Podsumowanie obliczeń przez przywrócenie i porównanie | |
Pierwsza strona Kitāb al-mukhtaṣar fi ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala | |
Autor | Al-Chawarizmi |
---|---|
Uprzejmy | Matematyka |
Orginalna wersja | |
Język | Arab |
Data wydania | 813-833 |
Kompendium Kalkulacja przez Odnawianie i porównania (po arabsku: „الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة , Kitab al-mukhtaṣar Fi ḥisāb al-Jabr wa-l-muqābala ) to historyczna książka matematyki i napisany w języku arabskim między 813 833 przez Perski matematyk Al-Khawarizmi . W nim, Al-Khwarizmi podwaliny algebry będąc pierwszą systematycznie badać rozdzielczość równań z pierwszego i drugiego stopnia . Następcy Al-Chwarizmiego kontynuowali i wzmacniali jego twórczość w innych utworach, często noszących ten sam tytuł. Książka ta wywarła wielki wpływ przez kilka stuleci, do tego stopnia, że dała początek dwóm potocznym nazwom w wielu językach, w tym francuskim: algebrze i algorytmowi (przez deformację Al-Chwarizmi). Wpływ ten wynika zasadniczo z prezentacji i organizacji tego podsumowania, jest ono pierwszym prezentującym w sposób jasny i precyzyjny zestaw metod rozwiązywania równań kwadratowych :
„Po raz pierwszy znajdujemy w tej samej pracy zbiór elementów (definicji, operacji, algorytmów, demonstracji), które wcześniej były albo rozproszone i bez związku między nimi, albo nie zostały sformułowane wprost i niezależnie od rozpatrywanych pytań. "
Za panowania Al-Ma'mūn (813-833) Imperium Abbasydów było u szczytu. Kalif pyta Al-Khawarizmi, wybitny uczony pracujący w Domu Mądrości w Bagdadzie , do podsumowania metod matematycznych przydatnych do zarządzania tym stanie ogromnej która rozciąga się od Azji Środkowej do Pirenejów .
Streszczenie składa się ze wstępu i dwóch części. W tym traktacie, Al-Khwarizmi to pierwszy systematycznie równań studium pierwszego i drugiego stopnia , czyli tych, które można zapisać w postaci, w nowoczesnej formie pisemnej równania, które nie pojawiają się w XVII -tego wieku:
,z , i dowolnymi trzema liczbami, prawdopodobnie będącymi zero , gdzie litera x oznacza nieznaną liczbę . Jednak te współczesne zapisy nie są używane w Abstrakcie , w którym wszystkie obliczenia są opisane w zdaniach i liczbach zapisanych w całości.
Zgodnie z ówczesną tradycją wstęp rozpoczyna się od uwielbienia Boga Proroka i Kalifa Al-Ma'mūna . Następnie Al-Khawarizmi przedstawia resztę pracy, wskazując, że została zlecona przez kalifa: jest to skrót, czyli podręcznik, mający na celu „wyjaśnienie tego, co niejasne i […] ułatwienie tego, co trudne” w celu do rozwiązywania konkretnych problemów związanych z obliczaniem spadków, geodezji czy handlu. Wywołuje dwie części: pierwsza polega na przedstawieniu operacji obliczeniowych, druga to lista rozwiązanych przykładów.
Pierwsza część podręcznika składa się z czterech rozdziałów.
W pierwszym rozdziale autor wyjaśnia system dziesiętnej numeracji liczb, następnie definiuje obiekty algebry. Uwzględnia trzy rodzaje obiektów:
W tamtych czasach matematycy arabscy nie znali liczb ujemnych . Liczby Al-Khawarizmi są liczbami całkowitymi lub dodatnimi liczbami wymiernymi .
Drugi rozdział systematycznie analizuje równania drugiego lub pierwszego stopnia , czyli równania, których współczesny zapis brzmiałby:
z ewentualnie zero.
Ignorowanie liczb ujemnych przewodów Al-Khawarizmi rozróżnić sześć przypadków, w których parametry , i wszystkie są pozytywne:
Po każdym z sześciu przypadków podano przykłady i sposób ich rozwiązania, najpierw ogólny, a następnie, dla ostatnich trzech przypadków, zastosowany do przykładów. Rozdział kończy się pokazami metod rozwiązywania trzech przypadków za pomocą rozumowania opartego na geometrii , w tym wykazaniem istnienia rozwiązań.
