Wszechświat (logika)
W matematyce , aw szczególności w teorii mnogości i logice matematycznej , wszechświat jest zbiorem (lub czasem właściwą klasą ) zawierającym jako elementy wszystkie przedmioty, które chce się rozpatrywać w danym kontekście.
Elementarna teoria zbiorów i prawdopodobieństw
W wielu elementarnych zastosowaniach teorii mnogości faktycznie umieszczamy się w ogólnym zbiorze U (czasami nazywanym wszechświatem odniesienia ), a jedynymi rozważanymi zbiorami są elementy i podzbiory U ; to właśnie ten punkt widzenia doprowadził Cantora do rozwinięcia swojej teorii wychodząc od U = R , zbioru liczb rzeczywistych. Pozwala to na uproszczenia (na przykład pojęcie dopełnienia zbioru można uczynić „absolutnym”, definiując domyślnie dopełnienie A jako zbiór x z U nienależącego do A ; podobnie, wszystko od czasu sumowania pustego rodzina zbiorów jest zbiorem pustym, można określić punkt przecięcia pustego rodziny jako U w całości) i nadaje się również do wszystkich zwykłych czynności matematyków: badania z topologii z R , na przykład, nie może być wykonane w U = R , ale to wystarczy, aby osiągnąć zmianę wszechświata, biorąc U w tym przypadku wszystkie elementy R . Ten punkt widzenia został usystematyzowany przez N. Bourbaki w jego opisie struktur matematycznych .
Ten punkt widzenia jest również przyjmowany w większości podstawowych modeli teorii prawdopodobieństwa : interesuje nas zbiór (zwany wszechświatem ), na którym definiowana jest miara , oraz wszystkie jej podzbiory (mierzalne), zwane zdarzeniami.
Aksjomatyczna teoria mnogości i teoria modeli
Z aksjomatycznego punktu widzenia można mówić o „wszechświecie” w dwóch różnych znaczeniach:
- z jednej strony możemy rozważyć (właściwą) klasę wszystkich zbiorów lub ograniczenie tej drugiej do zbiorów uznanych za interesujące. Jest tak na przykład, że jest wykonana na świat Von Neumanna V z zestawów zbiorczej hierarchii lub wszechświata L z konstruowalnych zestawów , określonej przez Goedla .
- Z drugiej strony możemy ograniczyć tę konstrukcję do „dostatecznie dużego” zestawu. Na przykład, jeśli α jest dostatecznie dużą liczbą porządkową , zbiór uzyskany w konstrukcji von Neumanna w praktyce będzie zawierał wszystkie obiekty, których może potrzebować „zwykły” matematyk. W tym sensie często mówimy w teorii o modelach wszechświata U, aby wyznaczyć zbiór będący modelem rozważanej teorii (najczęściej ZFC ), czyli takie jak jej elementy (i relacja przynależności między nimi) zweryfikuj wszystkie aksjomaty teorii. Jednak od Gödla wiemy, że istnienia takiego modelu nie można wykazać w ZFC. Wcześniejsza konstrukcja wymaga więc, na przykład, przyjęcia dla α liczby porządkowej tak dużej, że jej istnienia nie można udowodnić w ZFC. Mówi się, że taka liczba porządkowa jest niedostępna .
Teoria kategorii
Nie chcąc koniecznie wchodzić we wszystkie poprzednie szczegóły techniczne, niektóre dyscypliny, takie jak teoria kategorii , muszą być w stanie rozpatrywać jako całość klasę wszystkich badanych obiektów. Grothendieck zaproponował dodanie do ZFC nowego aksjomatu, aksjomatu wszechświatów , który postuluje, że każdy zbiór należy do wszechświata Grothendiecka , to znaczy do zbioru stabilnego dla zwykłych operacji określonych przez aksjomaty ZFC, unii i wszystkich Części. Ten aksjomat (który jest ściśle powiązany z pojęciem niedostępnej liczności ) pozwala następnie w praktyce konstruować małe kategorie (kategorie, których elementy, przedmioty i strzały, zbiory form) zawierające wszystkie przedmioty, których można potrzebować: jeśli U jest wszechświatem Grothendiecka, kategoria grup elementów U jest małą kategorią, mającą zasadniczo takie same właściwości jak kategoria wszystkich grup, która jest jej własną klasą.
Uwagi i odniesienia
(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w języku angielskim zatytułowanego „ Universe (mathematics) ” ( zobacz listę autorów ) .- N. Bourbaki, Elementy matematyki , Księga I, rozdz. 4, Springer Structures (2006); jego definicja prowadzi nas do przyjęcia jako wszechświata unii zbiorów uzyskanych przez produkt kartezjański i przez zbiór części już skonstruowanych zbiorów. Aby uzyskać więcej informacji, zobacz Indukcja strukturalna .
- Delahaye , Pour la Science , n o 397, listopad 2010 [ czytaj on-line ] .
- Jest to konsekwencja drugiego twierdzenia o niezupełności , ale prosty (aczkolwiek metamatematyczny) argument pokazuje, że przy założeniu spójności teorii istnieją takie modele i że istnieją nawet wszystkie liczebności, w tym policzalne: to jest Löwenheim- Twierdzenie Skolema .
- Tak jest również w przypadku klasy liczb surrealistycznych , chociaż w praktyce użytkownicy liczb surrealistycznych rzadko korzystają z tej możliwości, ponieważ generalnie działają one tylko w ramach ograniczeń dotyczących „stworzonych” liczb surrealnych, zanim ustalona liczba porządkowa jest wystarczająco duża; patrz John H. Conway , On Numbers and Games , str. 49 .