Prawa Snella-Descartesa

Te prawa Snell opisać zachowanie światła na granicy dwóch ośrodków. Te prawa są cztery, dwa dla odbicia i dwa dla załamania . Przy prostoliniowej propagacji światła w ośrodkach jednorodnych i izotropowych prawa te są podstawą optyki geometrycznej . Ich nazwa nawiązuje do Willebrord Snell i Kartezjusza , który jednocześnie ale niezależnie odkrył te prawa w XVII -tego wieku .

Profil celerymetryczny i prawa Snella określają trajektorię promieni w wodzie. Te same prawa pozwalają określić idealną krzywiznę rogówki oka w atmosferze lub w środowisku wodnym. Jedno z tych praw wyjaśnia również prostą matematyczną zależność, jaka istnieje między kątem padania promienia świetlnego a jego kątem załamywanym przez wodę lub zjawiskiem znanym jako okno Snella .

Historyczny

Odkrycie praw załamania przypisuje się Ibn Sahl (ok. 940-1000) w 983 r. Prawa te są przedstawione na rysunku obok dwoma trójkątami w lewym górnym rogu. Ibn Sahl wykorzystał te prawa do zaprojektowania soczewki o kształcie hiperbolicznym, z doskonałym ogniskiem (wiązka równoległych promieni zbiega się wtedy dokładnie w tym samym punkcie: ognisku).

Jednak traktat Ibn Sahla pozostaje enigmatyczny, ponieważ związek pojawia się bez żadnych danych eksperymentalnych ani podstaw teoretycznych. Ponadto nie określono stałego odpowiednika indeksu optycznego . Co więcej, trudno uwierzyć, że Ibn al-Haytham (Alhazen) nie podjął fundamentalnego odkrycia swojego mistrza Ibn Sahla. Wygląda na to, że związek został zapomniany. Jedna z możliwych interpretacji jest taka, że jest to ćwiczenie w projektowaniu soczewek, rozpatrywane w dziedzinie czysto geometrycznej, bez ustanawiania prawa fizycznego.

Później teoria tęczy jest znana w świecie muzułmańskim ( Al Farisi ).

Następnie, za pośrednictwem przekładu łacińskiego traktatu optycznego z Ibn al-Haytham spready optyka w Europie: Oxford ( Robert Grosseteste , Roger Bacon ), Paryżu, Pradze. Znane jest prawo małych kątów: Witelo (aka Vitellion ) wziąłby eksperymentalne tablice odchyleń ustalone przez Ptolemeusza , ale to wtedy Kepler w Paralipomena do Vitellionu wyraźnie stwierdził związek między (małymi) kątami padania i załamanie. Thomasowi Harriotowi przypisuje się ustawianie stołów zgodnie z prawem sinusów (1601) i wyjaśnianie tęczy (1606); ale on nie publikuje.

Snell rozwijał swoją pracę w tym samym czasie, gdy publikował swoją tablicę sinusów (1621).
Kartezjusz opublikował to prawo w 1637 roku w swoim traktacie La Dioptrique (w dodatku do Dyskursu o metodzie ).
Prawa Snella można w pełni wywnioskować z zasady Fermata i współczesnych równań Maxwella dotyczących elektromagnetyzmu .

W Europie Zachodniej spór priorytetowy - Snell czy Kartezjusz? - był szeroko dyskutowany; biorąc pod uwagę Ibn Sahl, Harriot, Kepler, jest to „stara” kłótnia (patrz kontrowersje kartezjańskie , dioptryczne).

Stara kłótnia

W Europie Zachodniej twierdzenie o prawie sinusów przypisuje się zarówno Kartezjuszowi, jak i Snellowi i fakt ten będzie przedmiotem tak częstej w tym czasie (początek XVII w.) Sporu priorytetowego: sporu o to, czy Kartezjusz sam odkrył to prawo lub po prostu znał je ustanowione niedawno przez Snella, który zmarł bez opublikowania go. Jeśli Leibniz i Huygens uważali, że rzeczywiście Kartezjusz nie mógł się obejść bez znajomości prawa ogłoszonego przez Snella, opinie historyków nie są tak jednoznaczne. B. Maitte przywołuje wiedzę, jaką Kartezjusz posiadałby o nieopublikowanym rękopisie Snella (który, według J.-P. Maury'ego, zostałby powierzony Rivetowi, profesorowi teologii związanemu z Mersenne , samemu w dużej mierze korespondując z Kartezjuszem) . Jednak według P. Costabel w obecnym stanie dokumentacji historycznej nie ma żadnego dowodu na to, że Kartezjusz uzyskał informację o wyniku Snell. Inni autorzy przywołują uprzedzenie Harriota, który znalazłby to prawo, ale dostarczyłby Keplerowi jedynie tabele pomiarów bez interpretacji.

