Hardy Space

W Hardy'ego w dziedzinie matematyki z analizy funkcjonalnej , to obowiązuje w funkcji analitycznych na płycie jednostkę ? płaszczyźnie zespolonej .

Przypadek Hilberta: przestrzeń H 2 (?)

Definicja

Niech f będzie funkcja holomorficzna na ? wiemy, że f przyznaje się ekspansji szereg Taylora w 0 na dysku jednostkowej:

∀z∈refa(z)=∑nie=0+∞fa^(nie) zniezfa^(nie): =fa(nie)(0)nie!.{\ displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {D} \ qquad f (z) = \ suma _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \, {\ kapelusz {f}} (n) \ z ^ { n} \ qquad {\ text {with}} \ qquad {\ hat {f}} (n): = {\ frac {f ^ {(n)} (0)} {n!}}.}

Następnie mówimy, że f znajduje się w przestrzeni Hardy'ego H 2 (?), jeśli sekwencja należy do ℓ 2 . Innymi słowy, mamy: (fa^(nie)){\ Displaystyle ({\ kapelusz {f}} (n))}

H.2(re)={fa∈H.ol(re) | ∑nie=0+∞|fa^(nie)|2<+∞}{\ Displaystyle H ^ {2} (\ mathbb {D}) = \ lewo \ lbrace f \ in Hol (\ mathbb {D}) ~ \ lewo | ~ \ suma _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \, | {\ hat {f}} (n) | ^ {2} <+ \ infty \ right. \ right \ rbrace}

Następnie określić normę o f o:

‖fa‖2: =(∑nie=0+∞|fa^(nie)|2)12.{\ Displaystyle \ | f \ | _ {2}: = \ lewo (\ suma _ {n = 0} ^ {+ \ infty} | {\ kapelusz {f}} (n) | ^ {2} \ prawej) ^ {\ frac {1} {2}}.}

Przykład

Funkcja należy do H 2 (?), przez zbieżność szeregu ( zbieżny szereg Riemanna ). z↦log⁡(1-z)=-∑nie=1∞znienie{\ displaystyle z \ mapsto \ log (1-z) = - \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {z ^ {n}} {n}}}∑nie≥11nie2{\ Displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ Frac {1} {n ^ {2}}}}

Kolejny wyraz standardu

Dla f holomorficznego na ? i dla 0 ≤ r <1 definiujemy:

M2(fa,r): =(12π∫-ππ|fa(rmijat)|2 ret)12.{\ Displaystyle M_ {2} (fa, r): = \ lewo ({\ Frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ vert f (r \ mathrm { e} ^ {\ mathrm {i} t}) \ vert ^ {2} ~ \ mathrm {d} t \ right) ^ {\ frac {1} {2}}.}

• funkcja r ↦ M 2 ( f , r ) rośnie ponad [0, 1 [ .
• f ∈ H 2 (?) wtedy i tylko wtedy, gdyi mamy:limr→1-M2(fa,r)<+∞{\ Displaystyle \ lim _ {r \ do 1 ^ {-}} M_ {2} (fa, r) ​​<+ \ infty}

‖fa‖22=limr→1-12π∫-ππ|fa(rmijat)|2 ret=łyk0≤r<112π∫-ππ|fa(rmijat)|2 ret.{\ Displaystyle \ | f \ | _ {2} ^ {2} = \ lim _ {r \ do 1 ^ {-}} {{\ Frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi } ^ {\ pi} \ vert f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) \ vert ^ {2} ~ \ mathrm {d} t} = \ sup _ {0 \ leq r < 1} {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ vert f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) \ vert ^ {2} ~ \ mathrm {d} t.} Demonstracja

