Stark-Heegner Twierdzenie to twierdzenie z teorii liczb , co wskazuje precyzyjnie, wśród urojonych kwadratowych pól , które mają pierścień z czynnikowych całkowitymi . Rozwiązuje przypadek n = 1 problemu liczby klas Gaussa, który polega na określeniu, ile urojonych ciał kwadratowych ma liczbę klas równą n .
Niech ℚ będzie ciałem liczb wymiernych i niech d ≠ 1 będzie liczbą całkowitą bez czynnika kwadratowego (tj. Iloczynem lub przeciwieństwem iloczynu różnych liczb pierwszych ). Wtedy pole liczbowe ℚ ( √ d ) jest rozszerzeniem stopnia 2 ℚ, zwanym rozszerzeniem kwadratowym . Liczba klas ℚ ( √ d ) jest liczba grup równoważnych od ideału niezerowej pierścienia z całości tego ciała , gdzie dwie idee I i J są odpowiednikami wtedy i tylko wtedy, gdy nie są elementami Rysuje i b pierścienia, takie jak i = b J . Zatem pierścień liczb całkowitych ℚ ( √ d ) jest główny (lub znowu: silnia, co jest równoważne tutaj, ponieważ ten pierścień pochodzi z Dedekinda ) wtedy i tylko wtedy, gdy jego liczba klas jest równa 1. Twierdzenie Starka -Heegner może wtedy być określone w następujący sposób:
Twierdzenie - Jeśli d <0 , to liczba klas pierścienia liczb całkowitych ℚ ( √ d ) jest równa 1 wtedy i tylko wtedy, gdy
Wynik ten został po raz pierwszy przypuszczalny przez niemieckiego matematyka Gaussa i zademonstrowany przez Kurta Heegnera w 1952 roku, chociaż dowód Heegnera nie został zaakceptowany, dopóki Harold Stark nie przedstawił dowodu w 1967 roku i wykazał, że jest on w rzeczywistości równoważny z dowodem Heegnera.
Jeśli odwrotnie, d > 0, hipoteza Gaussa, zgodnie z którą istniałaby nieskończona liczba rzeczywistych pól kwadratowych, których liczba klas jest równa 1, nadal nie jest rozwiązana. Obliczone wyniki wskazują, że takich ciał jest bardzo dużo.
(en) Noam D. Elkies , „The Klein Quartic in Number Theory” , w: The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve , wyd. " MSRI publikacje" ( N O 35)1998( czytaj online ) , s. 51-101, co wyjaśnia nowy dowód Monsur A. Kenku (1985)