktach materiału z ich masę (M i , m : i ) 1 ≤ i ≤ n , środek bezwładności jest środka ciężkości mas
Osol→=1m∑ja=1niemjaOM→ja{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OG}}} = {\ Frac {1} {m}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} {\ overrightarrow {\ mathrm {OM} }} _ {ja}}![\ overrightarrow {{\ mathrm {OG}}} = {\ frac {1} {m}} \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} m_ {i} \ overrightarrow {{\ mathrm {OM}} } _ {ja}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e01fd89649f62b0d6d8d43cb19de2033604fcb4d)
gdzie m = ∑ m i . Ma zatem wszystkie właściwości barycentrum o ściśle dodatnich współczynnikach wagowych, aw szczególności:
- środek masy dwóch punktów (M 1 , m 1 ) i (M 2 , m 2 ) leży w odcinku linii otwartej] M 1 M 2 [;
- niech trzy punkty materialne (M i , m i ) 1 ≤ i ≤ 3 środka ciężkości G; jeśli G 1, 2 jest środkiem masy (M 1 , m 1 ) i (M 2 , m 2 ), to G jest środkiem masy (G 1, 2 , m 1 + m 2 ) i ( M 3 , m 3 ).
W ortonormalnym układzie współrzędnych, we współrzędnych kartezjańskich, jeśli oznaczymy współrzędne punktów M i ( x i , y i , z i ) i G ( x G , y G , z G ), to otrzymamy
{xsol=∑mjaxjamysol=∑mjayjamzsol=∑mjazjam{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} i x _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ suma m_ {i} x_ {i}} {m}} \\ & y _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ sum m_ {i} y_ {i}} {m}} \\ & z _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ sum m_ {i} z_ { i}} {m.}} \\\ end {matrix}} \ right.}![\ left \ {{\ begin {matrix} & x _ {{\ mathrm {G}}} = {\ frac {\ sum m_ {i} x_ {i}} {m}} \\ & y _ {{\ mathrm {G}}} = {\ frac {\ sum m_ {i} y_ {i}} {m}} \\ & z _ {{\ mathrm {G}}} = {\ frac {\ sum m_ {i } z_ {i}} {m.}} \\\ end {matrix}} \ right.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe36a3b9a4e84fb96ab110fd57341f4a0766c9f4)
Dla ciągłego obiektu o gęstości, jednorodnej lub nie, ρ (M), mamy
Σ{\ displaystyle \ Sigma}![\ Sigma](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1f558f53cda207614abdf90162266c70bc5c1e)
{xsol=∫Σρ(M)xreVmysol=∫Σρ(M)yreVmzsol=∫Σρ(M)zreVm{\ Displaystyle \ lewo \ {{\ rozpocząć {macierz} i x _ {\ mathrm {G}} = {\ Frac {\ int _ {\ Sigma} \ rho (\ mathrm {M}) x \ mathrm {dV} } {m.}} \\ & y _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ int _ {\ Sigma} \ rho (\ mathrm {M}) y \ mathrm {dV}} {m.}} \ \ & z _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ int _ {\ Sigma} \ rho (\ mathrm {M}) z \ mathrm {dV}} {m.}} \\\ end {matrix} } \ dobrze.}![\ left \ {{\ begin {matrix} & x _ {{\ mathrm {G}}} = {\ frac {\ int _ {\ Sigma} \ rho ({\ mathrm {M}}) x {\ mathrm { dV}}} {m.}} \\ & y _ {{\ mathrm {G}}} = {\ frac {\ int _ {\ Sigma} \ rho ({\ mathrm {M}}) y {\ mathrm { dV}}} {m.}} \\ & z _ {{\ mathrm {G}}} = {\ frac {\ int _ {\ Sigma} \ rho ({\ mathrm {M}}) z {\ mathrm { dV}}} {m.}} \\\ end {matrix}} \ right.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa416d383a1e1ea74cbf2c134e131cb3c0203948)
z . Jeśli gęstość ρ jest jednorodna, to
m=∫Σρ(M)reV {\ Displaystyle m = \ int _ {\ Sigma} \ rho (\ mathrm {M}) \ mathrm {dV} ~}![m = \ int _ {\ Sigma} \ rho ({\ mathrm {M}}) {\ mathrm {dV}} ~](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0a6420c8efb3b2eda370a3fbf115580000cc43)
{xsol=∫ΣxreVVysol=∫ΣyreVVzsol=∫ΣzreVV{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} i x _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ int _ {\ Sigma} x \ mathrm {dV}} {\ mathrm {V}}} \\ & y _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ int _ {\ Sigma} y \ mathrm {dV}} {\ mathrm {V}}} \\ & z _ {\ mathrm {G} } = {\ frac {\ int _ {\ Sigma} z \ mathrm {dV}} {\ mathrm {V}}} \\\ end {matrix}} \ right.}![\ left \ {{\ begin {matrix} & x _ {{\ mathrm {G}}} = {\ frac {\ int _ {\ Sigma} x {\ mathrm {dV}}} {{\ mathrm {V} }}} \\ & y _ {{\ mathrm {G}}} = {\ frac {\ int _ {\ Sigma} y {\ mathrm {dV}}} {{\ mathrm {V}}}} \\ & z _ {{\ mathrm {G}}} = {\ frac {\ int _ {\ Sigma} z {\ mathrm {dV}}} {{\ mathrm {V}}}} \\\ end {matrix} } \ dobrze.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75b58a620ab3bceb434fd17ca27dfd2985c4ef6f)
z . Środek bezwładności jest zatem „środkiem geometrycznym”, to znaczy środkiem ciężkości, biorąc pod uwagę, że wszystkie punkty obiektu mają tę samą wagę ( środek izobarysy ).
