Produkt wektorowy
W matematyce , a dokładniej w geometrii , iloczyn wektorowy jest operacją wektorową wykonywaną w zorientowanych przestrzeniach euklidesowych o wymiarze 3. Obecnie stosowany formalizm pojawił się w 1881 r. W podręczniku analizy wektorowej napisanym przez Josiaha Willarda Gibbsa dla jego uczniów fizycznych. Praca Hermanna Günthera Grassmanna i Williama Rowana Hamiltona jest źródłem iloczynu krzyżowego zdefiniowanego przez Gibbsa.
Historia
streszczenie
Utworzenie koncepcji produktu wektora zdejmuje się z drugiej połowy XIX E wieku , nawet jeśli Lagrange'a wykorzystuje 1773 ilościach porównywalnych do składników iloczynu dwóch wektorów. Ale to użycie pozostaje ograniczone do jednorazowego użycia. W 1843 roku Hamilton wynalazł kwaternionie, które pozwoliły na naturalne wprowadzenie produktu krzyżowego . Niezależnie iw tym samym okresie (1844) Grassmann definiuje w Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik „iloczyn geometryczny” rozważań geometrycznych; ale nie definiuje jasno iloczynu krzyżowego. Następnie Grassmann przeczytał Hamiltona i zainspirowany jego pracą opublikował w 1862 r. Drugą wersję swojego traktatu, która była znacznie jaśniejsza. Podobnie Hamilton czyta prace Grassmanna, komentuje je i docenia. Później Maxwell zaczął wykorzystywać teorię kwaternionów, aby zastosować ją do fizyki. Po Maxwellu Clifford gruntownie zmodyfikował formalizm tego, co stało się analizą wektorową . Interesuje się twórczością Grassmanna i Hamiltona z wyraźnym upodobaniem do tej pierwszej. W swojej pracy Elements of Dynamic (1878) Clifford definiuje iloczyn poprzeczny dwóch wektorów jako wektor prostopadły do dwóch wektorów i którego wielkość jest równa powierzchni równoległoboku utworzonego przez oba wektory. W 1881 roku Gibbs opublikował elementy analizy wektorowej przygotowanej dla studentów fizyki, czerpiąc inspirację z wcześniejszych prac, w tym Clifforda i Maxwella. Jeśli fizycy szybko posłużyli się formalizmem Gibbsa, w matematyce został on zaakceptowany znacznie później i po kilku modyfikacjach.
Anegdota
Peter Guthrie Tait we wstępie do trzeciego wydania swojego traktatu o kwaternionach opisuje nowy formalizm stworzony przez Gibbsa jako „hermafrodytycznego potwora, złożonego z notacji Hamiltona i Grassmanna” .
Ocena
O iloczyn krzyżowy konkuruje kilka notacji:
W tym artykule zostanie użyta pierwsza konwencja (ze strzałkami na wektorach lub bez).
Definicja
Niech E będzie zorientowaną euklidesową przestrzenią wektorową o wymiarze 3. Wybierając bazę ortonormalną , E można utożsamiać z przestrzenią R 3 , ale identyfikacja ta nie jest obowiązkowa do zdefiniowania iloczynu wektorowego.
Z geometrycznego punktu widzenia ,
iloczyn dwóch wektorów i o E nie współliniowe jest zdefiniowana jako jeden wektor taki, że:
u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}v→{\ displaystyle {\ vec {czas}}}w→{\ displaystyle {\ vec {w}}}
- wektor jest ortogonalny do dwóch danych wektorów;w→{\ displaystyle {\ vec {w}}}
-
‖w→‖=‖u→‖‖v→‖|grzech(u→,v→^)|{\ Displaystyle \ | {\ vec {w}} \ | = \ | {\ vec {u}} \ | \ | {\ vec {v}} \ | \ lewo | \ sin ({\ widehat {{\ vec {u}}, {\ vec {v}}}}) \ right |} ;
- baza jest prosta ,(u→,v→,w→){\ displaystyle ({\ vec {u}}, {\ vec {v}}, {\ vec {w}})}
a iloczyn poprzeczny dwóch wektorów współliniowych jest z definicji zerowy .
