W matematyce , a dokładniej w Algebra , twierdzenie Abel jest czasami nazywany Abel Ruffini twierdzenie lub Ruffini twierdzenie oznacza, że dla każdej liczby całkowitej n większą niż lub równą 5, nie ma ogólny wzór ekspresji "rodnikami„z korzeni z dowolnego wielomianu o stopień n , to znaczy o wzorze wykorzystaniem wyłącznie współczynników, wartość 1, przy czym cztery operacje i ekstrakcji n -tego korzeni . Kontrastuje to z stopniami 2 , 3 i 4, dla których istnieją takie ogólne formuły, z których najbardziej znanym jest ten dla stopnia 2, który wyraża rozwiązania ax 2 + bx + c = 0 w postaci ( - b ± √ b 2 - 4 ac ) / 2 a .
Wynik ten został najpierw wyrażony przez Paolo Ruffiniego , a następnie rygorystycznie zademonstrowany przez Nielsa Henrika Abla . Późniejsze twierdzenie Évariste Galois podaje warunek konieczny i wystarczający, aby równanie wielomianowe było rozwiązywane przez rodniki. Ta bardziej precyzyjna wersja umożliwia przedstawienie równań stopnia 5 ze współczynnikami całkowitymi , których zespolone pierwiastki - istniejące zgodnie z twierdzeniem d'Alemberta-Gaussa - nie są wyrażone przez rodniki.
Zakłada się, że wszystkie pola rozważane w tym artykule są przemienne i mają zerową charakterystykę .
Twierdzenie Abla i twierdzenie d'Alemberta-Gaussa to dwa podstawowe twierdzenia teorii równań , to znaczy teorii, która zajmuje się równaniami wielomianowymi lub równoważnymi. Mówi się, że równanie jest wielomianem, jeśli ma postać P ( x ) = 0, gdzie P oznacza wielomian. Twierdzenie d'Alemberta-Gaussa wskazuje, że równanie wielomianowe ze złożonymi współczynnikami ma co najmniej jeden zespolony pierwiastek.
Metody numeryczne, takie jak metoda Newtona lub Laguerre'a, mają zastosowanie niezależnie od stopnia równania. Jeśli n , stopień wielomianu, jest mały, istnieją również tak zwane metody algebraiczne do rozwiązania równania. Tak więc, jeśli n jest równe 2 i jeśli P jest zapisane aX 2 + bX + c , rozwiązania są podane wzorem klasycznym ( - b ± √ b 2 - 4 ac ) / 2 a , gdzie b 2 - 4 ac jest dyskryminatorem wielomianu; mówimy, że √ b 2 - 4 ac jest rodnikiem . Podobne (ale bardziej skomplikowane) wzory istnieją dla wielomianów stopnia 3 lub 4, jak pokazują metody Cardana i Ferrariego .
Ale dla stopni ściśle większych niż 4 i pomimo kilku stuleci wysiłków nie znaleziono ogólnej formuły podobnej do tych dla stopni 2, 3 i 4. Twierdzenie Abla wyraża fakt, że taka formuła nie istnieje. Jedną z metod wyrażania pierwiastków jest jednak wykorzystanie rodziny funkcji większej niż rodzina n- tego pierwiastka , na przykład rodziny funkcji eliptycznych ; ale otrzymane w ten sposób wzory mają jedynie znaczenie teoretyczne; w praktyce dużo ciekawiej jest uzyskać przybliżone wartości np . metodą Newtona .
Wyrażenie użyte przez Abla w jego wspomnieniach z 1824 roku jest następujące:
Twierdzenie Abla - Niemożliwe jest rozwiązanie ogólnego równania piątego stopnia za pomocą rodników.
Abel dodaje, że „Z tego twierdzenia bezpośrednio wynika, że nie można rozwiązać za pomocą rodników ogólnych równań stopni większych od piątego. "
Évariste Galois jest autorem pełniejszej formy twierdzenia. Jego metoda jest taka, która jest powszechnie stosowana do dowodzenia twierdzenia. To sformułowanie przyjmuje nazwę twierdzenia Galois lub twierdzenia Abel-Galois , czasami nie podano nazwy. Jego sformułowanie jest bardziej ogólne, ponieważ dotyczy dowolnego pola K (przemiennego io zerowej charakterystyce, jak zapowiedziano we wstępie) i wskazuje, czy równanie algebraiczne jest rozwiązywane przez rodniki, czy nie.
