Przestrzeń zakazana

W analizie funkcjonalnej i na polach blisko matematyki , lufę przestrzenie są przestrzeń liniowo-topologiczna gdzie każdy przedawnieniu zestaw - czy beczka - miejsca jest sąsiedztwo z wektorem zerowym . Głównym powodem ich znaczenia jest to, że są to dokładnie te, do których ma zastosowanie twierdzenie Banacha-Steinhausa .

Historia

Nicolas Bourbaki wymyślił takie terminy jak „tonneau” lub „tonnelé” (z beczek po winie), a także „ przestrzeń bornologiczna ”.

Definicje

W przestrzeni topologicznej wektor $E$ na non dyskretnego o wartości pola K , która jest ℝ -algebra (na przykład na ℝ lub ℂ ), jednego połączenia lufy dowolnego wypukłego , wynosi , zamkniętym i pochłaniające część $T$ :

wypukły: ${\ displaystyle \ forall u, v \ in T, \ forall t \ in [0,1], tu + (1-t) v \ in T}$
zrównoważony: ${\ displaystyle \ forall u \ in T, \ forall \ lambda \ in K, | \ lambda | \ równoważnik 1 \ Rightarrow \ lambda u \ in T}$
zamknięte: dla topologii z $E.$
absorbent: ${\ displaystyle \ forall x \ in E, \ exist \ alpha \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}, \ forall \ lambda \ in K: | \ lambda | \ równoważnik \ alfa \ Rightarrow \ lambda x \ in T.}$

Przestrzeń $E$ mówi się barrel- walcowane jeśli lufa $E$ jest sąsiedztwo z $0$ .

Biorąc pod uwagę właściwości beczki w przestrzeni lokalnie wypukłej, następujące warunki są równoważne dla lokalnie wypukłej przestrzeni baryłkowej E (której dualność jest zaznaczona ): ${\ displaystyle E ^ {\ prime}}$

(a) E jest w lufie;(b) każda słabo ograniczona część jest jednakowo ciągła;

{\ displaystyle E ^ {\ prime}}

(c) każda półnormalna półciągła poniżej w E jest ciągła(d) dla dowolnej lokalnie wypukłej przestrzeni F każda po prostu ograniczona część jest równo ciągła.

{\ mathcal L} (E; F)

(Te równoważności są konsekwencją twierdzenia dwubiegunowego , a więc twierdzenia Hahna-Banacha ).

Przykłady i właściwości

Lokalnie wypukła przestrzeń E jest beczkowata wtedy i tylko wtedy, gdy jej początkowa topologia pokrywa się z silną topologią . ${\ Displaystyle \ beta (E, E ^ {\ prime})}$
Przestrzenie Frécheta , aw szczególności przestrzenie Banacha , są beczkowate, ale generalnie znormalizowane przestrzenie wektorowe nie są beczkowate.
Te przestrzenie Montel są lufę z definicji.
topologiczne przestrzenie wektorowe, które są przestrzeniami de Baire'a, są beczkowate.
Przestrzeń Mackey (w) oddzielania , w pełni się lufę .
Indukcyjna przestrzeń graniczna rodziny przestrzeni beczkowych jest beczkowata. W konsekwencji, ultrabornological przestrzeń jest lufą, aw szczególności bornological i pół-pełna przestrzeń jest zablokowane (ale nie są przedawnione przestrzenie, które nie są bornological).
Iloraz przestrzeni z kratkami jest beczkowaty (z drugiej strony, zamknięta podprzestrzeń z zakratowaną przestrzenią niekoniecznie jest zaryglowana).
Warunkiem koniecznym i wystarczającym dla bezpośredniej sumy przestrzeni lokalnie wypukłych przestrzeni do beczkowania jest to, że każda z nich jest. ${\ displaystyle E_ {i}}$ ${\ displaystyle E_ {i}}$
Iloczyn przestrzeni beczkowatych jest beczkowany.
Uzupełnieniem oddzielnej beczułki (lub nawet infratonned: patrz poniżej ) jest przestrzeń z kratką .
Niech będzie zbiorem otwartym ℝ n lub, bardziej ogólnie, rozmaitością różniczkową o skończonych wymiarach parakompaktowych . Przestrzenie notowane klasycznie (przestrzeń funkcji nieskończenie różniczkowalnych w ), jej silny dual (przestrzeń rozkładów ze zwartym wsparciem w ), (przestrzeń funkcji nieskończenie różniczkowalnych ze zwartym wsparciem w : patrz artykuł Dystrybucja ) i jej silny dual (przestrzeń dystrybucji w ) są beczkowatymi przestrzeniami (są nawet przestrzeniami Montela). Podobnie, przestrzeń Schwartza funkcji spadkowych na i jej silna dualność, a mianowicie przestrzeń dystrybucji umiarkowanych na , są przestrzeniami beczkowymi. $\Omega$ ${\ mathcal {E}} (\ Omega)$ $\Omega$ ${\ mathcal {E}} ^ {{\ prime}} (\ Omega)$ $\Omega$ ${\ mathcal {D}} (\ Omega)$ $\Omega$ ${{\ mathcal {D}}} ^ {{\ prime}} (\ Omega)$ $\Omega$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$
Pozwolić otwartym Zestaw ℝ n lub ogólniej rzeczywistym analitycznej o skończonym wymiarze parazwartej i K zwarty podzbiór . Przestrzeń nasion funkcji analitycznych w złożonym otoczeniu K i jej silny podwójny , izomorficzna z przestrzenią o hyperfunctions ze wsparciem objęte K , w tym lufę przestrzeniach. $\Omega$ $\Omega$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} \ lewo (K \ prawo)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} \ lewo (K \ prawo) ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} _ {K} \ lewo (\ Omega \ prawej)}$