W szczególności :
- dwa wektory są współliniowe wtedy (i tylko wtedy), gdy ich iloczyn poprzeczny wynosi zero;
- dwa wektory są ortogonalne wtedy i tylko wtedy, gdy norma ich iloczynu krzyżowego jest równa iloczynowi ich norm;
- moduł iloczynu poprzecznego jest równy powierzchni równoległoboku zdefiniowanej przez dwa wektory i .w→{\ displaystyle {\ vec {w}}}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}v→{\ displaystyle {\ vec {czas}}}
Pojęcie orientacji można tu rozumieć w sposób elementarny, posługując się regułą prawej ręki : kciuk, palec wskazujący i środkowy, rozdzielone trójścienną, wskazują odpowiednio kierunek , of i of . Ta definicja , stosowana w szkolnictwie średnim, nie jest w pełni zadowalająca, ale pozostaje podejściem dostosowanym do zastosowań, w szczególności w fizyce (patrz orientacja artykułu (matematyka) dla bardziej teoretycznego podejścia).
u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}v→{\ displaystyle {\ vec {czas}}}w→{\ displaystyle {\ vec {w}}}
Definicja według produktu mieszanego
W drugiej definicji punktem wyjścia jest teoria wyznaczników i pojęcie produktu mieszanego . Iloczyn mieszany trzech wektorów u , v , w , oznaczony [ u , v , w ] jest wyznacznikiem trzech wektorów w b ase o rtho n Ormee d irecte (BOND). Formuła zmiany podstawy pokazuje, że wyznacznik ten jest niezależny od wyboru bezpośredniej podstawy; geometrycznie jest równa zorientowanej objętości równoległościanu podpartego na wektorach u , v , w .
Iloczyn poprzeczny dwóch wektorów u i v jest unikalnym wektorem u ∧ v takim, że dla każdego w mamy:
[u,v,w]=(u∧v)⋅w.{\ Displaystyle [u, v, w] = (u \ klin v) \ cdot w.}
Iloczyn poprzeczny interpretuje się jako zmiany zorientowanej objętości równoległościanu w funkcji trzeciego boku.
Przy takiej definicji możliwe jest zdefiniowanie w zorientowanej przestrzeni wektorowej o wymiarze n + 1 iloczynu poprzecznego n wektorów.
Definicja ta została przeformułowana poprzez odwołanie się do formalizmu przestrzeni euklidesowych . Produkt wektora u ∧ V jest to podwójny wektor z liniowej mapy wagowo : ⟼ [ U , V , W ] , podano za Riesza „reprezentowania twierdzenia .
Obliczanie komponentów
Dowolny wybór bezpośredniej podstawy ortonormalnej daje identyfikację E i . Oznaczmy współrzędne u = ( u 1 , u 2 , u 3 ) i v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) .
R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}
Ich iloczyn krzyżowy daje:
u∧v=(u2v3-u3v2u3v1-u1v3u1v2-u2v1){\ displaystyle u \ wedge v = {\ początek {pmatrix} u_ {2} v_ {3} -u_ {3} v_ {2} \\ u_ {3} v_ {1} -u_ {1} v_ {3} \\ u_ {1} v_ {2} -u_ {2} v_ {1} \ end {pmatrix}}}.
Ta trzecia definicja, ponieważ jest równoważna dwóm poprzednim, jest niezależna, wbrew pozorom, od wyboru bezpośredniej bazy ortonormalnej, w której obliczane są współrzędne.
Nieruchomości
Właściwości algebraiczne
- Iloczyn krzyżowy jest produktem dystrybucyjnym, anty-przemiennym:
-
Dystrybucja w odniesieniu do dodawania:
u∧(v+w)=u∧v+u∧w{\ Displaystyle u \ klin (v + w) = u \ klin v + u \ klin w},
- Zgodność z mnożeniem przez skalar :
λ(u∧v)=λu∧v=u∧λv{\ Displaystyle \ lambda (u \ klin v) = \ lambda u \ klin v = u \ klin \ lambda v},
-
Antysymetria :
u∧v=-v∧u{\ Displaystyle u \ klin v = -v \ klin u}.
Właściwości te wynikają bezpośrednio z definicji iloczynu krzyżowego przez iloczyn mieszany oraz z właściwości algebraicznych wyznacznika.
- Nie jest asocjacyjny - to znaczy, że generalnie u ∧ ( v ∧ w ) nie jest równy ( u ∧ v ) ∧ w - a dokładniej sprawdza równości podwójnego wektora iloczynu :
u∧(v∧w)=(u⋅w)v-(u⋅v)wi(u∧v)∧w=(u⋅w)v-(v⋅w)u{\ Displaystyle u \ klin (v \ klin w) = (u \ cdot w) v- (u \ cdot v) w \ qquad {\ tekst {i}} \ qquad (u \ klin v) \ klin w = ( u \ cdot w) v- (v \ cdot w) u}.
