Równorzędność w fizyce
Équiprojectivité jest podstawową właściwością momentów . W fizyce ograniczamy się do pól wektorowych w przestrzeni afinicznej ℝ 3 , czyli przestrzeni rzeczywistej wyposażonej w ortonormalny układ współrzędnych .
Definicja
Pole równorzędne
Jeśli weźmiemy pod uwagę pole wektorów , czasami nazywane „momentami”, to z definicji pole wektorów momentów jest równoprojektywne, jeśli dla dowolnych dwóch punktów P i Q:
M→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {\ mathcal {M}}}}![{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {\ mathcal {M}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90c630c7c6722c560ec47853847e0ee8e8a11ee3)
M→(P.)⋅P.Q→=M→(Q)⋅P.Q→{\ Displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} (\ mathrm {P}) \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {PQ}}} = {\ vec {\ mathcal {M}}} (\ mathrm { Q}) \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {PQ}}}}![{\ Displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} (\ mathrm {P}) \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {PQ}}} = {\ vec {\ mathcal {M}}} (\ mathrm { Q}) \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {PQ}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a81d54bf01c8daab072dd543ea14f098b7d1caa3)
.
Wynikowy wektor
Jeśli pole jest równoprzedmiotowe, to istnieje wektor zwany wypadkową, taki jak:
M→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {\ mathcal {M}}}}
R→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {\ mathcal {R}}}}![{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {\ mathcal {R}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/267851f117d89871cf68ce358e6123d5d9c76d03)
M→(P.)=M→(Q)+P.Q→∧R→{\ Displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} (\ mathrm {P}) = {\ vec {\ mathcal {M}}} (\ mathrm {Q}) + {\ overrightarrow {\ mathrm {PQ} }} \ wedge {\ vec {\ mathcal {R}}}}![{\ Displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} (\ mathrm {P}) = {\ vec {\ mathcal {M}}} (\ mathrm {Q}) + {\ overrightarrow {\ mathrm {PQ} }} \ wedge {\ vec {\ mathcal {R}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/356f69d65d9d57da3b92186dd6d34f6ec433e85e)
.
Widzimy, że jest to rzeczywiście ortogonalne , dlatego termin ten znika podczas iloczynu skalarnego z .
P.Q→∧R→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ overrightarrow {\ mathrm {PQ}}} \ wedge {\ vec {\ mathcal {R}}}}
P.Q→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ overrightarrow {\ mathrm {PQ}}}}
P.Q→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ overrightarrow {\ mathrm {PQ}}}}![{\ displaystyle \ scriptstyle {\ overrightarrow {\ mathrm {PQ}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a15f9df1e17022cb681efdde54e568112ad2bd66)
Torsor wskazany jest przez wynikającej wektora i jego wektor pola , zwanego polem chwila wektorowych.
R→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {\ mathcal {R}}}}
M→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {\ mathcal {M}}}}![{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {\ mathcal {M}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90c630c7c6722c560ec47853847e0ee8e8a11ee3)
Tak więc, znając wynikowy wektor i wektor momentu w punkcie, jesteśmy w stanie określić wektor momentu w dowolnym punkcie. Jest to używane w mechanice.
Kinowy
Pole prędkości
Rozważmy wektory prędkości punktów pola ciała stałego . Jeśli ciało stałe jest nieodkształcalne, punkty nie oddalają się ani nie zbliżają. Tak więc, jeśli weźmiemy pod uwagę dwa punkty O i M, odcinek [OM] zachowuje tę samą długość:
v→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {czas}}}![\ scriptstyle {\ vec {czas}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a22ea722fa1095eb63f41c95385e74b4eae216b9)
reretOM→2=0=2.OM→.reretOM→=2.OM→.(reMret→-reOret→){\ displaystyle {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} {\ overrightarrow {OM}} ^ {2} = 0 = 2. {\ overrightarrow {OM}}. {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} {\ overrightarrow {OM}} = 2. {\ overrightarrow {OM}}. \ left ({\ overrightarrow {\ mathrm {d} M \ over \ mathrm {d} t}} - { \ overrightarrow {\ mathrm {d} O \ over \ mathrm {d} t}} \ right)}![{\ displaystyle {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} {\ overrightarrow {OM}} ^ {2} = 0 = 2. {\ overrightarrow {OM}}. {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} {\ overrightarrow {OM}} = 2. {\ overrightarrow {OM}}. \ left ({\ overrightarrow {\ mathrm {d} M \ over \ mathrm {d} t}} - { \ overrightarrow {\ mathrm {d} O \ over \ mathrm {d} t}} \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f12bec95d67b9035d0abf114d2e6f712e06e39e4)
Wynika z tego, że rzuty na de i de są identyczne, albo zgodnie z definicją iloczynu skalarnego :
OM→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ overrightarrow {OM}}}
v→(O){\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {v}} (\ mathrm {O})}
v→(M){\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {czas}} (\ mathrm {M})}![{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {czas}} (\ mathrm {M})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24186c5215151c40d7375f2eedc6f8963aae5c4a)
v→(O)⋅OM→=v→(M)⋅OM→{\ Displaystyle {\ vec {v}} (\ mathrm {O}) \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} = {\ vec {v}} (\ mathrm {M}) \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}}![{\ Displaystyle {\ vec {v}} (\ mathrm {O}) \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} = {\ vec {v}} (\ mathrm {M}) \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/252b403d763345f1b42e5b3b7214f58c3a70e17e)
.