V=∫ΣreV {\ Displaystyle \ mathrm {V} = \ int _ {\ Sigma} \ mathrm {dV} ~}![{\ mathrm {V}} = \ int _ {\ Sigma} {\ mathrm {dV}} ~](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5121d2264a8f0ddb3a0b1ee83f5d87ce7c6d2eb7)
Niektóre programy do rysowania wspomaganego komputerowo typu modeler 3D samodzielnie obliczają środek bezwładności rysowanego obiektu, zakładając jednorodną gęstość. Na przykład :
- w edycji SolidWorks 2008 położenie środka ciężkości, zwane „środkiem ciężkości”, jest pobierane z menu Outils > Propriétés de masse.
Metody wyznaczania w prostych przypadkach oraz metody graficzne i eksperymentalne opisano w artykule Środek ciężkości # Wyznaczanie środka ciężkości , ponieważ w większości przypadków środek bezwładności jest mylony ze środkiem ciężkości.
Właściwości dynamiczne
Niech będzie układem, który może być zbiorem dyskretnym lub ciągłym, nieodkształcalnym lub odkształcalnym. Trajektorię środka ciężkości G tego układu wyznacza się biorąc pod uwagę siły zewnętrzne działające na Σ, czyli siły zewnętrzne względem Σ, które są wywierane na każdy z elementów Σ. Siły między elementami systemu nie interweniują. Więc mamy
mw→sol=∑fa→mixt/Σ{\ Displaystyle m {\ vec {a}} _ {\ mathrm {G}} = \ suma {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext} / \ Sigma}}![m {\ vec {a}} _ {{\ mathrm {G}}} = \ sum {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {{{\ mathrm {ext}} / \ Sigma}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b29ad0a451e9d484fa8b643a36502dafb2b6c61a)
gdzie m jest całkowitą masą Σ.
Tak więc, na przykład, jeśli pocisk eksploduje w locie, a tarcie powietrza zostanie zaniedbane, to trajektoria środka ciężkości wszystkich odłamków podąża tą samą trajektorią, jak gdyby pocisk był nienaruszony.
Demonstracje
Przypadek dwóch punktów materialnych
Badanie punktu materialnego (G, m )
Umieszczamy się w układzie odniesienia Galileusza R g odniesienia . Rozważ dwa dyskretne punkty materiału (M 1 , m 1 ) i (M 2 , m 2 ). Na punkt M 1 działają siły, których wypadkową - sumę wektorów - zapisuje się ; w ten sam sposób wskaż wypadkową sił na M 2 . System Σ jest zbiorem dwóch punktów materialnych: Σ = {(M 1 , m 1 ); (M 2 , m 2 )}; środowisko tego systemu jest oznaczone Σ („ komplementarne do sigmy”).