Dowód równości iloczynu podwójnego krzyża
Zauważ najpierw, że każda z dwóch równości jest wyprowadzana z drugiej przez antysymetrię i że są one natychmiastowe, gdy dwa wektory w nawiasach, w podwójnym iloczynu, są połączone. Wymieńmy kilka z wielu metod zademonstrowania jednej lub drugiej, od najbardziej kalkulacyjnych do najbardziej naukowych.
- Możemy rozwinąć dwa elementy równania we współrzędnych w dowolnej bezpośredniej bazie ortonormalnej i zobaczyć, że oba wyniki są równe.
- Standardową metodą jest zrobienie tego samego, ale na bezpośredniej podstawie ortonormalnej odpowiadającej metodzie Grama-Schmidta (przy założeniu swobodnej), co upraszcza obliczenia.(u,v){\ displaystyle (u, v)}
- Od razu możemy zauważyć, że zawsze istnieją dwie liczby rzeczywiste α , β takie, że
u∧(v∧w)=αv+βw{\ Displaystyle u \ klin (v \ klin w) = \ alfa v + \ beta w}
(rzeczywiście, jeśli v i w są niezależne, płaszczyzna, którą generują, jest ortogonalną ich iloczynu krzyżowego, ale iloczyn podwójny należy do tego ortogonalnego), a nawet (wykonując iloczyn skalarny dwóch elementów przez u ), że istnieje istnieje prawdziwe λ takie, że
u∧(v∧w)=λ((u⋅w)v-(u⋅v)w){\ Displaystyle u \ klin (v \ klin w) = \ lambda ((u \ cdot w) v- (u \ cdot v) w)}.
Następnie pokazujemy, że λ jest niezależne od u , v i w . Kończymy, obliczając jego wartość w prostej konfiguracji: na przykład, jeśli ( u , v ) jest ortonormalne, to u ∧ ( v ∧ u ) = v, a zatem λ = 1.
- Zamiast bezpośrednio porównywać dwa elementy równości, możemy porównać ich iloczyn skalarny z dowolnym wektorem x , korzystając z właściwości wyznacznika Grama :
(x⋅((u⋅w)v-(u⋅v)w))=(x⋅v)(u⋅w)-(x⋅w)(u⋅v)=Gram(x,u;v,w)=((x∧u)⋅(v∧w))=[x,u,v∧w]=(x⋅(u∧(v∧w))).{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} (x \ cdot ((u \ cdot w) v- (u \ cdot v) w)) & = (x \ cdot v) (u \ cdot w) - (x \ cdot w) (u \ cdot v) \\ & = \ nazwa operatora {Gram} (x, u; v, w) \\ & = ((x \ wedge u) \ cdot (v \ wedge w)) \\ & = [x, u, v \ wedge w] \\ & = (x \ cdot (u \ wedge (v \ wedge w))). \ end {aligned}}}
-
D.-J. Mercier, Test prezentacji na matematyce CAPES, vol. 4 , Publibook, 2008 ( ISBN 978-2-74834110-2 ) , s. 301.
-
Poprawione ćwiczenie na uel.unisciel.fr.
-
H. Muller, R. Weidenfeld i A. Boisseau, Mathematics MPSI , Bréal, 2008 ( ISBN 978-2-74950033-1 ) , str. 75 .
-
Aby uzyskać więcej informacji, zobacz rozdział „Podwójny produkt wektorowy” na Wikiwersytecie .
-
R.Ferréol, MPSI 09/10, Ćwiczenia o przestrzeniach euklidesowych , ćwiczenie 44.
-
P. Dupont, Wprowadzenie do geometrii , De Boeck, 2002 ( ISBN 978-2-80414072-4 ) , str. 194, daje nawet, tą metodą, uogólnienie wzoru w dowolnym wymiarze.
u∧(v∧w)+w∧(u∧v)+v∧(w∧u)=0{\ Displaystyle u \ klin (v \ klin w) + w \ klin (u \ klin v) + v \ klin (w \ klin u) = 0}.
