W fizyce , o stopień swobody (w skrócie dof lub DDL ) jest niezależnym parametrem w formalnym opisem tego stanu układu fizycznego , a może dokładniej z systemu dynamicznego . Termin parametr należy tu rozumieć w szerokim znaczeniu, jako element informacji, na ogół jako liczbę, utożsamianą z wielkością fizyczną . Co najważniejsze, ten parametr musi mieć swobodę ewolucji bez ograniczeń.
To bardzo ogólne pojęcie stopnia swobody jest używane w wielu dziedzinach fizyki ( mechanika , fizyka statystyczna , chemia , kwantowa teoria pola , ...), a także w czystej matematyce ( statystyka ). W tej sekcji podajemy kilka przykładów.
W inżynierii mechanicznej , stopnie swobody wskazują różne możliwości przemieszczania się w przestrzeni. Zapoznaj się z artykułem o stopniu swobody (budowa maszyn) . To użycie wyrażenia jest podobne do tego używanego w typologii drgań molekularnych . W ostatnim wymienionym schemacie (opis ruchów molekularnych) zidentyfikowano dwa rodzaje stopni swobody: zewnętrzne stopnie swobody , których liczba wynosi 6, odpowiadające ruchom cząsteczki w przestrzeni (translacje i obroty) oraz stopnie swoboda wewnętrzna , odpowiadająca odkształceniom cząsteczki w porównaniu z jej konformacją równowagową.
W trzech wymiarach istnieje 6 stopni swobody związanych z ruchem cząstki, 3 dla jej położenia i 3 dla jej pędu . W sumie jest zatem 6 stopni swobody. Innym sposobem uzasadnienia tego schematu jest rozważenie, że ruch cząsteczki zostanie opisany przez ruch dwóch mechanicznych cząstek reprezentujących jej dwa atomy, przy czym 6 stopni swobody jest dołączonych do każdej cząstki, jak powyżej. Po dalszych rozważaniach wydaje się, że można zdefiniować różne zestawy stopni swobody w celu zdefiniowania ruchu cząsteczki. W rzeczywistości stopnie swobody dla układu mechanicznego są zbiorem niezależnych osi w przestrzeni fazowej układu, co pozwala na jego całkowite wygenerowanie. W przypadku przestrzeni wielowymiarowej, takiej jak przestrzeń fazowa, istnieje więcej niż jeden możliwy zestaw osi. Ustalono, że wszystkie stopnie swobody cząsteczki wodoru nie biorą udziału w wyrażaniu jej energii . Na przykład stopnie związane z położeniem środka masy nie są brane pod uwagę.
W poniższej tabeli pomija się stopnie ze względu na ich niewielki wpływ na całkowitą energię, chyba że występują one w bardzo wysokich temperaturach lub energiach. Rotacja dwuatomowa jest pomijana ze względu na rotację wokół osi molekularnych. Rotacja jednoatomowa jest pomijana z tego samego powodu co dwuatomowa, ale ten efekt jest ważny w pozostałych dwóch kierunkach.
Monoatomowy | Liniowe cząsteczki zbudowane z atomów azotu | Nieliniowe cząsteczki zbudowane z atomów azotu | |
---|---|---|---|
Pozycja (x, y i z) | 3 | 3 | 3 |
Obrót (x, y i z) | 0 | 2 | 3 |
Wibracja | 0 | 3BA - 5 | 3BA - 6 |
Całkowity | 3 | 3N | 3N |
W idealnym modelu łańcucha potrzebne są dwa kąty , aby opisać orientację każdego monomeru .
W fizyce statystycznej , wykorzystując stopień swobody jest unikalny numer opisujący microstate systemu. Specyfikacja wszystkich mikropaństw systemu jest punktem w przestrzeni fazowej systemu.