(O,x→,y→,z→){\ Displaystyle (\ mathrm {O}, {\ vec {x}}, {\ vec {y}}, {\ vec {z}})}
fa→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1}}
fa→2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2}}![{\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d47a28961ffa47bcea580f6bf15e53c09054390)
Zastosujmy podstawową zasadę dynamiki do każdego punktu materialnego:
{m1w→1= fa→1m2w→2= fa→2{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {aligned} m_ {1} {\ vec {a}} _ {1} = \ & {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} \\ m_ { 2} {\ vec {a}} _ {2} = \ & {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2} \\\ end {aligned}} \ right.}![\ left \ {{\ begin {aligned} m_ {1} {\ vec {a}} _ {1} = \ & {\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {1} \\ m_ {2 } {\ vec {a}} _ {2} = \ & {\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {2} \\\ end {aligned}} \ right.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6252c7a27e19ada0a8c2010e08355fe6525133fc)
Przyspieszenie środka masy wynosi
w→sol=re2ret2Osol→=1mre2ret2(m1OM→1+m2OM→2)=1m(m1w→1+m2w→2){\ Displaystyle {\ vec {a}} _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} {\ overrightarrow { \ mathrm {OG}}} = {\ frac {1} {m.}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} (m_ {1} {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} _ {1} + m_ {2} {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} _ {2}) = {\ frac {1} {m}} (m_ { 1} {\ vec {a}} _ {1} + m_ {2} {\ vec {a}} _ {2})}![{\ vec {a}} _ {{\ mathrm {G}}} = {\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {2}} {{\ mathrm {d}} t ^ {2}}} \ overrightarrow {{\ mathrm {OG}}} = {\ frac {1} {m}} {\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {2}} {{\ mathrm {d}} t ^ {2} }} (m_ {1} \ overrightarrow {{\ mathrm {OM}}} _ {1} + m_ {2} \ overrightarrow {{\ mathrm {OM}}} _ {2}) = {\ frac {1} {m.}} (m_ {1} {\ vec {a}} _ {1} + m_ {2} {\ vec {a}} _ {2})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf11e8c4fb1fa0cc11664c0072c5b180f37a4153)
jest
mw→sol=m1w→1+m2w→2=fa→1+fa→2{\ Displaystyle m {\ vec {a}} _ {\ mathrm {G}} = m_ {1} {\ vec {a}} _ {1} + m_ {2} {\ vec {a}} _ {2 } = {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2}}![m {\ vec {a}} _ {{\ mathrm {G}}} = m_ {1} {\ vec {a}} _ {1} + m_ {2} {\ vec {a}} _ {2} = {\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {1} + {\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d33585a7b8dcfe38b20a8d33cb804d795dd2500)
.
Widać zatem, że środek masy zachowuje się jak materialny punkt masy m = m 1 + m 2, który poddałby się wszystkim siłom wywieranym na materialne punkty układu Σ. Środek bezwładności umożliwia zatem uproszczenie badania układu.
fa→1+fa→2{\ Displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2}}![{\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {1} + {\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7546b5dc91b2b38a974ec72345bc60818a9b189)
Wypadkową działań wywieranych na punkt materialny M 1 można podzielić na :
fa→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1}}
fa→1=fa→mixt/1+fa→2/1{\ Displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} = {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext / 1}} + {\ vec {\ mathrm {F} }} _ {2/1}}![{\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {1} = {\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{\ mathrm {ext / 1}}} + {\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{2/1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acd91c4d84a6079a896d579577875ab40a7d77d2)
-
fa→mixt/1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext / 1}}}
jest wynikiem działań wywieranych przez zewnętrzną stronę układu Σ na M 1 ; jest również odnotowane , lub ;fa→Σ¯/1{\ Displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {{\ bar {\ Sigma}} / 1}}}
fa→mixt→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext \ do 1}}}
fa→Σ¯→1{\ Displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {{\ bar {\ Sigma}} \ do 1}}}![{\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{\ mathrm {{{\ bar \ Sigma} \ do 1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b073181c703ad078798a6782faa6768c08e7c27)
-
fa→2/1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2/1}}
jest wynikiem działań M 2 na M 1 ; może to być przyciąganie grawitacyjne, elektrostatyczne, dotykowe (ciągnięcie przez kabel, bezpośrednie pchanie lub przez pręt,…); jest to również odnotowane .fa→2→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2 \ do 1}}![{\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{2 \ do 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/967351d20efa06ce1fec0a902f01f007b34e443c)
Podobnie my się rozkładamy . Zgodnie z zasadą wzajemnego działania (trzecie prawo Newtona) mamy
fa→2=fa→mixt/2+fa→1/2{\ Displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2} = {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext / 2}} + {\ vec {\ mathrm {F} }} _ {1/2}}![{\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {2} = {\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{\ mathrm {ext / 2}}} + {\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9877a9eb785b186322de6ef0feb4467a42fb8788)
fa→2/1=-fa→1/2{\ Displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2/1} = - {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1/2}}![{\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{2/1}} = - {\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de5f0445b4d7ed4f10b4a3526a56e12f4965f818)
.