Obecnie znalezione dokumenty historyczne nie pozwalają nam poznać podejścia Snella. Jeśli chodzi o Kartezjusza, pewne wskazówki prowadzą do wniosku, że idea sinusów była bezpośrednio związana z poszukiwaniem kształtu tak zwanej soczewki „doskonałej”, czyli zdolnej do zbieżności dokładnie w punkcie. wiązka równoległych promieni. Spodziewany profil dioptrii był taki jak hiperbola i to właśnie geometryczne badanie tego profilu - zakwalifikowane jako anaklastyczne - potwierdziło Kartezjusza w słuszności prawa sinus: przekonanie, aby nie powiedzieć dowodu, wynikało z zbiór rozważań, eksperymentalnych (wykonanie na granicy możliwości takiej soczewki przez Ferriera) i teoretycznych (wykazanie, że postać hiperboliczna dobrze korespondowała z zależnością między sinusami kątów przez geometra Mydorge i matematyka Beeckmana ). Dodajmy tutaj, że ta obawa zrodziła się z wynalezienia teleskopu, teleskopu ulepszonego przez Galileusza i przekazanego Keplerowi, który dał wstępne wyjaśnienie.

Snella-Descartes Laws for Reflection

Promień światła mówi się, że zdarzenie wcześniej napotkały na powierzchnię odbijającą, mówi się, że są widoczne później.

Punkt styku padającego promienia i odbijającej powierzchni nazywany jest punktem padania .

Linia prostopadła do powierzchni odbijającej w punkcie padania nazywana jest normalną (do powierzchni odbijającej).

Płaszczyzna zawierająca padający promień i normalną do odbijającej powierzchni w punkcie padania nazywana jest płaszczyzną padania .

Zorientowane kąt θ 1 wzięty pomiędzy normalną do punktu padania i promienia padającego zwany kąt padania .

Zorientowany kąt θ 2 między normalną w punkcie padania a promieniem odbitym nazywany jest kątem odbicia .

Kąty θ 1 i θ 2 są dodatnie, jeśli są zorientowane przeciwnie do ruchu wskazówek zegara , a ujemne w przeciwnym razie. Uwaga: niektórzy autorzy stosują inne konwencje.

Prawa refleksji są następujące:

promień odbity, padający i normalny (do dioptrii) są zawarte w płaszczyźnie padania;
kąty padania i odbite są równe w wartościach bezwzględnych; θ 1 i θ 2 weryfikują: θ 2 = - θ 1 .

Prawa Snella-Kartezjusza dotyczące załamania światła

Prawa załamania Snella-Kartezjusza wyrażają zmianę kierunku wiązki światła podczas przechodzenia przez ścianę, oddzielając dwa różne ośrodki. Każde medium charakteryzuje się zdolnością do „spowolnienia” światła, modelowaną przez jego współczynnik załamania światła n, który wyraża się w postaci:

nie=vsv{\ displaystyle n = {\ frac {c} {v}}} ${\ displaystyle n = {\ frac {c} {v}}}$ lub:

v jest prędkością światła w tym medium;
to jest prędkością światła w próżni.

Promień światła mówi się, że zdarzenie wcześniej napotkały na powierzchnię elementów załamujących (zwany dioptrii), to mówi się, że załamuje się później.

Miejsce spotkania promienia padającego i dioptrii jest nazywane punktem padania.

Płaszczyzna zawierająca padający promień i normalną do dioptrii w punkcie padania nazywana jest płaszczyzną padania.

Zorientowany kąt θ 1 przyjęty między normalną w punkcie padania a promieniem padającym nazywa się kątem padania.

Zorientowany kąt θ 2 przyjęty między normalną w punkcie padania a załamanym promieniem nazywany jest kątem załamania.

Kąty θ 1 i θ 2 są dodatnie, jeśli są zorientowane przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, a ujemne w przeciwnym razie.

Niech n 1 będzie współczynnikiem załamania ośrodka, w którym rozchodzi się padający promień, a n 2 współczynnikiem załamania ośrodka, w którym rozchodzi się promień załamany.