Twierdzenie Galois - równanie wielomianowe ze współczynnikami w K jest rozwiązywane przez rodniki wtedy i tylko wtedy, gdy jego grupa Galois jest rozwiązalna .
Niech K ciało i L przedłużenie od K .
Wyrazem Galois ' twierdzenia powyżej używa pojęć z teorii . Pole rozszczepienie L w P oznacza najmniejszą pole zawierające K i wszystkie korzenie P . Jest to więc skończone rozszerzenie i normalne do K . Założenie, że K ma charakterystykę zerową, zapewnia między innymi, że jest doskonałe , to znaczy, że każdy nieredukowalny wielomian o współczynnikach w K ma pierwiastki proste . Dlatego też przedłużenie L z K jest również rozłączne . Podsumowując: L jest rozszerzeniem Galois skończony K .
Podstawową strukturę do badania takie przedłużenie jego grupa Galois : the grupa o automorfizmy ciała od L do mocowania każdego elementu K . Udowodnimy, że rząd grupy Galois o skończonym rozszerzeniu Galois jest równy stopniowi rozszerzenia (nie mylić, dla rozszerzenia L z K , ze stopniem wielomianu P ).
Głównym pojęciem twierdzenia jest grupa rozwiązywalna . Pierwszymi przykładami grup dających się rozwiązać to grupy abelowe . Następującymi przykładami są grupy G mające podgrupę abelową normalną G 1 jako grupę ilorazową G / G 1 lub abelową. W ogólnym przypadku:
O grupie G mówi się, że można ją rozwiązać, gdy istnieje skończona sekwencja G 0 , G 1 ,…, G k podgrup G, taka że:
gdzie G i dla wszystkich i między 0 a k - 1 jest normalną podgrupą G i + 1 taką, że grupa ilorazów G i + 1 / G i jest abelowa. Grupa I oznacza tutaj grupę trywialną .
Przegląd teorii równań, ze szczególnym uwzględnieniem twierdzenia Abla, znajduje się w artykule „ Teoria równań (historia nauki) ”.
Jeśli pierwszy systematyczne badanie równań algebraicznych sięga VIII th wieku , w The compendious książce na obliczenie wykończenia i bilansowania irańską matematyk arabski Al-Khwarizmi idea łącząc strukturę grupy równania zostaje tylko XVIII th century . Joseph-Louis Lagrange podkreśla związek między właściwościami grupy permutacji pierwiastków a możliwością rozwiązania równania sześciennego lub kwartycznego . Jeśli w tych pracach można dostrzec genezę użycia permutacji w tej dziedzinie, to z drugiej strony ani prawo kompozycji, ani zbiór permutacji nie są używane jako właściwa struktura. Jego podejście jest jednak wystarczające, aby poddać poważną wątpliwość istnienie wzoru wyrażającego pierwiastki dowolnego wielomianu stopnia n , jeśli n jest ściśle większe niż 4.
Paolo Ruffini jako pierwszy stwierdził, że równanie ogólne, a zwłaszcza równanie kwintyczne , nie pozwala na rozwiązanie. Ponownie przyjmuje podejście Lagrange'a, które pokazuje, że wszystkie dotychczas stosowane metody odnoszą się do poszczególnych przypadków o bardziej ogólnym podejściu. Ruffini pokazuje, że metoda Lagrange'a nie może dostarczyć, dla równania stopnia 5, wzoru równoważnego równaniu Cardana dla stopnia 3. Opublikował książkę na ten temat w 1799 roku.
Społeczność naukowa tamtych czasów nie uznała jego pracy. Wysłał swoją książkę do Lagrange w 1801 roku, ale nie otrzymał odpowiedzi. Oficjalna prezentacja dla Akademii Nauk nie kończy się już sukcesem. Matematycy Lagrange , Legendre i Lacroix są odpowiedzialni za ocenę ważności jego dowodu. Raport opisuje jego pracę jako nieistotną, jego demonstracja ma lukę, nic nie wskazuje na to, by nie istniały inne metody, inne niż te z Lagrange'a, a więc od wszystkich dotychczas odkrytych, a które pozwoliłyby na radykalne rozwiązanie. Nowa próba w angielskim Royal Society spotyka się z bardziej życzliwą odpowiedzią: jeśli taka praca nie wchodzi w zakres jego kompetencji, wyniki nie wydają się jednak zawierać błędów. Niewiele większy sukces odniosły dwie inne publikacje z 1803 i 1808 roku. Dla ówczesnych matematyków wynik jest albo fałszywy, albo anegdotyczny. Tylko Augustin Louis Cauchy rozumie głębię swojej pracy. Wysłał mu list w 1821 r., W którym wskazał zarówno ważność, jak i wagę rozpatrywanej kwestii. Cauchy uogólnia wynik na permutacjach u podstawy pracy Ruffiniego.