Wynika, że
fa→1+fa→2=fa→mixt/1+fa→2/1+fa→mixt/2+fa→1/2=fa→mixt/1+fa→mixt/2{\ Displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2} = {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext / 1}} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2/1} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext / 2}} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1/2} = {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext / 1}} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ { \ mathrm {ext / 2}}}![{\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {1} + {\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {2} = {\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{\ mathrm {ext / 1}}} + {\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{2/1}} + {\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{ \ mathrm {ext / 2}}} + {\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{1/2}} = {\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{\ mathrm {ext / 1}}} + {\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{\ mathrm {ext / 2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89a70796f9ab68a67c0ad47a3cf12263dc3d624b)
.
Rezultat działań wywieranych na środek ciężkości Σ sprowadza się do działań zewnętrznych. Siły wewnętrzne systemu Σ, działania między M 1 i M 2 , „znikają z bilansu”
Możemy zatem uprościć badanie, badając punkt materialny (G, m ) jako substytut zbioru Σ = {(M 1 , m 1 ); (M 2 , m 2 )}. Oddziaływania mechaniczne wywierane na (G, m ) są działaniami zewnętrznymi wywieranymi na Σ, to znaczy działaniami
Σ na Σ.
Rozszerzenie przypadku n punktów odbywa się poprzez rozważenie matematycznych właściwości środka ciężkości.
Badanie punktów materialnych (M 1 , m 1 ) i (M 2 , m 2 ) w układzie odniesienia środka masy
Ustawmy się teraz w układzie odniesienia środka masy R 'odniesienia . Punkty materialne podlegają siłom bezwładności i . Wypadkową sił w punkcie materialnym M 1 zapisujemy:
(sol,x→,y→,z→){\ Displaystyle (\ mathrm {G}, {\ vec {x}}, {\ vec {y}}, {\ vec {z}})}
fa→ja1=-m1w→sol{\ Displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {I1}} = - m_ {1} {\ vec {a}} _ {\ mathrm {G}}}
fa→ja2=-m2w→sol{\ Displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {I2}} = - m_ {2} {\ vec {a}} _ {\ mathrm {G}}}![{\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{\ mathrm {I2}}} = - m_ {2} {\ vec {a}} _ {{\ mathrm {G}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c52b7ba97cd5f5773d30c4ea6c054023eda24e27)
fa→R1= fa→1+fa→ja1= fa→1-m1m(fa→1+fa→2)= 1m(mfa→1-m1fa→1-m1fa→2)= 1m(m2fa→1-m1fa→2){\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}} = \ & {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {I1}} \\ = \ & {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} - {\ frac {m_ {1}} {m}} ({\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2}) \\ = \ & {\ frac {1} {m}} (m {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} -m_ {1} {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} -m_ {1} {\ vec {\ mathrm {F}} } _ {2}) \\ = \ & {\ frac {1} {m}} (m_ {2} {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} -m_ {1} {\ vec { \ mathrm {F}}} _ {2}) \\\ end {aligned}}}![{\ begin {aligned} {\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{\ mathrm {R1}}} = \ & {\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {1} + {\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{\ mathrm {I1}}} \\ = \ & {\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {1} - {\ frac { m_ {1}} {m}} ({\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {1} + {\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {2}) \\ = \ & {\ frac {1} {m}} (m {\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {1} -m_ {1} {\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ { 1} -m_ {1} {\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {2}) \\ = \ & {\ frac {1} {m}} (m_ {2} {\ vec {{ \ mathrm {F}}}} _ {1} -m_ {1} {\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {2}) \\\ end {aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39bf9d58cfbd952e4e13c4c0ba834ca33174f6f6)
.
Dla punktu materialnego M 2 jest napisane:
fa→R2=1m(m1fa→2-m2fa→1){\ Displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R2}} = {\ Frac {1} {m.}} (m_ {1} {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2} -m_ {2} {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1})}![{\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{\ mathrm {R2}}} = {\ frac {1} {m.} (m_ {1} {\ vec {{\ mathrm {F}}) }} _ {2} -m_ {2} {\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {1})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb1fdfc89b81d66c9ab2dc7368b00fcff7b34d90)
.