Prawa załamania są następujące:

promień załamany, promień padający i normalny (do dioptrii) znajdują się w tej samej płaszczyźnie, płaszczyźnie padania;
relację łączącą współczynniki załamania światła n 1 i n 2 każdego z ośrodków z kątami padania θ 1 i załamanymi θ 2 , zwaną relacją Snella-Kartezjusza, można zapisać:

nie1grzech⁡θ1=nie2grzech⁡θ2{\ Displaystyle n_ {1} \, \ sin \ theta _ {1} = n_ {2} \, \ sin \ theta _ {2}} ${\ Displaystyle n_ {1} \, \ sin \ theta _ {1} = n_ {2} \, \ sin \ theta _ {2}}$

Dla n 1 > n 2 (i odpowiednio n 1 < n 2 ) załamany (lub padający) promień zbliża się do dioptrii szybciej niż padający (lub załamany) promień. Kiedy załamany (lub padający) promień znajduje się matematycznie na dioptrii (jej granicy), następuje całkowite odbicie .

Empiryczne prawa odbicia i załamania mogą być interpretowane przez różne modele: model falowy Huygensa ( zasada Huygensa ), model najmniejszego działania Fermata ( zasada Fermata ), model fali elektromagnetycznej Maxwella.

Prawa Snella-Kartezjusza są również wykorzystywane w odbiciu ultradźwiękowym.

Prawa Snella-Kartezjusza i względność Galileusza

Prawa Snella-Kartezjusza są w istocie konsekwencją, bezpośrednią, ale nie trywialną, zasady względności Galileusza , to znaczy niezmienności praw fizyki podczas translacji w przestrzeni lub w czasie.

Demonstracja

Pozwolić na monochromatycznej fali płaskiej (napisany w złożonej formie ) i fali transmitowanego przez (albo odbija w) nieskończona płaszczyzna P rozdzielający dwa nośniki liniowe i jednorodne. Prawa nakazujące falę transmitowaną i falę odbitą muszą być niezmienne podczas translacji czasowej ( ) i przestrzennej ( ), gdzie jest równoległa do P (tak, że płaszczyzna pozostaje niezmienna). Następnie jest mnożony przez i przez . Niezmienność praw fizycznych podczas translacji czasoprzestrzennej powoduje, że pozostaje ona niezmieniona, zatem niezależnie od tłumaczenia: ${\ Displaystyle \ psi _ {0} = A_ {0} \ exp \ left [\ mathrm {i} \, ({\ vec {k}} _ {0} \ cdot {\ vec {r}} - \ omega _ {0} t) \ right]}$ ${\ Displaystyle \ psi = A \ exp \ lewo [\ mathrm {i} \, ({\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r}} - \ omega t + \ varphi) \ prawej]}$ ${\ displaystyle t \ rightarrow t- \ tau}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}} \ rightarrow {\ vec {r}} - {\ vec {a}}}$ ${\ vec a}$ ${\ displaystyle \ psi _ {0}}$ ${\ Displaystyle C_ {0} = \ exp [\ mathrm {i} \, (\ omega _ {0} \ tau - {\ vec {k}} _ {0} \ cdot {\ vec {a}})] }$ $\ psi$ ${\ Displaystyle C = \ exp [\ mathrm {i} \, (\ omega \ tau - {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {a}})]}$ ${\ displaystyle A / {A_ {0}}}$ $C = C_ {0}$

${\ displaystyle \ omega = \ omega _ {0}}$ transmisja i odbicie oszczędzają częstotliwość ;
${\ displaystyle {\ vec {k}} _ {\ parallel} = {\ vec {k}} _ {0 \ parallel}}$ (rzuty płaszczyzny i na płaszczyznę), z którego łatwo można wywnioskować, że płaszczyzny załamania i odbicia (określone przez i , składowa prostopadłej do płaszczyzny) pokrywają się z płaszczyzną padania (zdefiniowaną przez i ); ${\ vec k}$ ${\ displaystyle {\ vec {k}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ vec {k}} _ {\ parallel}}$ ${\ displaystyle {\ vec {k}} _ {\ perp}}$ ${\ vec k}$ ${\ displaystyle {\ vec {k}} _ {0 \ parallel}}$ ${\ displaystyle {\ vec {k}} _ {0 \ perp}}$
${\ Displaystyle {\ Frac {\ sin \ theta} {c}} = {\ Frac {\ sin \ theta _ {0}} {c_ {0}}}}$ gdzie i to odpowiednio kąt padania a prędkość fal w pierwszym nośniku, a , a kąt załamania oraz prędkość drugiego czynnika (lub kąt odbicia a prędkość pierwszego czynnika); ta relacja wynika z relacji wiążącej i (lub i ) : (i przez prostą geometrię ). $\ theta _ {0}$ $c_ {0}$ $\ theta$ $vs$ ${\ Displaystyle \ | {\ vec {k}} \ |}$ $vs$ ${\ displaystyle \ | {\ vec {k}} _ {0} \ |}$ $c_ {0}$ ${\ Displaystyle c \ | {\ vec {k}} \ | = \ omega = \ omega _ {0} = c_ {0} \ | {\ vec {k}} _ {0} \ |}$ ${\ Displaystyle \ | {\ vec {k}} \ | \ sin \ theta = \ | {\ vec {k}} _ {\ parallel} \ | = \ | {\ vec {k}} _ {0 \ równolegle } \ | = \ | {\ vec {k}} _ {0} \ | \ sin \ theta _ {0}}$