Po nieudanej próbie w 1821 roku norweski matematyk Niels Henrik Abel opublikował na własny koszt krótki, sześciostronicowy tekst. W przeciwieństwie do pracy Ruffiniego, dokument ten stanowi kompletny dowód twierdzenia. Niemniej jednak spotyka się z nieporozumieniem podobnym do tego z poprzednich tekstów. Nawet Carl Friedrich Gauss uważa ten temat za nieistotny. List Abla zostanie odnaleziony po śmierci Gaussa nieotwarty. W 1801 roku matematyk ten wyraził w swojej tezie, że poszukiwanie rozwiązania przez radykałów nie jest interesujące, wystarczyło nadać korzeniu dowolną nazwę. Prawdą jest, że jeśli chodzi o technikę numeryczną, o wiele łatwiej jest użyć metody takiej jak metoda Newtona, aby uzyskać przybliżoną wartość pierwiastka; uchwała przez radykalny nie ma już XIX th century ten sam interes miał w poprzednich wiekach do obliczeń numerycznych. A jeśli nie chodzi o uzyskanie przybliżenia liczbowego, równie dobrze możesz użyć litery do opisania pierwiastka. Nawet Cauchy, który przyjął Abla w 1826 r. , Nie raczy spojrzeć na jego dzieło.
W latach 1826-1828 powstały kolejne artykuły, w których wykazano niemożność rozstrzygnięcia sprawy ogólnej. Praca Abla ostatecznie przekonała społeczność naukową. W 1830 roku Cauchy odnalazł swój rękopis, a Abel uzyskał pośmiertnie Grand Prix z matematyki na Akademii Nauk.
Po pracy Abla brakuje tylko trzech elementów do ostatecznego wyrażenia twierdzenia: efektywnego podejścia, koniecznego i wystarczającego warunku rozwiązalności równania oraz dogłębnego zrozumienia mechanizmów, które ją umożliwiają. To Évariste Galois osiągnął te trzy postępy.
Jego podejście cierpi z powodu tego samego nieporozumienia, co jego poprzednicy. Jego pierwsze prace, przekazane Akademii Nauk w 1829 r., Z pewnością zaginęły. Wspomnienie napisane przez Galoisa w 1831 r. Zostało ponownie odkryte i opublikowane przez Josepha Liouville'a , który przedstawił je społeczności naukowej w 1843 r . : „[…] Mam nadzieję, że zainteresuję Akademię, ogłaszając, że w artykułach Évariste Galois znalazłem rozwiązanie tak dokładne, jak głębokie dla tego pięknego problemu: biorąc pod uwagę nieredukowalne równanie pierwszego stopnia, zdecyduj, czy można je rozwiązać za pomocą rodników, czy nie. Wkład Galois jest duży; G. Verriest opisuje to w następujący sposób: „Genialnym pomysłem Galoisa jest odkrycie, że sedno problemu nie leży w bezpośrednim poszukiwaniu ilości, które mają być dodane, ale w badaniu natury grupy równanie. Ta grupa […] wyraża stopień nierozróżnialności korzeni […]. Dlatego nie jest to już stopień równania, który mierzy trudność jego rozwiązania, ale charakter jego grupy. "
Jeśli P jest wielomianem cyklotomicznym , tj. Nieredukowalnym dzielnikiem w ℚ [ X ] wielomianu postaci X n - 1, to równanie P ( x ) = 0 jest trywialnie rozwiązane przez rodniki. Twierdzenie Abla zostało potwierdzone w tym konkretnym przypadku, ponieważ grupa Galois o odpowiednim wydłużeniu cyklotomicznym jest abelowa (a zatem rozwiązalna). Dokładniej, grupa Galois wielomianu cyklotomicznego Φ n jest izomorficzna z grupą jednostek pierścienia ℤ / n ℤ .