Widzimy, że w tym odwołaniu a priori, a nie Galileusza, punkty materialne są poddane działaniu przeciwstawnych sił i wynikającej z nich takiej samej intensywności .
fa→R1=-fa→R2{\ Displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}} = - {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R2}}}![{\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{\ mathrm {R1}}} = - {\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{\ mathrm {R2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2116f54682d4648972a48835c642f590ac08ec64)
Zauważ, że tutaj,
fa→R1=fa→2/1+1m(m2fa→mixt/1-m1fa→mixt/2){\ Displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}} = {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2/1} + {\ frac {1} {m} } (m_ {2} {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext / 1}} -m_ {1} {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext / 2}})}![{\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{\ mathrm {R1}}} = {\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{2/1}} + {\ frac { 1} {m.}} (M_ {2} {\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{\ mathrm {ext / 1}}} - m_ {1} {\ vec {{\ mathrm {F }}}} _ {{\ mathrm {ext / 2}}})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5c8bbc39370ffd87a56ee3c22bbd580ad733cf8)
kiedy studiujemy „wewnątrz” systemu Σ, to normalne jest, że znajdujemy działania wewnątrz Σ.
Przypadek nieodkształcalnego ciała stałego
Jeśli punkty materialne są połączone nieodkształcalnym prętem o znikomej masie - odległość M 1 M 2 jest stała - to Σ stanowi coś, co nazywamy „nieodkształcalną bryłą”. W układzie odniesienia środka masy R 'bryła Σ wykonuje ruch obrotowy wokół chwilowej osi przechodzącej przez G, ponieważ odległości GM 1 i GM 2 są również stałe - orientacja osi może się zmieniać w czasie. Można więc zdefiniować chwilowy wektor prędkości kątowej, tak aby prędkość punktów materialnych w R 'była warta:
ω→{\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}![{\ vec \ omega}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4e066a68ceb355e3314fb2b97f1c0c421ca6074)
v′→1=M1sol→∧ω→{\ displaystyle {\ vec {v '}} _ {1} = {\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}} \ wedge {\ vec {\ omega}}}
v′→2=M2sol→∧ω→{\ displaystyle {\ vec {v '}} _ {2} = {\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {2} G}}} \ wedge {\ vec {\ omega}}}
a wektorowe chwilowe przyspieszenie kątowe, takie jak przyspieszenia zredukowane do ich składowej stycznej, punktów materialnych w R 'jest warte:
α→{\ displaystyle {\ vec {\ alpha}}}![{\ vec \ alpha}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74b66e3c1118363d17c9e55e1858c8e402b25c70)
w′→1= reretv′→1= reret(M1sol→∧ω→)= reret(M1sol→)∧ω→+M1sol→∧reretω→= -v′→1∧ω→+M1sol→∧α→= M1sol→∧α→{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ vec {a '}} _ {1} = \ & {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ vec {v'} } _ {1} \\ = \ & {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} ({\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}} \ wedge {\ vec {\ omega}}) \\ = \ & {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} ({\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}}) \ wedge { \ vec {\ omega}} + {\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}} \ wedge {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ vec {\ omega }} \\ = \ & - {\ vec {v '}} _ {1} \ wedge {\ vec {\ omega}} + {\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}} \ wedge {\ vec {\ alpha}} \\ = \ & {\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}} \ wedge {\ vec {\ alpha}} \ end {aligned}}}![{\ begin {aligned} {\ vec {a '}} _ {1} = \ & {\ frac {{\ mathrm {d}}} {{\ mathrm {d}} t}} {\ vec {v' }} _ {1} \\ = \ & {\ frac {{\ mathrm {d}}} {{\ mathrm {d}} t}} (\ overrightarrow {{\ mathrm {M_ {1} G}}} \ wedge {\ vec \ omega}) \\ = \ & {\ frac {{\ mathrm {d}}} {{\ mathrm {d}} t}} (\ overrightarrow {{\ mathrm {M_ {1} G }}}) \ wedge {\ vec \ omega} + \ overrightarrow {{\ mathrm {M_ {1} G}}} \ wedge {\ frac {{\ mathrm {d}}} {{\ mathrm {d}} t}} {\ vec \ omega} \\ = \ & - {\ vec {v '}} _ {1} \ wedge {\ vec \ omega} + \ overrightarrow {{\ mathrm {M_ {1} G}} } \ wedge {\ vec \ alpha} \\ = \ & \ overrightarrow {{\ mathrm {M_ {1} G}}} \ wedge {\ vec \ alpha} \ end {aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/920fd73e8c4984386c258be2a1ecfa0b22ddd3e1)
i to samo
w′→2=M2sol→∧α→{\ displaystyle {\ vec {a '}} _ {2} = {\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {2} G}}} \ wedge {\ vec {\ alpha}}}![{\ vec {a '}} _ {2} = \ overrightarrow {{\ mathrm {M_ {2} G}}} \ wedge {\ vec \ alpha}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a2b5c171322767e345576ad982c7fcf8fe5d79)
.