Zależności te (a zwłaszcza trzecia) pozostają aktualne, gdy jest kilka fal odbitych i transmitowanych (przypadek fal sejsmicznych ), gdy media są anizotropowe , a nawet gdy transmitowana fala jest zanikająca ( odbicie „całkowite” , czysta wyobraźnia ). ${\ displaystyle k _ {\ perp}}$

Postać wektorowa praw Snella-Kartezjusza

Postać wektorowa umożliwia wyrażenie wektorów kierunkowych promieni odbitych i załamanych z wektora kierunkowego promienia padającego. Wynik jest taki sam jak dla kształtów skalarnych , ale jako wektory zamiast kątów.

Biorąc pod uwagę wektor kierujący padającego promienia (pochodzącego ze źródła światła w kierunku dioptrii) i wektor normalny na płaszczyznę padania, mamy: ${\ displaystyle {\ vec {I}}}$ ${\ vec {n}}$

{\ Displaystyle \ cos \ theta _ {1} = {\ vec {n}} \ cdot (- {\ vec {I}})}

{\ Displaystyle \ cos \ theta _ {2} = {\ sqrt {1- \ lewo ({\ Frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ prawo) ^ {2} \ lewo (1- \ cos ^ {2} \ theta _ {1} \ right)}}}

{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {r {\ ostry {e}} fl {\ ostry {e}} chi}} = {\ vec {I}} + \ lewo (2 \, \ cos \ theta _ {1} \ right) {\ vec {n}}}

{\ Displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {r {\ ostry {e}} ułamek {\ ostry {e}}}} = \ lewo ({\ Frac {n_ {1}} {n_ {2 }}} \ right) {\ vec {I}} + \ left ({\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ cos \ theta _ {1} - \ cos \ theta _ {2} \ right) {\ vec {n}}}

Uwaga: musi być dodatnia. W przeciwnym razie musisz użyć: ${\ Displaystyle {\ vec {n}} \ cdot (- {\ vec {I}})}$

{\ Displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {r {\ ostry {e}} ułamek {\ ostry {e}}}} = \ lewo ({\ Frac {n_ {1}} {n_ {2 }}} \ right) {\ vec {I}} + \ left ({\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ cos \ theta _ {1} + \ cos \ theta _ {2} \ right) {\ vec {n}}.}

Całkowite odbicie występuje, gdy radicand wzoru dla cos ( θ 2 ) jest ujemna.

Uogólnienie praw odbicia i załamania

W październik 2011, grupa międzynarodowych naukowców pracujących na Uniwersytecie Harvarda w Stanach Zjednoczonych uogólniła prawa odbicia i załamania. Pomysł polega na zmodyfikowaniu interfejsu rozdzielającego dwa media tak, aby wprowadzić przesunięcie fazowe na wiązce światła, które nie jest już jednorodne, ale zależy od przestrzeni. W tym celu udekorowali interfejs matrycą anten plazmonicznych o wielkości nanoskopowej, które umożliwiają wprowadzenie stałego gradientu fazowego wzdłuż interfejsu.

Nowe prawa odbicia i załamania uzyskuje się , biorąc pod uwagę zasadę Fermata , biorąc pod uwagę ten gradient fazowy. Rozmiar zastosowanych anten plazmonicznych jest znacznie mniejszy niż długość fali światła, gradient fazowy jest wprowadzany nagle podczas przekraczania granicy faz, oddzielając w ten sposób fazę nagromadzoną podczas propagacji i przeskoku, wprowadzaną przez nanostruktury.

Uogólnione prawo załamania jest następnie sformułowane w następujący sposób:

{\ Displaystyle n_ {2} \, \ sin \ theta _ {2} -n_ {1} \, \ sin \ theta _ {1} = {\ Frac {\ lambda} {2 \, \ pi}} \; {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ mathrm {d} x}}}

lub:

${\ textstyle {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ mathrm {d} x}}}$ reprezentuje gradient fazowy nagle wprowadzony na interfejsie.