Opis stanu systemu jako punktu w jego przestrzeni fazowej, choć matematycznie praktyczny, jest zasadniczo niedokładny. W mechanice kwantowej stopnie swobody ruchu są zastępowane (w ujęciu Schrödingera ) pojęciem funkcji falowej, a operatory odpowiadające innym stopniom swobody mają dyskretne widma . Przykładowo, wirowanie operator w elektrony lub fotonów ma tylko dwie wartości własnych . Ta nieciągłość staje się widoczna, gdy działanie ma rząd wielkości zbliżony do stałej Plancka i można rozróżnić poszczególne stopnie swobody.
(Zobacz także omówienie stopni swobody w artykule o mechanice kwantowej w reprezentacji Heisenberga ).
W kwantowej teorii polaZbiór stopni swobody układu jest niezależny, jeżeli energię związaną ze zbiorem można zapisać w postaci:
gdzie jest funkcją pojedynczej zmiennej .
Przykład: jeśli i są dwoma stopniami swobody i jest związaną z nimi energią:
Jeśli to zbiór niezależnych stopni swobody, a następnie, w stanie równowagi termodynamicznej , są statystycznie niezależne od siebie.
Dla i od 1 do N , wartość i- tego stopnia swobody rozkłada się zgodnie z prawem Boltzmanna . Jego funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest następująca:
,W tej sekcji i później wskaż średnią ilość, którą otaczają.
Energia wewnętrzna układu jest sumą średnich energii związanych z każdym ze stopni swobody:
. DemonstracjaBędziemy następnie postulować, że wymiany energii rozważanego układu odbywają się z zewnątrz, a liczba cząstek układu jest stała, czyli umieszczamy się w zbiorze kanonicznym . Przypomnijmy, że w fizyce statystycznej wynik zademonstrowany dla układu pozostaje prawdziwy dla tego układu przy granicy termodynamicznej dowolnego zestawu. W zbiorze kanonicznym, w równowadze termodynamicznej , stan układu jest rozłożony na mikropaństwa zgodnie z rozkładem Boltzmanna . Jeśli jest to temperatura układu i w stałą Boltzmanna , a następnie funkcja gęstości związane z każdym microstate jest następujący:
,Wyrażenie to zamienia się w produkt terminów zależnych od jednego stopnia swobody:
Istnienie takiego przekształcenia funkcji gęstości prawdopodobieństwa w iloczyn funkcji jednej zmiennej wystarczy samo w sobie do wykazania, że są one od siebie statystycznie niezależne.
Każda funkcja jest znormalizowane , wynika, że funkcja gęstości prawdopodobieństwa stopień swobody dla I od 1 do N .
Wreszcie energia wewnętrzna systemu to energia średnia. Energia stopnia swobody jest funkcją jedynej zmiennej . Ponieważ są one statystycznie niezależne od siebie, tak samo jest z energiami . Całkowitą energię wewnętrzną układu można wówczas zapisać jako:
.Stopień swobody jest kwadratowy, jeśli można zapisać powiązane warunki energetyczne:
,gdzie jest liniową kombinacją innych kwadratowych stopni swobody.
Na przykład, jeśli i są dwa stopnie swobody i związana z nimi energia:
W mechanice , na dynamikę systemu opartego na kwadratowe stopniami swobody jest kontrolowana przez zestaw równań liniowych różnicowych o stałych współczynnikach .
Kwadratowe i niezależne stopnie swobodysą kwadratowymi i niezależnymi stopniami swobody, jeśli energię związaną z mikrostanem układu, który opisują, można zapisać:
. Twierdzenie o ekwipartycjiW klasycznej fizyki statystycznej , przy równowadze termodynamicznej The wewnętrzny energia z układu N niezależnego oraz kwadratowej stopni swobody jest:
. DemonstracjaTutaj średnia energia związana ze stopniem swobody wynosi:
.Ponieważ stopnie swobody są niezależne, energia wewnętrzna układu jest równa sumie średniej energii związanej z każdym stopniem swobody, co demonstruje wynik.