Moment siły względem G jest napisany:
fa→R1{\ Displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}}}![{\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{\ mathrm {R1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30800d3c438765daf953c333fa6c837089af0b1a)
M→sol(fa→R1)= solM→1∧fa→R1= m1solM→1∧w′→1= m1solM→1∧(M1sol→∧α→)= m1solM12αgrzech(M1sol→,α→)⋅u→= m1solM12grzech(M1M2→,α→)α⋅u→{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {G}} ({\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}}) = \ & {\ overrightarrow {\ mathrm {GM}}} _ {1} \ wedge {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}} \\ = \ & m_ {1} {\ overrightarrow {\ mathrm {GM}}} _ {1} \ wedge {\ vec {a '}} _ {1} \\ = \ & m_ {1} {\ overrightarrow {\ mathrm {GM}}} _ {1} \ wedge ({\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}} \ wedge {\ vec {\ alpha}}) \\ = \ & m_ {1} \ mathrm {GM} _ {1} ^ {2 } \ alpha \ sin ({\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}}, {\ vec {\ alpha}}) \ cdot {\ vec {u}} \\ = \ & m_ {1} \ mathrm {GM} _ {1} ^ {2} \ sin ({\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} M_ {2}}}}, {\ vec {\ alpha}}) \ alpha \ cdot {\ vec {u}} \ end {aligned}}}![{\ begin {aligned} {\ vec {{\ mathcal {M}}}} _ {{\ mathrm {G}}} ({\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{\ mathrm {R1 }}}) = \ & \ overrightarrow {{\ mathrm {GM}}} _ {1} \ wedge {\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{\ mathrm {R1}}} \\ = \ & m_ {1} \ overrightarrow {{\ mathrm {GM}}} _ {1} \ wedge {\ vec {a '}} _ {1} \\ = \ & m_ {1} \ overrightarrow {{\ mathrm {GM}}} _ {1} \ wedge (\ overrightarrow {{\ mathrm {M_ {1} G}}} \ wedge {\ vec \ alpha}) \\ = \ & m_ {1} {\ mathrm {GM }} _ {1} ^ {2} \ alpha \ sin (\ overrightarrow {{\ mathrm {M_ {1} G}}}, {\ vec \ alpha}) \ cdot {\ vec {u}} \\ = \ & m_ {1} {\ mathrm {GM}} _ {1} ^ {2} \ sin (\ overrightarrow {{\ mathrm {M_ {1} M_ {2}}}}, {\ vec \ alpha}) \ alpha \ cdot {\ vec {u}} \ end {aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f87c9d5cb31ac798b675c973ff37b50c6a0d6250)
gdzie jest jednolity wektor kierunkowy wektora momentu. Jeśli oznaczymy przez R 1 = GM 1 i R 2 = GM 2 , otrzymamy:
u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}![\ vec {u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89c41e9cf70c5e5b56e2128a136985a75f90ba43)
M→sol(fa→R1)=m1R12grzech(M1M2→,α→)α⋅u→{\ Displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {G}} ({\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}}) = m_ {1} \ mathrm {R} _ {1} ^ {2} \ sin ({\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} M_ {2}}}}, {\ vec {\ alpha}}) \ alpha \ cdot {\ vec { u}}}![{\ vec {{\ mathcal {M}}}} _ {{\ mathrm {G}}} ({\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{\ mathrm {R1}}}) = m_ {1} {\ mathrm {R}} _ {1} ^ {2} \ sin (\ overrightarrow {{\ mathrm {M_ {1} M_ {2}}}}, {\ vec \ alpha}) \ alpha \ cdot {\ vec {u}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/394b7855ec18d11f382bbb6fa65184f1fcfdd9a9)
i to samo
M→sol(fa→R2)=m2R22grzech(M1M2→,α→)α⋅u→{\ Displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {G}} ({\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R2}}) = m_ {2} \ mathrm {R} _ {2} ^ {2} \ sin ({\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} M_ {2}}}}, {\ vec {\ alpha}}) \ alpha \ cdot {\ vec { u}}}![{\ vec {{\ mathcal {M}}}} _ {{\ mathrm {G}}} ({\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{\ mathrm {R2}}}) = m_ {2} {\ mathrm {R}} _ {2} ^ {2} \ sin (\ overrightarrow {{\ mathrm {M_ {1} M_ {2}}}}, {\ vec \ alpha}) \ alpha \ cdot {\ vec {u}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11db43c94bafc3324494d843d1480b4eacee8c9d)
.