• Umieśćmy gdzie i . Mamy :z=rmijat{\ displaystyle z = r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}}r∈[0,1[{\ displaystyle r \ in [0,1 [}t∈[-π,π]{\ displaystyle t \ in [- \ pi, \ pi]}fa(z)=∑nie=0+∞fa^(nie)znie w związku z tym fa(rmijat)=∑nie=0+∞fa^(nie)rniemijaniet{\ displaystyle f (z) = \ suma _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ hat {f}} (n) z ^ {n} {\ hbox {w związku z tym}} f (r \ mathrm { e} ^ {\ mathrm {i} t}) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ hat {f}} (n) r ^ {n} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} nt}}Następnie, według wzoru Parsevala , mamy:M2(fa,r)2=∑nie=0+∞|fa^(nie)|2r2nie{\ Displaystyle M_ {2} (fa, r) ​​^ {2} = \ suma _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ vert {\ kapelusz {f}} (n) \ vert ^ {2} r ^ {2n}}Ta formuła dowodzi pierwszego twierdzenia.
• Jeśli f ∈ H 2 (?), z poprzedniego wzoru wynika, że jest to funkcja rosnąca, dlatego istnieje ograniczona i zgodnie z monotonicznym twierdzeniem o zbieżności granica ta jest równa . I odwrotnie, jeśli dla każdego mamy, poprzez wzrost  :M2(fa,.){\ Displaystyle M_ {2} (fa,.)}limr→1-M2(fa,r){\ Displaystyle \ Displaystyle {\ lim _ {r \ rightarrow 1-} M_ {2} (fa, r)}}‖fa‖2{\ displaystyle \ | f \ | _ {2}}limr→1-M2(fa,r)=M<+∞{\ Displaystyle \ Displaystyle {\ lim _ {r \ rightarrow 1-} M_ {2} (fa, r) ​​= M <+ \ infty}}NIE≥0{\ Displaystyle N \ geq 0}M2(fa,r){\ Displaystyle M_ {2} (fa, r)}∑nie=0NIE|fa^(nie)|2r2nie≤∑nie=0+∞|fa^(nie)|2r2nie≤M2{\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {N} \ vert {\ kapelusz {f}} (n) \ vert ^ {2} r ^ {2n} \ równoważnik \ suma _ {n = 0} ^ { + \ infty} \ vert {\ hat {f}} (n) \ vert ^ {2} r ^ {2n} \ leq M ^ {2}}Przechodząc do granicy, gdy zmierza w kierunku, a kiedy zmierza w kierunku , otrzymujemy drugie twierdzenie.r{\ displaystyle r}1-{\ displaystyle 1 ^ {-}}NIE{\ displaystyle N}+∞{\ displaystyle + \ infty}

Niektóre właściwości przestrzeni H 2 (?)

• Przestrzeń Hardy'ego H 2 (?) jest izometrycznie izomorficzna (jako znormalizowana przestrzeń wektorowa ) do ℓ 2 . Jest to zatem przestrzeń Hilberta .

Demonstracja

Rozważamy aplikację zdefiniowaną przez . Jest to dobrze określone przez definicję H 2 (?), jest wyraźnie liniowe. Dzięki wyjątkowości opracowania w całej serii jest iniekcyjny , pozostaje jednak wykazać, że jest on subiektywny . T:H.2(re)→ℓ2{\ Displaystyle T: H ^ {2} (\ mathbb {D}) \ rightarrow \ ell _ {2}}T(fa)=(fa^(nie)){\ Displaystyle T (f) = ({\ kapelusz {f}} (n))}

Niech więc będzie ograniczony cały szereg f określony przez promień zbieżności większy lub równy 1, w szczególności i . jest zatem suriektywny. (wnie)∈ℓ2{\ displaystyle (a_ {n}) \ in \ ell _ {2}}(wnie){\ displaystyle (a_ {n})}fa(z)=∑nie=0+∞wnieznie{\ Displaystyle f (z) = \ suma _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} z ^ {n}}fa∈H.ol(re){\ displaystyle f \ in Hol (\ mathbb {D})}T(fa)=(wnie){\ Displaystyle T (f) = (a_ {n})}T{\ displaystyle T}

• Dla wszystkich f ∈ H 2 (?) i dla wszystkich z w ? mamy:

|fa(z)|≤‖fa‖21-|z|2.{\ Displaystyle \ vert f (z) \ vert \ leq {\ Frac {\ | f \ | _ {2}} {\ sqrt {1- \ vert z \ vert ^ {2}}}}.} Demonstracja

Nierówność Cauchy'ego-Schwarza stosujemy do rozwinięcia f w szeregu Taylora przy 0. Mamy zatem dla wszystkich z w ?:

|fa(z)|≤∑nie=0+∞|fa^(nie)||z|nie≤‖fa‖2(∑nie=0+∞|z|2nie)12=‖fa‖21-|z|2{\ Displaystyle \ vert f (z) \ vert \ równoważnik \ suma _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ vert {\ kapelusz {f}} (n) \ vert \ vert z \ vert ^ {n} \ leq \ | f \ | _ {2} \, {(\ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ vert z \ vert ^ {2n})} ^ {\ frac {1} {2} } = {\ frac {\ | f \ | _ {2}} {\ sqrt {1- \ vert z \ vert ^ {2}}}}}.

