Podwójna para
W analizy funkcjonalnej , A podwójna para albo podwójny system oznacza pary z przestrzeni wektorowej obdarzonych nie - zdegenerowanych forma dwuliniowa .
W analizie funkcjonalnej badanie znormalizowanych przestrzeni wektorowych wymaga niekiedy analizy jej związku z jego dualnością topologiczną , czyli przestrzenią wektorową utworzoną ze wszystkich ciągłych map liniowych zdefiniowanych na przestrzeni początkowej. Podwójna para uogólnia tę koncepcję, a dwoistość wyraża się za pomocą mapy bilinearnej. Z tej mapy bilinearnej możemy użyć półnormy do zbudowania topologii biegunowej (en) w przestrzeniach wektorowych i do utworzenia lokalnie wypukłych przestrzeni , które są uogólnieniem normalnych przestrzeni wektorowych.
Definicje
Niech i będą dwiema przestrzeniami wektorowymi w tym samym polu przemiennym . Pozwolić algebraiczne podwójny od i że z (całym tym artykule zakładamy, że aksjomat wyboru, aby być prawdziwe).
X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y} K.{\ displaystyle K}X∗{\ displaystyle X ^ {*}}X{\ displaystyle X}Y∗{\ Displaystyle Y ^ {*}}Y{\ displaystyle Y}
Definicja (non-zdegenerowana forma dwuliniowa): Pozwolić bilinear forma . Wywołuje dwa zastosowania liniowe
b:X×Y→K.{\ Displaystyle B: X \ razy Y \ do K}
- X→Y∗;x↦b(x,⋅){\ Displaystyle X \ do Y ^ {*}; x \ mapsto B (x, \ cdot)}
- Y→X∗;y↦b(⋅,y){\ Displaystyle Y \ do X ^ {*}; y \ mapsto B (\ cdot, y)}
Mówi się, że aplikacja dwuliniowa to:
b{\ displaystyle B}
-
nie zdegenerowany po lewej stronie, jeśli jest iniekcyjny ,X→Y∗{\ Displaystyle X \ do Y ^ {*}}
-
nie degeneruje się po prawej stronie, jeśli jest iniekcyjny,Y→X∗{\ Displaystyle Y \ do X ^ {*}}
-
nie zdegenerowany, jeśli nie jest zdegenerowany po lewej i po prawej stronie.b{\ displaystyle B}
Definicja (para podwójna): Niech i będą dwiema przestrzeniami wektorowymi w tym samym polu przemiennym . Rozważmy dwuliniową formę. Następnie mówimy, że X i Y są umieszczone w dualności przez . Jeśli ponadto nie jest zdegenerowany:
X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}K.{\ displaystyle K}b:X×Y→K.{\ displaystyle B: X \ razy Y \ rightarrow K}b{\ displaystyle B}b{\ displaystyle B}
-
X{\ displaystyle X}i mówi się, że są w dualności (lub są umieszczane w oddzielającej dualności ),Y{\ displaystyle Y}
- piszemy zamiast ,⟨⋅,⋅⟩{\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}b{\ displaystyle B}
- mówi się, że trójka jest parą podwójną ,(X,Y,⟨⋅,⋅⟩){\ Displaystyle (X, Y, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}
- mówi się, że mapa dwuliniowa jest parowaniem podwójnym .⟨⋅,⋅⟩{\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}
Dwa elementy i są ortogonalne, jeśli
x∈X{\ Displaystyle x \ w X}y∈Y{\ displaystyle y \ in Y}
⟨x,y⟩=0{\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = 0}.
Dwa zbiory i są ortogonalne, jeśli dowolna para elementów i jest ortogonalna.
M⊆X{\ Displaystyle M \ subseteq X}NIE⊆Y{\ Displaystyle N \ subseteq Y}M{\ displaystyle M}NIE{\ displaystyle N}
Słabe i mocne pary podwójne
Definicja (silna para podwójna): Niech będzie parą podwójną. Podwójne parowanie wywołuje dwie aplikacje
(X,Y,⟨⋅,⋅⟩){\ Displaystyle (X, Y, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}⟨⋅,⋅⟩{\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}
- X→Y∗;x↦⟨x,⋅⟩{\ Displaystyle X \ do Y ^ {*}; x \ mapsto \ langle x, \ cdot \ rangle}
- Y→X∗;y↦⟨⋅,y⟩{\ Displaystyle Y \ do X ^ {*}; y \ mapsto \ langle \ cdot, y \ rangle}
Mówi się, że para dualna jest silna (a para podwójna jest silna ), gdy te dwie ostatnie mapy są surjektywne . Podwójna para, która niekoniecznie jest silna ( tj. Podwójna para niekoniecznie silna), jest uważana za słabą .