((bvs′-b′vs)2+(vsw′-vs′w)2+(wb′-w′b)2)+(ww′+bb′+vsvs′)2=(w2+b2+vs2)(w′2+b′2+vs′2),{\ Displaystyle \ lewo ((bc'-b'c) ^ {2} + (ca'-c'a) ^ {2} + (ab'-a'b) ^ {2} \ prawej) + (aa '+ bb' + cc ') ^ {2} = (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) (a' ^ {2} + b '^ {2} + c' ^ {2}),}
możemy łatwo wykazać równość
‖u→∧v→‖2+(u→⋅v→)2=‖u→‖2‖v→‖2{\ Displaystyle \ | {\ vec {u}} \ klin {\ vec {v}} \ | ^ {2} + ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}}) ^ {2} = \ | {\ vec {u}} \ | ^ {2} \ | {\ vec {v}} \ | ^ {2}}
który można również zapisać w postaci:
(‖u→∧v→‖‖u→‖‖v→‖)2+(u→⋅v→‖u→‖‖v→‖)2=1,{\ displaystyle \ left ({\ dfrac {\ | {\ vec {u}} \ wedge {\ vec {v}} \ |} {\ | {\ vec {u}} \ | \ | {\ vec {v} }} \ |}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ dfrac {{\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}}} {\ | {\ vec {u}} \ | \ | {\ vec {v}} \ |}} \ right) ^ {2} = 1,}
co jest równoważne tożsamości trygonometrycznejgrzech2(u→,v→^)+sałata2(u→,v→^)=1{\ Displaystyle \ sin ^ {2} ({\ widehat {{\ vec {u}}, {\ vec {v}}}}) + \ cos ^ {2} ({\ widehat {{\ vec {u} }, {\ vec {czas}}}}) = 1}i który jest niczym innym jak tylko jednym ze sposobów pisania twierdzenia Pitagorasa .
- Pierwsze właściwości algebraiczne powyżej ( dwuliniowość i wzór na iloczyn wektorów podwójnych) zapewniają rozwiązanie problemu dzielenia wektorów u ∧ x = v , gdzie niewiadomą jest wektor x, a dane to dwa wektory u i v , zakładając, że u nie jest zerem i ortogonalna do v (w przeciwnym razie rozdzielczość jest natychmiastowa). Rzeczywiście, z u ∧ ( v ∧ u ) = ║ u ║ 2 v , wnioskujemy, że x 0 = ( v ∧ u ) / ║ u ║ 2 jest rozwiązaniem. Jednak jądrem mapy liniowej x ↦ u ∧ x jest linia wektorowa R u , więc zbiór rozwiązań tego równania liniowego to x 0 + R u .
Niezmienność według izometrii
Iloczyn poprzeczny jest niezmienny przez działanie bezpośrednich izometrii wektorów. Dokładniej, dla wszystkich wektorów u i v z E oraz dla dowolnego obrotu f z E otrzymujemy:
fa[u∧v]=fa(u)∧fa(v).{\ Displaystyle f \ lewo [u \ klin v \ w prawo] = f (u) \ klin f (v).}
Tożsamość można udowodnić na różne sposoby w zależności od przyjętego podejścia:
Definicja geometryczna : Tożsamość jest natychmiastowa z pierwszą definicją, ponieważ f zachowuje ortogonalność, orientację i długości.
Produkt mieszany : izomorfizm liniowy f pozostawia niezmienny produkt mieszany trzech wektorów. Rzeczywiście, produkt mieszany f ( u ) , f ( v ) , f ( w ) można obliczyć na obrazie przez f bezpośredniej bazy ortonormalnej, w której obliczany jest produkt mieszany u , v i w . W rzeczywistości poprzednia tożsamość jest uzyskiwana natychmiast:
(fa(u)∧fa(v))⋅fa(w)=[fa(u),fa(v),fa(w)]=[u,v,w]=(u∧v)⋅w=fa(u∧v)⋅fa(w){\ Displaystyle (fa (u) \ klin f (v)) \ cdot f (w) = [fa (u), f (v), f (w)] = [u, v, w] = (u \ klin v) \ cdot w \, = f (u \ wedge v) \ cdot f (w)}gdzie f ( w ) przechodzi przez całą przestrzeń wektorową, gdy w ją przechodzi, ponieważ f jest bijekcją, stąd pożądana równość.
