Absolwent algebry

W matematyce , w algebry liniowej , wzywamy ukończył algebra z algebry z dodatkowej konstrukcji, zwanej podziałka .

Definicja

Lub Algebra na polu (lub, bardziej ogólnie, w pierścieniu ) K . Podziałka na A to dane o rodzinie z podprzestrzeni wektorowych z zaspokajania: (Wja)ja∈NIE{\ displaystyle (A_ {i}) _ {i \ in \ mathbb {N}}}

• W=⨁ja∈NIEWja{\ displaystyle A = \ bigoplus _ {i \ in \ mathbb {N}} A_ {i}} ;
• ∀ja,jot∈NIE,WjaWjot⊂Wja+jot{\ displaystyle \ forall ja, j \ in \ mathbb {N}, A_ {i} A_ {j} \ podzbiór A_ {i + j}}To znaczy .∀[ja,jot∈NIE,x∈Wja,y∈Wjot],  x×y∈Wja+jot{\ Displaystyle \ forall \ lewo [ja, j \ w \ mathbb {N}, x \ w A_ {i}, y \ w A_ {j} \ w prawo], \ \ x \ razy y \ w A_ {i + jot}}

Mówi się wtedy, że algebra A jest stopniowana (czasami stopniowana, jako szczególny przypadek pojęcia algebry z oceną M dla monoidu M ).

Mówi się, że elementy A i są jednorodne stopnia i . Idealnym mówi się jednorodna , jeśli dla każdego elementu A , która zawiera to, że zawiera również jednorodne części . To sprowadza się do stwierdzenia, że ja tworzę jednorodne elementy.

Wszelkie pierścień (nie sklasyfikowane) może być wyposażony w studiach w pozowanie A 0 = A i i = 0 dla wszystkich I > 0. Ta struktura nazywana jest trywialne stopniowanie A .

Mapa f między algebrami stopniowanymi A i B (na tym samym polu) jest homomorfizmem algebr stopniowanych, jeśli dla wszystkich i . fa(Wja)⊂bja{\ displaystyle f (A_ {i}) \ podzbiór B_ {i}}

Przykłady

• Pierścień wielomianów w kilku nieokreślonych K [ X 1 ,…, X n ], gdzie jednorodne elementy stopnia n są jednorodnymi wielomianami stopnia n .
• Napinacz Algebra T ( V ) w przestrzeni wektora V , gdzie jednorodne elementy stopnia N SĄ tensory formularza .v1⊗v2⊗⋯⊗vnie{\ displaystyle v_ {1} \ otimes v_ {2} \ otimes \ dots \ otimes v_ {n}}
• Symetryczny Algebra S ( V ), a zewnętrzna Algebra Λ ( V ) są stopniowane algebr, jednorodne elementy stopnia n jest obrazów jednorodnych elementów T ( V ). Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli idealne I algebry stopniowanej A jest jednorodne, iloraz A / I jest naturalnie stopniowany przez(W/ja)ja=Wja/(ja∩Wja).{\ Displaystyle (A / I) _ {i} = A_ {i} / (I \ cap A_ {i}).}

Uwagi i odniesienia

1. N. Bourbaki , Algebra ( czytaj online ) , str.  III.30.

Powiązany artykuł

Algebra różniczkowa  (en)

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">