Moment bezwładności względem osi (Δ) nazywamy wielkościami
(sol,u→){\ displaystyle (\ mathrm {G}, {\ vec {u}})}![({\ mathrm {G}}, {\ vec u})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e106772127beab8b0c914acc503721e9116c99e)
J Δ1 = m 1 R 1 2 sin ((M 1 M 2 ), (Δ))
J Δ2 = m 2 R 2 2 sin ((M 1 M 2 ), (Δ))
i tak mamy
M→sol(fa→R1)=jotΔ1α⋅u→{\ Displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {G}} ({\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}}) = \ mathrm {J} _ {\ Delta 1} \ alpha \ cdot {\ vec {u}}}
M→sol(fa→R2)=jotΔ2α⋅u→{\ Displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {G}} ({\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R2}}) = \ mathrm {J} _ {\ Delta 2} \ alpha \ cdot {\ vec {u}}}
Te dwa wektory mają tę samą orientację, ponieważ i są współliniowe i odwrotne, i i są również współliniowe i odwrotne.
M1sol→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}}}
M2sol→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {2} G}}}}
fa→R1{\ Displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}}}
fa→R2{\ Displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R2}}}![{\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{\ mathrm {R2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94df327593b8b125c506937667260608bfa5949c)
W układzie odniesienia R 'bryła Σ jest poddawana całkowitemu momentowi obrotowemu
M→=M→sol(fa→R1)+M→sol(fa→R2)=(jotΔ1+jotΔ2)α⋅u→{\ Displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} = {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {G}} ({\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}}) + {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {G}} ({\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R2}}) = (\ mathrm {J} _ {\ Delta 1} + \ mathrm {J} _ {\ Delta 2}) \ alpha \ cdot {\ vec {u}}}![{\ vec {{\ mathcal {M}}}} = {\ vec {{\ mathcal {M}}}} _ {{\ mathrm {G}}} ({\ vec {{\ mathrm {F}}} } _ {{\ mathrm {R1}}}) + {\ vec {{\ mathcal {M}}}} _ {{\ mathrm {G}}} ({\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{\ mathrm {R2}}}) = ({\ mathrm {J}} _ {{\ Delta 1}} + {\ mathrm {J}} _ {{\ Delta 2}}) \ alpha \ cdot { \ vec {u}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06cc3223dcc8e3fbf21b8b4db4b8833c0d46d187)
.
Wniosek
Dynamiczne badanie układu Σ punktów materialnych (M 1 , m 1 ) i (M 2 , m 2 ) można podzielić na dwie części:
- badanie punktu materialnego (G, m ) w układzie odniesienia Galileusza R g , poddanego wypadkowej sił zewnętrznych od Σ;
- badanie punktów materialnych (M 1 , m 1 ) i (M 2 , m 2 ) w układzie odniesienia środka masy R ';
- w przypadku, gdy Σ jest nieodkształcalną bryłą, można zdefiniować moment bezwładności J Δ (w kg⋅m 2 ) w stosunku do osi chwilowego przyspieszenia kątowego Δ, która opisuje rozkład masy obiektu wokół osi, i która zapewnia rotację równania podobnego do podstawowej zasady dynamiki translacji:
M→=jotΔα→{\ Displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} = \ mathrm {J} _ {\ Delta} {\ vec {\ alpha}}}
.
Przykłady
Zilustrujmy uproszczenie wynikające ze środka bezwładności w dwóch szczególnych przypadkach.