(X,Y,⟨⋅,⋅⟩){\ Displaystyle (X, Y, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}
Uwaga: Korzystając z faktu, że naturalny zastrzyk z pod jego algebraicznych bidual jest suriekcją tylko wtedy, gdy jest skończony wymiarowa, to łatwo udowodnić, że para dwoista jest silna tylko wtedy, gdy i to skończony wymiarowa . W zależności od kontekstu, ta ostatnia (proto-) definicja silnej pary podwójnej może zostać zmodyfikowana (poprzez rozważenie surjektywności w stosunku do pewnych podprzestrzeni i ), aby uwzględnić bardziej subtelne właściwości danej pary podwójnej ( por. Przykład 3 poniżej. Poniżej ).
jot:X→X∗∗{\ Displaystyle J: X \ do X ^ {**}}X{\ displaystyle X}X∗∗{\ displaystyle X ^ {**}}X{\ displaystyle X}X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}X∗{\ displaystyle X ^ {*}}Y∗{\ Displaystyle Y ^ {*}}
Przykłady
Przykład 1: Niech będzieprzestrzenią wektorową (lub modułem na pierścieniu ) ijej algebraiczną liczbą podwójną . Rozważ zastosowanie dwuliniowe
X{\ displaystyle X}X∗{\ displaystyle X ^ {*}}
⟨⋅,⋅⟩:X∗×X→K.:(fa,x)↦⟨fa,x⟩: =fa(x){\ Displaystyle \ langle \ cdot \ cdot \ rangle: X ^ {*} \ razy X \ rightarrow K: (f, x) \ mapsto \ langle f, x \ rangle: = f (x)}odpowiadające sprzężenie dualności między a . Odpowiada dwóm zastosowaniom liniowym
X∗{\ displaystyle X ^ {*}}X{\ displaystyle X}
X∗→X∗{\ Displaystyle X ^ {*} \ rightarrow X ^ {*}}
X→X∗∗{\ Displaystyle X \ rightarrow X ^ {**}}
Pierwsza aplikacja to identyfikator (i dlatego jest iniekcyjna). Drugie zastosowanie to naturalne wstrzyknięcie w jej algebraicznej balty . Ta ostatnia aplikacja jest iniekcyjna, ponieważ oddziela punkty , tj. Dla wszystkiego, co istnieje tq (wynika to z aksjomatu wyboru). Czyniąc to, nie jest zdegenerowany i jest podwójnym parowaniem, zwanym parowaniem naturalnym (lub kanonicznym podwójnym parowaniem ), między a jego algebraiczną podwójną parą .
X∗→X∗{\ Displaystyle X ^ {*} \ rightarrow X ^ {*}}X∗{\ displaystyle X ^ {*}}X→X∗∗{\ Displaystyle X \ rightarrow X ^ {**}}X{\ displaystyle X}X∗∗{\ displaystyle X ^ {**}}X∗{\ displaystyle X ^ {*}}X{\ displaystyle X}x∈mi∖{0}{\ displaystyle x \ in E \ backslash \ {0 \}}fa∈mi∗{\ displaystyle f \ in E ^ {*}}fa(x)≠0{\ Displaystyle f (x) \ neq 0}⟨⋅,⋅⟩{\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}X{\ displaystyle X}X∗{\ displaystyle X ^ {*}}
Przykład 2:
Niech będzieparą podwójną. Wtedy tripletjest parą podwójną, gdzie.