Pole wektorów prędkości jest zatem równoprojektywne.
Wypadkowa pola prędkości
W przypadku pola wektorów prędkości wypadkową jest prędkość wektora obrotu . Mamy wtedy
V→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {V}}}}
Ω→{\ displaystyle {\ vec {\ Omega}}}![{\ vec {\ Omega}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/367f42c8ae5d9ce4fb6020c7f0820dea7bedafb6)
V→(O)=V→(M)+OM→∧Ω→{\ Displaystyle {\ vec {\ mathrm {V}}} (\ mathrm {O}) = {\ vec {\ mathrm {V}}} (\ mathrm {M}) + {\ overrightarrow {\ mathrm {OM} }} \ wedge {\ vec {\ Omega}}}![{\ Displaystyle {\ vec {\ mathrm {V}}} (\ mathrm {O}) = {\ vec {\ mathrm {V}}} (\ mathrm {M}) + {\ overrightarrow {\ mathrm {OM} }} \ wedge {\ vec {\ Omega}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd3f7ae25de4681dbd52e58c6c3c07a0ae46aba2)
.
To uzasadnia sposób rozdzielczości grafiki z chwilowym środkiem obrotu (CIR).
Reprezentacja graficzna
Ta właściwość equiprojectivity zapewnia metodę rozdzielczości graficznej w kinematyce :
- jeżeli znany jest wektor prędkości punktu O obiektu, np. punkt styku z siłownikiem (koniec pręta podnośnika, ząb przekładni);v→(O){\ displaystyle {\ vec {v}} (\ mathrm {O})}
![{\ displaystyle {\ vec {v}} (\ mathrm {O})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35a2a599709220c1357ea7e48817538aa2d05a13)
- jeśli kierunek jest znany z prędkości wektorowej punktu M obiektu, na przykład punktu stykającego się z urządzeniem prowadzącym ( czop przegubu , połączenie ślizgowe );Δv→(M){\ Displaystyle \ Delta _ {{\ vec {v}} (\ mathrm {M})}}
![{\ Displaystyle \ Delta _ {{\ vec {v}} (\ mathrm {M})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7835346522a71c61301f61d02efd698cca6a623)
- więc
- określamy rzut on (OM),v→(O){\ displaystyle {\ vec {v}} (\ mathrm {O})}
![{\ displaystyle {\ vec {v}} (\ mathrm {O})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35a2a599709220c1357ea7e48817538aa2d05a13)
- zgłaszamy ten segment w M,
- wykonujemy odwrotną projekcję tego segmentu na , co daje .Δv→(M){\ Displaystyle \ Delta _ {{\ vec {v}} (\ mathrm {M})}}
v→(M){\ displaystyle {\ vec {czas}} (\ mathrm {M})}![{\ displaystyle {\ vec {czas}} (\ mathrm {M})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a967bff51cee5fb110c3229571d272e54c466617)
Metoda jest alternatywą dla metody chwilowego środka obrotu .
Zauważ, że analityczna metoda rozdzielczości jest zawsze możliwa do uzyskania wyników z taką dokładnością, jaką chcemy: rzutując równanie wektorowe na trzy osie X, Y i Z przestrzeni, otrzymujemy do rozwiązania trzy równania algebraiczne. Rzeczywiście, jeśli metoda graficzna jest interesująca z pedagogicznego punktu widzenia i daje dostatecznie dokładne wyniki dla większości konwencjonalnych zastosowań, wyniki te zależą od dokładności przeprowadzonego śledzenia. W szczególności zasadniczo nie ma wyboru rozpatrywanych punktów, a jeśli kierunki wektorów tworzą kąty, które są zbyt niskie, wyniki są naznaczone niedokładnością, która nie jest już nieistotna.
Statyczny
Chwili wektora w stosunku do punktu P siły którego punkt zaczepienia znajduje Q określa
fa→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}}}![{\ vec {\ mathrm {F}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a849de3f893aa36aa17dcd2819533d7a71dbfea4)
M→P.(fa→)=P.Q→∧fa→{\ Displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {P}} ({\ vec {\ mathrm {F}}}) = {\ overrightarrow {\ mathrm {PQ}}} \ wedge { \ vec {\ mathrm {F}}}}![{\ Displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {P}} ({\ vec {\ mathrm {F}}}) = {\ overrightarrow {\ mathrm {PQ}}} \ wedge { \ vec {\ mathrm {F}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db27525e67028c25c7db22c9a9f1e7a88275b276)
.
Widzimy, że pole wektorów momentu jest równoprzedmiotowym polem wektora wynikowego, którego wartość w Q wynosi . Ta właściwość służy do definiowania statycznego torsora .
fa→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}}}
0→{\ displaystyle {\ vec {0}}}![{\ vec {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e76498919cf387316fc79d04120c59a8d430ef36)
Zobacz też
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">