Przestrzeń pół-lufowa, wolnostojąca i wyodrębniona

Definicje

Niech E będzie topologiczną przestrzenią wektorową. Zrównoważona część z E mówi bornivore jeśli wchłania ograniczone podzbiór o E .

Lokalnie wypukła przestrzeń E jest powiedziane infrabarrelled (czasami nazywane także quasi lufą ), jeśli którykolwiek z lufy E jest bornivore jest sąsiedztwo $0$ w E .

Mówi się, że lokalnie wypukła przestrzeń E jest częściowo beczkowata, jeśli spełniony jest następujący warunek: niech U będzie częścią E urodzonożerną, która jest przecięciem szeregu wypukłych, zrównoważonych i zamkniętych sąsiedztw $0$ ; Następnie U jest otoczeniem $0$ w E .

Mówi się, że lokalnie wypukła przestrzeń E jest rozróżniana, jeśli jej silny podwójny jest beczkowaty.

Nieruchomości

Cała przestrzeń z zakazem jest niepowiązana, a cała wolna przestrzeń jest częściowo zaryglowana. Bornological przestrzeń (w szczególności lokalnie metryzowalna wypukła) jest infratonnel. Iloraz przestrzeni infratonnel przez podprzestrzeń to infratonnel. Łatwo jest pokazać, że przestrzenie infratonalne to przestrzenie Mackeya . Na ogół nie jest to przypadek przestrzeni pół-lufowych, które mają stosunkowo niewiele właściwości, gdy nie są przestrzeniami (DF) .

Semi-complete przyłączone przestrzeń jest lufą.

Silne podwójne F lokalnie wypukłej metryzowalnej przestrzeni E jest częściowo beczkowate (i kompletne, jest nawet przestrzenią (DF) ), i jest zaryglowane , jeśli E jest kompletne i refleksyjne (w tym przypadku F jest również bornologiczne ).

Pół-zwrotny przestrzeń , jak również lokalnie i wypukłe metisable przestrzeń quasi normable (w szczególności znormalizowana przestrzeń wektorową ) odznaczają (ale nie odznaczają przestrzenie, które nie są pół-zwrotny). Jeśli E jest metalizowany, następujące warunki są równoważne: (a) wyróżnia się E , (b) F jest niepodłączone; (c) F jest związkiem bornologicznym; (d) F jest w lufie; (e) F jest ultrabornologią . Przestrzeń E , ścisła indukcyjna granica szeregu wyróżnionych przestrzeni metryzowalnych, jest wyróżnioną lokalnie wypukłą przestrzenią, a jej silna dualność jest bornologiczna i beczkowata. Istnieją wyróżnione przestrzenie Mackeya, które nie są infratonalne. Istnieją przestrzenie Frécheta, które nie są rozróżniane, dlatego silna dualność przestrzeni beczkowej niekoniecznie jest beczkowata.

Zobacz też

Uwagi i odniesienia

Uwagi

Bourbaki 1950
Bourbaki 2006 , s. IV.52, ćwicz. 1 a); Jarchów 1981 , s. 222.
Bourlès 2013

Bibliografia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w języku angielskim zatytułowanego „ Barreled space ” ( zobacz listę autorów ) .
Nicolas Bourbaki „ Na niektórych topologicznych przestrzeni wektorowych ,” Roczniki Institut Fouriera , , vol. 2,1950, s. 5-16 ( czytaj online )
N. Bourbaki , Topologiczne przestrzenie wektorowe: rozdziały 1 do 5 , Springer,2006, 368 str. ( ISBN 3-540-34497-7 )
(i) Henri Bourlès , „ na wpół lufę przestrzeni ” , arxiv.org , n O 1304.0360v5,2013( czytaj online )
Jean Dieudonné i Laurent Schwartz , „ Dwoistość w przestrzeniach (F) i (LF) ”, Annales de Institut Fourier , vol. 1,1949, s. 60-101 ( czytaj online )
(en) Alexandre Grothendieck , „ O przestrzeniach (F) i (DF) ” , Summa Brasiliensis Mathematicae , vol. 3 N O 6,1954, s. 57-123
(en) Hans Jarchow , Locally Convex Spaces , Stuttgart, Teubner,Dziewiętnaście osiemdziesiąt jeden, 548 str. ( ISBN 3-519-02224-9 )
(en) Gottfried Köthe , Topological Vector Spaces I , Springer Verlag,1969( czytaj online )
(en) François Treves , Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels , Dover Publications Inc.,2007565 str. ( ISBN 978-0-486-45352-1 i 0-486-45352-9 , czytaj online )