Limit porządkowy

W matematyce, a dokładniej w teorii mnogości , liczba porządkowa graniczna to niezerowa liczba porządkowa, która nie jest następną liczbą porządkową .

Definicja

Zgodnie z powyższą definicją porządkowa α jest granicą wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia jedno z następujących równoważnych zdań:

α ≠ 0 i ∀ β β + 1 ≠ α;
0 <α i ∀ β <α β + 1 <α;
α ≠ 0 i ∀ β <α ∃ γ β <γ <α;
α jest różna od zera i równa górnej granicy wszystkich liczb porządkowych, które są ściśle niższe od niego (zbiór porządkowych ściśle niższych niż następca porządkowy β +1 ma większy element , porządkowy β);
jako zbiór liczb porządkowych α nie jest pusty i nie ma większego elementu;
α można zapisać w postaci ω · γ przy γ> 0;
α jest punktem skupienia z grupy liczb porządkowych, obdarzonego topologii kolejności .

Niektóre podręczniki zawierają również 0 wśród liczb porządkowych limitu.

Przykłady

W przypadku dobrze uporządkowanej klasy liczb porządkowych istnieje ograniczenie porządkowe mniejsze niż wszystkie inne, zaznaczone ω. Ta liczba porządkowa ω jest również najmniejszą nieskończoną liczbą porządkową i górną granicą liczb naturalnych . Następna liczba porządkowa graniczna to ω + ω = ω · 2, po której następuje ω · n , dla wszystkich liczb naturalnych n . Od zjednoczenia wszystkich Ohm · n , otrzymujemy ω · ω = ω². Ten proces można powtórzyć w celu uzyskania:

\ omega ^ {3}, \ omega ^ {4}, \ ldots, \ omega ^ {\ omega}, \ omega ^ {{\ omega ^ {\ omega}}}, \ ldots, \ epsilon _ {0} = \ omega ^ {{\ omega ^ {{\ omega ^ {{~ \ cdot ^ {{~ \ cdot ^ {{~ \ cdot}}}}}}}}}}, \ ldots

Wszystkie te liczby porządkowe pozostają policzalne . Jednak nie istnieje rekurencyjnie wyliczalna metoda, aby konsekwentnie nazywać wszystkie liczby porządkowe mniejsze niż kościół - liczba porządkowa Kleene , która sama w sobie jest policzalna.

Pierwszy niezliczona liczba porządkowa jest ogólnie zauważyć ω 1 . Jest to również liczba porządkowa graniczna.

Kontynuując, możemy zdefiniować następujące graniczna liczba porządkowa, odpowiadające kardynałów :

\ omega _ {2}, \ omega _ {3}, \ ldots, \ omega _ {\ omega}, \ omega _ {{\ omega +1}}, \ ldots, \ omega _ {{\ omega _ {\ omega}}}, \ ldots

Ogólnie rzecz biorąc, otrzymujemy liczbę porządkową graniczną, rozważając sumę zbioru liczb porządkowych, która nie dopuszcza większego elementu.

Liczby porządkowe w postaci ω²α, dla α> 0, są granicami granic itp.

Uwagi i odniesienia

(w) Kenneth Kunen , Teoria zbiorów : wprowadzenie do niezależnych dowodów , Amsterdam / Nowy Jork, Północna Holandia,1980, 313 str. ( ISBN 978-0-444-85401-8 ).
(w) Thomas Jech , Teoria mnogości , Springer ( czytaj online ).
Formalnie kardynał ℵ α jest z definicji ω α . Jak każdy kardynał, jest to porządek porządkowy, który nie jest równoważny z żadnym ściśle podrzędnym porządkiem porządkowym.

Powiązane artykuły