Oznacza to, że liniowa mapa ocen f ↦ f ( z ) , od H 2 (?) do ℂ, jest ciągła dla wszystkich z w ? i jej norma jest mniejsza niż:

11-|z|2.{\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ sqrt {1- \ vert z \ vert ^ {2}}}}.}

W rzeczywistości możemy pokazać, że norma jest dokładnie równa tej stałej.

• Słaba topologia z kuli jednostkowej o H 2 (?) pokrywa się z topologią zbieżność na każdym wypraski .

Kolejne dwie właściwości są zatem bezpośrednimi konsekwencjami tej drugiej.

• Niech ( f n ) będzie ciągiem elementów H 2 (?), które zbiegają się w normie w kierunku f, a następnie ( f n ) zbiegają się równomiernie na dowolnym zwarciu ? w kierunku f .
• Niech ( f n ) będzie ciągiem elementów H 2 (?) zawartych w kuli jednostkowej. Następnie możemy wyodrębnić podciąg, który zbiega się równomiernie na dowolnym zwartym of.

Ogólny przypadek

Definicja

Dla 0 < p <+ ∞ definiuje się przestrzeń Hardy'ego H p (?) jako przestrzeń funkcji analitycznych f na dysku jednostkowym, takich jak:

łyk0<r<1(∫02π|fa(rmijat)|p ret2π)<+∞.{\ Displaystyle \ sup _ {0 <r <1} \ lewo (\ int _ {0} ^ {2 \ pi} | f (r \ operatorname {e} ^ {\ operatorname {i} t}) | ^ { p} ~ {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ right) <+ \ infty.}

Następnie definiujemy:

‖fa‖p=łyk0<r<1(∫02π|fa(rmijat)|p ret2π)1p.{\ Displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ sup _ {0 <r <1} \ lewo (\ int _ {0} ^ {2 \ pi} | f (r \ operatorname {e} ^ {\ mathrm {i} t}) | ^ {p} ~ {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ right) ^ {\ frac {1} {p}}.}

Niektóre właściwości

• Dla p ≥ 1 , H p (?) jest przestrzenią Banacha .
• Niech f ∈ H p (?) dla p ≥ 1 . Więc dla prawie wszystkich t (w sensie miary Lebesgue'a ):fa∗(mijat): =limr→1-fa(rmijat){\ Displaystyle f ^ {*} (\ operatorname {e} ^ {\ operatorname {i} t}): = \ lim _ {r \ do 1 ^ {-}} f (r \ operatorname {e} ^ {\ mathrm {i} t})}Istnieje i mapa f ↦ f * jest isometry o H P (?) w podprzestrzeni w którym:H.∗p{\ displaystyle H _ {*} ^ {p}}Lp([0,2π],ret2π){\ Displaystyle L ^ {p} \ lewo ([0,2 \ pi], {\ Frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ prawo)}H.∗p={fa∈Lp([0,2π],ret2π) | ∀nie≤-1, fa^(nie)=0}.{\ Displaystyle H _ {*} ^ {p} = \ lewo \ {\ lewo.f \ w L ^ {p} \ lewo ([0,2 \ pi], {\ Frac {\ mathrm {d} t}) {2 \ pi}} \ right) ~ \ right | ~ \ forall n \ leq -1, ~ {\ hat {f}} (n) = 0 \ right \}.}
• Mamy inną charakterystykę normy dzięki właściwościom funkcji subharmonicznych  : Dla dowolnego f ∈ H p (?) mamy:

‖fa‖p=limr→1-(∫02π|fa(rmijat)|pret2π)1p.{\ Displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ lim _ {r \ do 1 ^ {-}} \ lewo (\ int _ {0} ^ {2 \ pi} | f (r \ operatorname {e} ^ {\ mathrm {i} t}) | ^ {p} {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ right) ^ {\ frac {1} {p}}.}

Faktoryzacja Beurlinga

Bibliografia

• (en) Peter L. Duren , Theory of H p Spaces , Dover ,2000, 292  pkt. ( ISBN  978-0-486-41184-2 , czytaj online )
• Nikolaï Nikolski, Elementy analizy zaawansowanej T.1 - Spaces of Hardy , Belin ,listopad 2012, ( ISBN  978-2701163482 )

Powiązany artykuł

Ryby rdzeń

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">