Pierwszy przypadek dotyczy układu {Słońce, Ziemia, Księżyc} ( problem trzech ciał ) w heliocentrycznym układzie odniesienia: możemy rozpatrywać Ziemię i Księżyc jako dwa punkty materialne,
- Ziemia podlega przyciąganiu Słońca i Księżycowi ;fa→S/T{\ Displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {S / T}}}
fa→L/T{\ Displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {L / T}}}![{\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{\ mathrm {L / T}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea27beadf958468f1f2c3b36377a0f83ddfc10da)
- Księżyc podlega przyciąganiu Słońca i Ziemi .fa→S/L{\ Displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {S / L}}}
fa→T/L{\ Displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {T / L}}}![{\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{\ mathrm {T / L}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e328b8fe128975d0d17a346c822855317b88e22)
Aby uprościć badanie, rozważamy układ {Ziemia, Księżyc} tak, jakby był pojedynczym obiektem. Warto więc wypadkowa sił wywieranych na środek bezwładności układu {Ziemia, Księżyc} .
fa→S/T+fa→S/L{\ Displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {S / T}} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {S / L}}}![{\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{\ mathrm {S / T}}} + {\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{\ mathrm {S / L}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0341768d1dccfd9e2df9fe3f68f301c6da935381)
Drugi przypadek dotyczy dwóch piłek {1; 2} połączone sztywnym prętem o znikomej masie, w ziemskim układzie odniesienia.
- Piłka 1 jest poddawana swemu ciężarowi i uderzeniu drugiej piłki przekazanej przez sztangę ;P.→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {1}}
fa→2/1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2/1}}![{\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{2/1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/737d1dadda3bfa36d8e6b34fdf87dff353f9ba2a)
- piłka 2 jest poddawana swemu ciężarowi i działaniu drugiej piłki przekazanej przez sztangę .P.→2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {2}}
fa→1/2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1/2}}![{\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d09d151c3f61570490d18bd06a79227504203cb)
Aby uprościć badanie, rozważymy system {1; 2} tak, jakby to był pojedynczy obiekt. Wypadkowa działań wywieranych na środek ciężkości {1; 2} ogranicza się również do działań zewnętrznych
.
P.→1+P.→2{\ Displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {1} + {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {2}}![{\ vec {{\ mathrm {P}}}} _ {1} + {\ vec {{\ mathrm {P}}}} _ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/606e8a4b993dab17dcfadc5476475d3dd65ed4ec)
Przypadek nieodkształcalnego ciała stałego
Ciągła bryła Σ jest definiowana przez jej gęstość ρ (M), gdzie M jest punktem Σ. Rozważamy element nieskończenie małej objętości dV wokół M; stanowi punkt materialny (M, ρ (M) dV). Środek bezwładności Σ wyznacza się, biorąc matematyczny środek masy punktów (M, ρ (M) dV), który jest ciągłą wersją środka ciężkości:
Osol→=1m∫Σρ(M)OM→⋅reV{\ Displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OG}}} = {\ Frac {1} {m.}} \ int _ {\ Sigma} \ rho (\ mathrm {M}) {\ overrightarrow {\ mathrm {OM} }} \ cdot \ mathrm {dV}}![\ overrightarrow {{\ mathrm {OG}}} = {\ frac {1} {m.}} \ int _ {\ Sigma} \ rho ({\ mathrm {M}}) \ overrightarrow {{\ mathrm {OM}} } \ cdot {\ mathrm {dV}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84413f03d5275b393f83dabd98f7a73f7a8bd341)
z
m=∫Σρ(M)reV {\ Displaystyle m = \ int _ {\ Sigma} \ rho (\ mathrm {M}) \ mathrm {dV} ~}![m = \ int _ {\ Sigma} \ rho ({\ mathrm {M}}) {\ mathrm {dV}} ~](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0a6420c8efb3b2eda370a3fbf115580000cc43)
.
Podstawowa zasada translacji punktu materiału (q, m ) w galilejskim ramce odniesienia R g oznacza napisany
fa→mixt/Σ=mw→sol{\ Displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext} / \ Sigma} = m {\ vec {a}} _ {\ mathrm {G}}}![{\ vec {\ mathrm {F}}} _ {{{\ mathrm {ext}} / \ Sigma}} = m {\ vec {a}} _ {{\ mathrm {G}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/591a16720efa14c13c6fbd273757fdbee3d4eca7)
gdzie jest wypadkową sił zewnętrznych działających na Σ.
fa→mixt/Σ{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext} / \ Sigma}}![{\ vec {\ mathrm {F}}} _ {{{\ mathrm {zew.}} / \ Sigma}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3b3606cbdcd4a49faeae7d4e75d2bf2e6c90e37)
Zobacz też
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">