K-teoria Milnora

K teorii Milnor teoria matematyczna wprowadza przez John Milnora , jest jednym z pierwszych prób określających grupy o K -theory algebraicznej rzędu wyższego.

Definicja

Obliczenie K 2 z pola F doprowadziły MILNOR do następnego ad hoc definicji z K -grupy wskaźników większa o

K _ {*} ^ {M} (F): = T ^ {*} F ^ {\ times} / (a ​​\ otimes (1-a)),

Dlatego też jako ( ukończył ) iloraz z Algebra napinającej z tym grupa przemienna F x przez dwustronną ideału generowanego przez A ⊗ (1 - ) za pomocą ≠ 0, 1.

Produkt napinacz na T * F powoduje produkt K K m x K K N → K M M + N , który sprawia, że K M ( M ) ą ukończył pierścień , który jest przemienne (na skalowanym sensowny) .

Przykłady

W przypadku n = 0, 1 lub 2, to K -grupy pól zbieżne z tych Quillen , ale dla n ≥ 3, są na ogół różne.

K K N ( M Q ) = 0 dla n równe 2 (podczas gdy K grupy -Quillen K 2 I - 1 ( M Q ), na ı równe 1, to cykliczny z rzędu q ı - 1).

K K 2 ( ℂ ) jest nie- policzalny podzielna grupa bez skręcania .

K K 2 ( ℝ ) jest bezpośrednim suma z cyklicznym podgrupie rzędu 2 i podzielny niezliczoną podgrupy bez skręcania.

K M 2 ( ℚ p ) jest bezpośrednią sumą multiplikatywnej grupy F p i niepoliczalnej podzielnej podgrupy bez skręcania.

K M 2 ( ℚ ) jest bezpośrednią sumą cyklicznej podgrupy rzędu 2 i cyklicznych podgrup rzędu p - 1, dla dowolnej nieparzystej liczby pierwszej p .

Linki do innych teorii

K-teoria Milnora odgrywa fundamentalną rolę w korpusach teorii klas górnej (en) , zastępując K M 1 stosowaną w teorii pola klasy o wymiarze 1.

Modulo 2 K-teoria Milnora , oznaczona k ✲ ( F ), jest powiązana z kohomologią étale (lub Galois ) pola F przez hipotezę Milnora , zademonstrowaną przez Vladimira Voivodskiego . Analogicznym stwierdzeniem modulo a nieparzystą liczbą pierwszą jest hipoteza Blocha-Kato (en) , zademonstrowana przez Voevodsky'ego i Rosta (de) .

Definiujemy „symbol” { a 1 ,…, a n } jako obraz a 1 ⊗… ⊗ a n w K M n ( F ): jeśli n = 2, jest to symbol Steinberga .

Zdefiniować dla wszystkich n morfizmu o k n ( F ) w grupie Witt z F , przez połączenie z tym symbolem postać Pfister (en) o wymiarach 2 N

$\ langle \ langle a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n} \ rangle \ rangle = \ langle 1, a_ {1} \ rangle \ otimes \ langle 1, a_ {2} \ rangle \ otimes \ ldots \ otimes \ langle 1, a_ {n} \ rangle.$

Postrzegany jako mający wartości w I n / I n +1 , ten morfizm jest suriektywny, ponieważ formy Pfistera generują addytywnie I n . Przypuszczenie Milnora jest interpretowane jako iniekcyjność tego morfizmu.

Bibliografia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w języku angielskim zatytułowanego „ Milnor K-teoria ” ( zobacz listę autorów ) .

(w :) John Willard Milnor , „ Algebraiczna K-teoria i formy kwadratowe ” , Wynalazek. Matematyka. , vol. 9 N O 4,1970, s. 318-344 ( czytaj online ).
(w) Philippe Gille i Tamás Szamuely (de) , Central mere algebras and Galois cohomology , UPC , al. "Studia w Cambridge zaawansowanym matematyki" ( N O 101),2006( ISBN 0-521-86103-9 , zbMATH 1137.12001 , czytaj online ) , str. 208.
(en) Tsit-Yuen Lam , Wprowadzenie do form kwadratowych nad polami , Providence (RI), AMS , rozdz. " GSM " ( N O 67)2005, 550 s. ( ISBN 0-8218-1095-2 , czytaj online ) , str. 366.
Lam 2005 , s. 316.