Wszechświat Grothendiecka
W matematyce , o Grothendieck wszechświat jest zbiór U o następujących właściwościach:
- jeśli x należy do U i jeśli y należy do x , to y należy do U (mówimy, że U jest zbiorem przechodnim );
- jeśli x i y należą do U, to także { x , y } ;
- jeśli x należy do U , to zbiór P ( x ) części x również;
- jeżeli ( x I ) i ∈ I jest rodzina elementów U jeśli że należą do litery U , po czym związek ⋃ i ∈ I x I należy do U .
Alexandre Grothendieck wprowadził i wykorzystał ten pomysł, aby uniknąć właściwych klas w geometrii algebraicznej .
Te niezliczone wszechświaty Grothendieck zapewniają modele z teorii mnogości . W ZFC ich istnienia nie da się wykazać, ponieważ jest to równoznaczne z istnieniem niepoliczalnych (silnie) niedostępnych kardynałów .
Zestaw teoria Tarskiego-Grothendiecka (w) jest właściwe rozszerzenie z ZFC, w którym każdy zbiór należący do co najmniej jednego wszechświata Grothendiecka. Koncepcję wszechświata Grothendiecka można również zdefiniować w toposie .
Nieruchomości
Każde niepuste przecięcie wszechświatów jest wszechświatem.
Przecięcie V ω z niepustych światów jest policzalny zestaw z dowolnie dużych ograniczonych zestawach: w dziedzicznie ograniczonych zestawów (w) , zdefiniowane rekurencyjnie w rozszerzeniu z ∅ jak ∅ {∅} lub {{∅}, {{∅}} {∅, {∅}}}.
Jeśli U jest wszechświatem Grothendiecka, to:
- jakakolwiek część elementu U należy do U ;
- na produkty gotowe i skończone zespoły z elementami U należą do U ;
- jeżeli ( x I ) i ∈ I to rodzina elementów U jeśli że należący do litery U , wówczas produkt Π i ∈ I x I i odłączony związek ∐ i ∈ I x I należą do U ;
- jeśli x jest częścią U, której liczność jest ograniczona przez element U , to x należy do U ;
- kardynał | x | dowolnego elementu x z U jest ściśle mniejsze niż | U |.
Połącz się z niedostępnymi kardynałami
Mówi się, że nieskończony kardynał c jest (silnie) niedostępny, jeśli jest kardynałem granicznym (w silnym sensie: dla dowolnego kardynała κ < c , 2 κ < c ) i regularnym .
W ZFC następujące dwie nierozstrzygalne propozycje są równoważne:
(U) Cały zestaw należy do co najmniej jednego wszechświata Grothendiecka.
(C) Każdy kardynał jest ściśle oznaczony przez co najmniej jednego niedostępnego kardynała.
Demonstracja
- (U) ⇒ (C). Niech κ będzie kardynałem, U - wszechświatem, do którego należy, a c : = sup x ∈ U | x |. Tak ściśle zwiększona przez kardynałów c są dokładnie takie elementy kardynałów U . Wynika z tego, że κ < c i że c jest niedostępnym kardynałem.
- (C) ⇒ (U). Niech x będzie zbiorem, A 0 : = x i dla wszystkich n , A n +1 : = suma elementów A n , a następnie κ niedostępnym kardynałem, ściśle zwiększającym kardynała związku B z A n . Następnie definiujemy, przez rekursję transskończoną , B α dla dowolnego α <κ porządkowego , przez: B ∅ = B , B α + 1 = B α ∪ P ( B α ) i jeśli α jest graniczną liczbą porządkową , B α = suma trochę B λ dla λ <α i przez U oznaczamy sumę wszystkich tych B α . Następnie udowodnimy, przez indukcję pozaskończoną , że wszystkie te B α , a nawet wszystkie elementy U , mają wtedy kardynał <κ, że U jest wszechświatem.
Uwagi i odniesienia
(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w
języku angielskim zatytułowanego
„ Grothendieck universe ” ( zobacz listę autorów ) .
-
Nicolas Bourbaki , „Wszechświat” , w Michael Artin , Alexander Grothendieck i Jean-Louis Verdier , Seminarium algebraicznej geometrii Bois Marie - latach 1963-64 - Teoria toposu i Etale kohomologiami diagramów (SGA 4), lot. 1 , Springer-Verlag , pot. "Lecture Notes in matematyki" ( N O 269),1972( czytaj online ) , s. 185-217.
-
(w) Thomas Streicher (w) , „Wszechświaty w toposów” w z zestawów i typów topologii i analizy: W kierunku Foundations wykonalne konstruktywnej Matematyki , Clarendon Press ,2006( ISBN 9780198566519 , czytaj online ) , str. 78-90.
-
Zdefiniowane na podstawie zestawu kodowania par .
Zobacz też
Bibliografia
Pierre Gabriel , „ Des category abéliennes ”, Bulletin de la SMF , vol. 90,1962, s. 323-448 ( czytaj online )
Powiązane artykuły