Przestrzeń pseudometryczna

W matematyce , o pseudometric przestrzeń jest zestaw wyposażony pseudometric . Jest to uogólnienie pojęcia przestrzeni metrycznej .

W przestrzeni wektorowej , tak jak norma indukuje odległość , półnorma wywołuje pseudometrię. Z tego powodu w analizie funkcjonalnej i pokrewnych dyscyplinach matematycznych termin przestrzeń semimetryczna jest używany jako synonim z przestrzenią pseudometryczną (podczas gdy „ przestrzeń semimetryczna ” ma inne znaczenie w topologii).

Definicja

Pseudometric na zestawie jest aplikacja $X$

{\ Displaystyle \ mathrm {d}: X \ razy X \ do \ mathbb {R} _ {+}}

takie, że za wszystko , ${\ Displaystyle x, y, z \ w X}$

${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ lewo (x, x \ prawej) = 0}$ ;
${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ lewo (x, y \ prawej) = \ mathrm {d} \ lewo (y, x \ prawej)}$ (symetria);
${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ lewo (x, z \ prawej) \ równoważnik \ mathrm {d} \ lewo (x, y \ prawo) + \ mathrm {d} \ lewo (r, z \ prawej)}$ ( nierówność trójkątna ).

Innymi słowy, pseudometria to odchylenie o skończonej wartości.

Pseudometric przestrzeń to zestaw wyposażony w pseudometric jeden.

W przeciwieństwie do przestrzeni metrycznej, punkty przestrzeni pseudometrycznej niekoniecznie są dostrzegalne - to znaczy, można mieć różne punkty jako różne punkty . ${\ mathrm d} (x, y) = 0$ $x \ ne y$

Przykłady

Jeśli jest odchyleniem od zbioru , to jest włączone pseudometrycznie ; ${\ mathrm d}$ $X$ ${\ Displaystyle \ min (1 \ mathrm {d})}$ $X$
Jeśli jest to półnorma w przestrzeni wektorowej , to jest pseudometryczna . I odwrotnie, każda jednorodna translacyjna niezmiennicza pseudometria pochodzi z półnormy. Konkretnym przykładem takiej sytuacji jest przestrzeń wektorowa funkcji z wartościami rzeczywistymi : wybierając punkt , możemy zdefiniować pseudometryczny przez . $p$ $V$ ${\ mathrm d} \ left (x, y \ right) = p \ left (xy \ right)$ $V$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {X}}$ ${\ displaystyle f: X \ do \ mathbb {R}}$ $x_ {0} \ in X$ ${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ lewo (f, g \ prawo) = | f \ lewo (x_ {0} \ prawo) -g \ lewo (x_ {0} \ prawo) |}$

Topologia pseudometryczna związana z topologią pseudometryczną to ta indukowana przez zbiór otwartych piłek : ${\ mathrm d}$

{\ Displaystyle B_ {r} \ lewo (p \ prawej) = \ {x \ w X \ mid \ mathrm {d} \ lewo (p, x \ prawo) <r \}}

O przestrzeni topologicznej mówi się, że jest „pseudometrizowalna”, jeśli istnieje pseudometr, którego skojarzona topologia pokrywa się z topologią przestrzeni.

Uwaga: Przestrzeń jest metrizowalna, jeśli (i tylko wtedy) jest pseudometrizowalna i T 0 .

Identyfikacja metryczna

Iloraz przestrzeni pseudometrycznej przez pseudometryczną relację równoważności anulowania otrzymujemy przestrzeń metryczną . Bardziej szczegółowo, definiujemy

{\ Displaystyle x \ sim y \ iff \ mathrm {d} \ lewo (x, y \ prawej) = 0}

a dystans dalej uzyskujemy ustawiając: ${\ Displaystyle \ mathrm {d} ^ {*}}$ $X ^ {*} = X / \ sim ~$

{\ mathrm d} ^ {{*}} \ left (\ left [x \ right], \ left [y \ right] \ right) = {\ mathrm d} \ left (x, y \ right)

Topologia przestrzeni metrycznej jest ilorazem Topologia tego od . ${\ Displaystyle (X ^ {*}, \ mathrm {d} ^ {*})}$ ${\ Displaystyle (X \ mathrm {d})}$

Uwagi i odniesienia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w języku angielskim zatytułowanego „ Pseudometric space ” ( zobacz listę autorów ) .

(w) „ Topologia pseudometryczna ” na PlanetMath .

Bibliografia

(en) AV Arkhangelskii i LS Pontryagin , General Topology I , Springer ,1990, 202 str. ( ISBN 978-3-540-18178-1 )
(en) Eric Schechter (en) , Handbook of Analysis and Its Foundations , Academic Press ,1997, 883 pkt. ( ISBN 978-0-08-053299-8 , czytaj online )
Laurent Schwartz , Kurs analizy , vol. 2, Hermann ,Dziewiętnaście osiemdziesiąt jeden, 475, str. ( ISBN 978-2-7056-5765-9 )
(en) Lynn Arthur Steen i J. Arthur Seebach, Jr. , Counterexamples in Topology , Dover ,1995, 244 str. ( ISBN 978-0-486-68735-3 , czytaj online ) , str. 34