(X,Y,⟨⋅,⋅⟩){\ Displaystyle (X, Y, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}(Y,X,⟨⋅,⋅⟩′){\ Displaystyle (Y, X, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle ')}⟨y,x⟩′: =⟨x,y⟩{\ Displaystyle \ langle y, x \ rangle ': = \ langle x, y \ rangle}
Przykład 3:
Pozwolićsię lokalnie wypukłą EVT na polu przemienneji pozwolićjej topologii podwójnej . Rozważ zastosowanie dwuliniowe
mi{\ displaystyle E} K.{\ displaystyle K}mi′{\ displaystyle E '}
⟨⋅,⋅⟩:mi′×mi→K.;(fa,x)↦⟨fa,x⟩: =fa(x){\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle: E '\ razy E \ rightarrow K; (f, x) \ mapsto \ langle f, x \ rangle: = f (x)}odpowiadające sprzężeniu dualności między i . Dwuliniowej aplikacji odpowiadają dwie aplikacje
X′{\ displaystyle X '}X{\ displaystyle X}⟨⋅,⋅⟩{\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}
ι:mi′→mi∗;fa↦⟨fa,⋅⟩{\ displaystyle \ iota: E '\ rightarrow E ^ {*}; f \ mapsto \ langle f, \ cdot \ rangle}
jot:mi→(mi′)∗;x↦⟨⋅,x⟩{\ Displaystyle J: E \ rightarrow (E ') ^ {*}; x \ mapsto \ langle \ cdot, x \ rangle}
Pierwsza to kanoniczne włączenie en . Podajmy topologię . Ponieważ mapa liniowa jest ciągła, a topologia jest drobniejsza niż ta , spoczywa w topologicznej części lokalnie wypukłej przestrzeni . Biorąc pod uwagę współograniczenia
mi′{\ displaystyle E '}mi∗{\ displaystyle E ^ {*}}mi′{\ displaystyle E '}β(mi′,mi){\ Displaystyle \ beta (E ', E)}x∈mi{\ displaystyle x \ in E}jot(x)∈(mi′)∗{\ Displaystyle J (x) \ w (E ^ {'}) ^ {*}}σ(mi′,mi){\ Displaystyle \ sigma (E ', E)}β(mi′,mi){\ Displaystyle \ beta (E ', E)}σ(mi′,mi){\ Displaystyle \ sigma (E ', E)}jot(x){\ Displaystyle J (x)}mi″{\ displaystyle E ''}mi{\ displaystyle E}
ι:mi′→mi′;fa↦⟨fa,⋅⟩{\ displaystyle \ iota: E '\ rightarrow E ^ {'}; f \ mapsto \ langle f, \ cdot \ rangle}
jot:mi→mi″;x↦⟨⋅,x⟩{\ Displaystyle J: E \ rightarrow E ''; x \ mapsto \ langle \ cdot, x \ rangle}
widzimy wtedy, że jest to identyczność (tj. jest izomorfizmem) i to jest naturalne włączenie do jej bidualnej topologii (która jest iniekcyjna przez twierdzenie Hahna-Banacha o lokalnie wypukłych przestrzeniach). Wynika z tego, że trójka jest parą podwójną. W szczególności ta podwójna para będzie silna, jeśli naturalny zastrzyk jest surjektywny (tj. Jeśli jest półodruchowy ).
ι{\ displaystyle \ iota}mi′{\ displaystyle E '}jot{\ displaystyle J}mi{\ displaystyle E}mi″{\ displaystyle E ''}(mi′,mi,⟨⋅,⋅⟩){\ Displaystyle (E ', E, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}jot:mi→mi″{\ displaystyle J: E \ rightarrow E ''}mi{\ displaystyle E}
Przykład 4: przestrzeń sekwencji ℓp i jego beta podwójna (i) wiąże się z mapy dwuliniowa określonej przez
mi{\ displaystyle E} miβ{\ displaystyle E ^ {\ beta}}
⟨x,y⟩: =∑ja=0∞xjayjax∈mi,y∈miβ{\ displaystyle \ langle x, y \ rangle: = \ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} x_ {i} y_ {i} \ quad x \ in E, y \ in E ^ {\ beta}}tworzy podwójną parę.
Przykład 5: Pozwolić gładka i rzeczywiste odmiany z ograniczonym wymiarze. Pozwolić byćprzestrzeń-prawdziwy form różniczkowych o zwartym nośniku sprawie. Jest
M{\ displaystyle M}nie{\ displaystyle n}Ωvsk(M){\ Displaystyle \ Omega _ {C} ^ {k} (M)}k{\ displaystyle k}M{\ displaystyle M}
⟨⋅,⋅⟩:Ωvsk(M)×Ωvsnie-k(M)→R;(α,β)↦⟨α,β⟩: =∫Mα∧β{\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle: \ Omega _ {c} ^ {k} (M) \ razy \ Omega _ {c} ^ {nk} (M) \ do \ mathbb {R}; ( \ alpha, \ beta) \ mapsto \ langle \ alpha, \ beta \ rangle: = \ int _ {M} \ alpha \ wedge \ beta}Tak więc trójka to para podwójna.
(Ωvsk(M),Ωvsnie-k(M),⟨⋅,⋅⟩){\ Displaystyle (\ Omega _ {c} ^ {k} (M), \ Omega _ {c} ^ {nk} (M), \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}
Bibliografia
(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w
języku angielskim zatytułowanego
„ Dual pair ” ( zobacz listę autorów ) .
-
(en) Hans Jarchow, Przestrzenie lokalnie wypukłe , Springer ,2012( 1 st ed. 1981) ( czytaj on-line ) , s. 145-146.
-
(w) R. Abraham , JE Marsden and T. Ratiu , Manifolds, Tensor Analysis, and Applications , Springer,1988, s. 103.
-
(w) Halmos, Paul R. , Finite-Dimensional Vector Spaces (2nd Edition) , New York / Heidelberg / Berlin, Princeton, NJ: Van Nostrand,1958, 199 str. ( ISBN 0-387-90093-4 ) , str. 25, 28.
Zobacz też
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">