Stwierdzono uogólnione prawo refleksji:

{\ Displaystyle \ sin \ theta _ {r} - \ sin \ theta _ {i} = {\ Frac {\ lambda} {2 \, \ pi \, n_ {i}}} \; {\ Frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ mathrm {d} x}}}

lub:

θ i jest kątem padania;
θ r jest kątem odbicia.

Prawo odbicia jest zaskakujące: kąt odbicia niekoniecznie jest już równy kątowi padania.

Wizualizacja prawa Snella-Kartezjusza: powierzchnia powolności

Wektorem powolności nazywamy wektorem przenoszonym przez kierunek propagacji fali i moduł równy odwrotności jej prędkości fazowej w tym kierunku. Powierzchnie powolności są miejscem skrajności tego wektora dla wszystkich kierunków propagacji fal.

Z definicji, powierzchnia powolności jest umiejscowieniem końców wektora powolności , wyznaczonym ze stałego punktu O, gdy zmienia się kierunek propagacji . ${\ displaystyle {\ displaystyle {\ vec {m.}}}}$ ${\ displaystyle {\ displaystyle {\ vec {n}}}}$

Wektor spowolnienia:

{\ Displaystyle {\ vec {m.}} = {\ Frac {\ vec {n}} {V}}}

Kierunki propagacji fali można określić graficznie na podstawie powierzchni spowolnienia. Rzeczywiście, prawa Snella-Kartezjusza odpowiadają zachowaniu projekcji na styku wolnych wektorów wszystkich fal (padających, odbitych i transmitowanych), jak pokazano na rysunku obok.

Ośrodek izotropowy

W ośrodkach izotropowych (stałych lub płynnych), gdzie prędkość fali jest taka sama niezależnie od kierunku, powierzchnie powolności są kulami; okręgi w płaszczyźnie padania (jedno dla fal podłużnych i większe dla fal poprzecznych ).

Pożywka anizotropowa

W przypadku ośrodka anizotropowego powolne powierzchnie odbiegają od czysto sferycznej reprezentacji ciał izotropowych. Przekrój w płaszczyźnie powierzchni powolności dla materiału anizotropowego przedstawiono na rysunku obok.

Uwagi i odniesienia

(w) A. Kwan, JM Dudley, E. Lantz, „Kto naprawdę odkrył prawo Snella?”, Physics World 15 (2002): 64-84. i Roshdi Rashed , Geometry and Dioptrics in Classical Islam (Londyn: al-Furqan, 2005), XIII-1178-VI str., ( ISBN 1 873992 99 8 )
(en) Gorden Videen "którego prawo załamania światła?", Optyki i fotoniki News, opublikowane przez OSA http://www.osa-opn.org/print.aspx?path=%2FArchives%2F0508% 2Fdepartments% 2Fviewpoint.aspx
R. Rashed, „ Model przezroczystej kuli i wyjaśnienie tęczowego nieba: Ibn al-Haytham - Farisi ”, „ History of Science Journal and applications , no bones 23-2,1970, s. 109-140 ( czytaj online ).
B. Maitte Historia tęczy. Paryż: Seuil, Open Science, 2005
J.-P. Maury Początek badań naukowych: Mersenne. Paryż: Vuibert, 2003
B. Rochot Korespondencja naukowa ojca Mersenne. Paryż: Pałac Odkryć, 1966.
P. Costabel Oryginalne podejście uczonego Kartezjusza. Paryż: Vrin, 1982.
Jean-Pierre Provost i Gérard Vallée, Matematyka w fizyce: Fizyka przez filtr matematyki , Paryż, Éditions Dunod , coll. "Sup Sciences",Marzec 2004, 1 st ed. , 331 str. ( ISBN 2-10-004652-7 ) , str. 82-83.
(w) Andrew S. Glassner , Wprowadzenie do ray tracingu , Morgan Kaufmann,1989, 327 s. ( ISBN 0-12-286160-4 , czytaj online )
Nanfang Yu, Patrice Genevet, Mikhail Kats, Francesco Aieta, Jean-Philippe Tetienne, Federico Capasso, Zeno Gaburro, Light Propagation with Phase Discontinuities: Generalized Laws of Reflection and Refraction , Science, 334, 333, 2011.
" Rozmnażanie i badania nieniszczące na ciałach stałych ACO3 "
" PARVIZ NAVI: Właściwości akustyczne materiałów: Propagacja płaskich fal harmonicznych. "