Zauważmy mimochodem, że bardziej dogłębne badanie (por. „ Twierdzenie Gaussa-Wantzela ”) określa, pod jakim warunkiem równanie Φ n ( x ) = 0 można rozwiązać nie tylko za pomocą rodników (dowolnego rzędu), ale i pierwiastków kwadratowych. . , stanu, który jest równoważny do constructibility do linijki i kompasu do regularnego wieloboku o n wierzchołków.
Rozważmy przypadek, w którym wielomian P jest stopnia 2 z wymiernymi współczynnikami nie mającymi racjonalnego pierwiastka. Nawet jeśli oznacza to podzielenie P przez jego dominujący współczynnik, można założyć, że jest jednolity :
Oznaczmy przez x 1 i x 2 dwa pierwiastki równania. Możemy wywnioskować:
Jako rozszerzenie Galois i stopnia 2 , grupa Galois jest rzędu 2: oba elementy są identyczność z L i symetrii , która rozwiązuje wymiernych i wymiany x 1 oraz x 2 . Istnieje więc podstawa (1, r ) ℚ- przestrzeni wektorowej L i wymierna a taka, że x 1 = a + r i x 2 = a - r .
Możemy wywnioskować:
Grupa Galois umożliwia zatem skuteczne rozwiązanie równania kwadratowego.
Sposób Cardana pozwala na wyodrębnienie korzenie wielomianu stopnia 3, w przypadku ogólnego.
GenerałRozważmy przypadek, w którym wielomian P ma stopień 3 z wymiernymi współczynnikami i jest nieredukowalny . Nawet jeśli oznacza to podzielenie P przez jej dominujący współczynnik i przetłumaczenie zmiennej, możemy założyć, że P ma postać:
Oznaczmy przez x 1 , x 2 i x 3 trzy ( różne ) pierwiastki równania. Z
wnioskujemy:
Grupa Galois G z P jest podgrupą symetrycznej grupy S 3 . Kolejność tej podgrupie jest równa wymiarowi o ℚ ciała rozkładu L . Jest to zatem wielokrotność 3, ponieważ L zawiera pierwiastek , którego minimalna wielomian stopnia 3. G zatem izomorficzne albo S 3 (rzędu 6), lub na jej unikalnym podgrupie rzędu 3, naprzemienne grupy 3 .
W obu przypadkach G można rozwiązać (ponieważ A 3 jest normalne w S 3 , a A 3 i S 3 / A 3 są abelowe, a nawet cykliczne ), więc twierdzenie Abla gwarantuje, że wielomian też jest.
Określenie grupy GaloisRozważ niezerowy element L : δ = ( x 1 - x 2 ) ( x 2 - x 3 ) ( x 3 - x 1 ) . Dla każdego elementu g z G , g ( δ ) = ε ( g ) δ gdzie ε ( g ) oznacza podpisu z permutacji wykonaniu g na trzech pierwiastków. G jest zatem zredukowana do A 3 tylko wtedy, gdy δ jest niezmienna przez wszystkie elementy G , to znaczy (patrz 3 akapitu na podstawowej twierdzenia teorii Galois ) tylko wtedy, gdy δ jest racjonalne. Udowadniamy również (patrz artykuł „ Dyskryminujący ”), że δ 2 = –4 p 3 - 27 q 2 . Możemy wywnioskować:
Grupa Galois z P jest izomorficzna z A 3, jeśli –4 p 3 –27 q 2 jest kwadratem wymiernej, a do S 3 w przeciwnym razie.
Obliczanie korzeniJednym ze sposobów znalezienia formuł Cardana jest zapytanie:
,gdzie j i j 2 oznaczają dwa prymitywne sześcienne pierwiastki jedności .
Rzeczywiście otrzymujemy w ten sposób:
i pozostaje tylko obliczyć U i V w zależności od współczynników wielomianu:
, .Następujący układ równań pozwala zatem wnioskować:
Równanie jest więc dobrze rozwiązane przez rodniki, jak przewiduje twierdzenie Abla i obliczenie grupy Galois. Dokładniej: za pomocą pierwiastków kwadratowych (do wyrażenia j i j 2 oraz obliczenia u 3 i v 3 ) i sześciennych (do wyodrębnienia u i v ).