Al-Khwarizmi rozwiązuje równania, stosując kolejno dwie techniki, od których pochodzi nazwa książki: al-jabr i al-muqabala . We współczesnym francuskim al-jabr i al-muqabala są dwa aspekty tego, co nazywa się transpozycją .
W rozdziale trzecim autorka poszerza pole algebry. Stosuje pięć klasycznych operacji (a mianowicie: dodawanie , odejmowanie , mnożenie , dzielenie i wyciąganie pierwiastka kwadratowego ) na obiektach bardziej złożonych niż dirhamy : liczby niewymierne, niewiadome, wyrażenia łączące kilka liczb. Ten fragment jest mniej opanowany niż poprzedni: prezentacja nie jest systematyczna, prezentowane są niektóre demonstracje, ale nie wszystkie (Al-Khawarizmi przyznaje, że niektórym się nie powiodło).
Zademonstrowano przykład złożonego obliczeniaW czwartym i ostatnim rozdziale tej części zebrano około czterdziestu przykładów, na których zastosowano przedstawione powyżej metody.
Ta część pracy, ilościowo najważniejsza, poświęcona jest „rozwiązywaniu problemów obrotu gospodarczego, inwentaryzacji i działowi spadków”. "
Al-jabr oznacza redukcję , w znaczeniu "redukcja złamania", jego łacińska transkrypcja dała algebrę, a następnie algebra . Al Jabr polega na redukcji równania eliminując odejmowania przez dodanie warunków w dwóch elementów. Współcześnie sprowadza się to do uzyskania równania ze wszystkimi dodatnimi współczynnikami.
Przykład:x 2 = 40 x - 4 x 2 jest przekształcane, przez al-jabra , w x 2 + 4 x 2 = 40 x , a następnie 5 x 2 = 40 x .
Rzeczywiście, Al-Khawarizmi nazywa odejmowane terminy (jak 4 x 2 w poprzednim przykładzie): nâqis , "termin usunięty". To samo słowo jest używane w odniesieniu do brakującej kończyny osoby po amputacji . Al-jabr ma zatem przywrócić to, czego brakuje w równaniu.
Wyeliminowanie odejmowania przez al-dżabra nie wystarczy do uzyskania jednego z sześciu przypadków kanonicznych.
Przykład:x 2 + 5 = 40 x + 4 x 2 zawiera kwadraty w obu elementach, ale każdy element jest sumą .
Al-muqabala polega na odjęciu pewnej ilości, aby ilości tego samego typu (dirham, pierwiastek lub kwadrat) nie mogły znaleźć się po obu stronach równania w tym samym czasie.
Przykład:W x 2 + 5 = 40 x + 4 x 2 odejmujemy x 2 , aby otrzymać 5 = 40 x + 3 x 2 .
Zachowała się tylko jedna kopia arabska . Znajduje się na Uniwersytecie Oksfordzkim i jest datowany na 1361 rok . W 1831 roku Frederic Rosen opublikował angielskie tłumaczenie na podstawie tego rękopisu. W przedmowie zauważa, że pismo jest „proste i czytelne”, ale pominięto znaki diakrytyczne alfabetu arabskiego , co utrudnia zrozumienie niektórych fragmentów.
Całkowitą nowość koncepcji omawianych w tej książce można mierzyć trudnością tłumaczenia jej tytułu. Skomputeryzowany słownik skarbu języka francuskiego podaje „ naukę o restytucjach i porównaniach ”, potwierdzając jednocześnie, że al-jabr oznacza redukcję . Jak dla Dahan-Dalmédico i Pfeiffer, że są zadowoleni z „ precyzyjny sprawie obliczania al-Jabra i al-muqabala ”.
W XIII -go wieku, dzięki Fibonacciego Europie zdał sobie sprawę z tego dzieła.
Ta praca jest uważana za:
„Oficjalny akt urodzenia algebry jako dyscypliny (z jednocześnie nazwą, przedmiotami, narzędziami, algorytmami i obszarami zastosowań). "
Jest to jedna z „najważniejszych książek w historii matematyki ” , a dokładniej w historii algebry .