Te elementy u i v mają następującą interpretację w teorii Galois. Widzimy, że G zawiera co najmniej grupy przemiennego 3 , to znaczy, że istnieje automorfizmem m z L (rzędu 3) ustalające wymiernych i sprawdzenia:
Załóżmy najpierw, że L zawiera j i j 2 . Dowolny element podpola ℚ [ j ] ma stopień 1 lub 2 na ℚ, a zatem jest ustalony przez m . Możemy zatem uznać m za endomorfizm ℚ [ j ] -wektorowej przestrzeni L , a wektory, a następnie pojawić się jako właściwe dla m , ponieważ przez konstrukcję,
Gdy L nie zawiera j i j 2 , sprawdzamy, czy nie zawiera innych elementów ℚ [ j ] niż liczby wymierne, co pozwala w naturalny sposób rozszerzyć m do a ℚ [ j ] -automorfizm L [ j ], dla którego podobnie, U i V są odpowiednie.
Metoda Ferrari umożliwia wyodrębnienie pierwiastka (-ów) wielomianu stopnia 4 w przypadku ogólnym.
Szczegółowy artykuł pokazuje, że grupa Galois na ℚ wielomianu P ( X ) = X 5 - 3 X - 1 jest grupą symetryczną S 5 , której nie można rozwiązać. Równanie P ( z ) = 0 nie jest zatem rozwiązane przez rodniki, tj. Nie jest możliwe wyrażenie pierwiastków tego wielomianu z liczb całkowitych przy użyciu czterech zwykłych operacji i rodników, co pokazuje, że nie jest możliwe znalezienie wyrażenia dla pierwiastków w ogólnym przypadku równania piątego stopnia, tak jak można to zrobić dla równań stopnia 1, 2, 3 lub 4.
Uwaga. Nie można powiedzieć, że równania P ( z ) = 0 nie da się rozwiązać. To równanie ma 5 pierwiastków, które przybliżają się tak dokładnie, jak jest to pożądane i które są dokładnie wyrażane za pomocą całek eliptycznych .
Dla dowolnej liczby całkowitej n ≥ 2 istnieje nieskończoność wielomianów (nieredukowalnych i stopnia n ) o współczynnikach całkowitych, których grupa Galois na ℚ jest grupą symetryczną S n lub dla n ≥ 5, ta grupa nie jest rozwiązalna .
DemonstracjaTa konstrukcja wykorzystuje twierdzenie Richarda Dedekinda o redukcji modulo p grup Galois , połączone z dwoma następującymi faktami:
Wybieramy trzy rozłączne unitarne wielomiany stopnia n :
wtedy jednolity wielomian P stopnia n ze współczynnikami całkowitymi, których modulo 2, 3 i 5 redukcje są równe P 2 , P 3 i P 5 : P jest nieredukowalny, ponieważ P 2 jest, dlatego jego grupa Galois działa przejściowo na jego n pierwiastków, i zawiera transpozycję (do wyboru P 3 ) i cykl ( n - 1) (do wyboru P 5 ). Ta podgrupa jest zatem całkowicie S n .
Niech n stopień skończonym rozszerzeniem Galois L z K . Jego grupa Galois G jest zatem rzędu n .
Najpierw zajmiemy się przypadkiem, w którym G jest abelem, zakładając najpierw, jak w metodzie Cardana (w której przypadek n = 3 odpowiada przypadkowi, w którym G jest abelem), że K zawiera n pierwiastków n - tej jednostki . Pozbywamy się wtedy tej hipotezy.
Z założenia ciało rozkładu L z P jest zawarte w rozszerzeniu K (α 1 ,…, α k ) takim, że dla każdego i między 1 a k , α i n i należy do K (α 1 ,…, α i - 1 ) dla pewnej liczby naturalnej n i . Możemy oczywiście dalej założyć (używając, że α uv = (α u ) v i wstawiając rodniki pośrednie), że każdy n i dla i > 1 jest liczbą pierwszą , a sekwencja rozszerzeń zaczyna się od dodania pierwiastka pierwotnego n 1 -ty jednostka α 1 , dla n 1 równa iloczynowi tych liczb pierwszych. Pokazujemy poniżej, przez indukcję na i , że każde rozszerzenie K (α 1 ,…, α i ) K jest wtedy Galois i grupy rozwiązalnej. Zgodnie z fundamentalnym twierdzeniem teorii Galois, grupa Galois z przedłużenia L jest również rozwiązywalna jako iloraz K (α 1 ,…, α k ).