Alternatywne definicje
Jako produkt Lie
Każda bezpośrednia izometria R 3 jest rotacją wektorową. Zbiór bezpośrednich izometrii tworzy klasyczną grupę Liego oznaczoną jako SO (3) (innymi słowy, zamkniętą podgrupę GL 3 ( R )). Jego Lie Algebra , oznaczone tak (3) jest podalgebrą Lie od gl 3 ( R ), określony jako powierzchni styczności SO (3), tożsamości. Bezpośrednie obliczenia pokazują, że jest to przestrzeń macierzy antysymetrycznych o rozmiarze 3. Ta przestrzeń jest a fortiori stabilna dzięki haczykowi Liego.
Każda macierz antysymetryczna A o rozmiarze 3 jest zapisana w unikalny sposób
W=(0-w3w2w30-w1-w2w10){\ Displaystyle \ mathrm {A} = {\ rozpocząć {pmatrix} 0 i -a_ {3} i_ {2} \\ a_ {3} i 0 i -a_ {1} \\ - a_ {2} i_ {1} & 0 \ end {pmatrix}}}
Identyfikując A i wektor , definiujemy izomorfizm liniowy między so (3) a R 3 . Hak Liego jest przenoszony przez ten izomorfizm, a R 3 dziedziczy strukturę algebry Liego. Nawias [ u , v ] dwóch wektorów jest dokładnie iloczynem krzyżowym u i v .
w=(w1,w2,w3){\ displaystyle a = (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3})}
Rzeczywiście, jeśli i , ich hak jest obliczany przez wprowadzenie odpowiednich macierzy antysymetrycznych i :
u=(u1,u2,u3){\ Displaystyle u = (u_ {1}, u_ {2}, u_ {3})}v=(v1,v2,v3){\ displaystyle v = (v_ {1}, v_ {2}, v_ {3})}U{\ displaystyle U}V{\ displaystyle V}
[U,V]=UV-VU=(0v1u2-u1v2v1u3-u1v3u1v2-v1u20v2u3-u2v3u1v3-v1u3u2v3-v2u30){\ Displaystyle [\ mathrm {U}, \ mathrm {V}] = \ mathrm {U} \ mathrm {V} - \ mathrm {V} \ mathrm {U} = {\ zaczynać {pmatrix} 0 i v_ {1 } u_ {2} -u_ {1} v_ {2} & v_ {1} u_ {3} -u_ {1} v_ {3} \\ u_ {1} v_ {2} -v_ {1} u_ {2 } & 0 & v_ {2} u_ {3} -u_ {2} v_ {3} \\ u_ {1} v_ {3} -v_ {1} u_ {3} & u_ {2} v_ {3} - v_ {2} u_ {3} & 0 \ end {pmatrix}}}Odpowiedni wektor, a mianowicie , ma współrzędne
. Dlatego też podejście to na nowo definiuje iloczyn krzyżowy.
[u,v]{\ displaystyle [u, v]}(u2v3-v2u3,u3v1-v3u1,u1v2-v1u2){\ displaystyle (u_ {2} v_ {3} -v_ {2} u_ {3}, u_ {3} v_ {1} -v_ {3} u_ {1}, u_ {1} v_ {2} -v_ {1} u_ {2})}
Jeśli zastosujemy to podejście, możliwe jest bezpośrednie udowodnienie niezmienności iloczynu krzyżowego za pomocą bezpośrednich izometrii.
fa[u∧v]=fa(u)∧fa(v).{\ Displaystyle f \ lewo [u \ klin v \ w prawo] = f (u) \ klin f (v).}
Jako algebry Liego, więc (3) został zidentyfikowany z R 3 . (Liniowe) działanie SO 3 ( R ) na R 3 jest utożsamiane z działaniem przez sprzężenie na so (3). SO 3 ( R ) działa zatem na zasadzie automorfizmu algebr Liego. Innymi słowy, powyższa tożsamość jest weryfikowana.
Jako produkt wyimaginowanych kwaternionów
Można znaleźć iloczyn krzyżowy i iloczyn skalarny z iloczynu dwóch czystych kwaternionów . Przypominamy, że (nieprzemienne) pole kwaternionów H jest unikalnym rozszerzeniem R wymiaru 4. Jego podstawą kanoniczną jest (1, i, j, k), gdzie podprzestrzeń generowana przez i , j i k tworzy l przestrzeń czystej kwaternionów, kanonicznie identyfikowanych z R 3 . Te elementy potwierdzają:
ja2=jot2=k2=jajotk=-1{\ Displaystyle {\ rm {i}} ^ {2} = {\ rm {j}} ^ {2} = {\ rm {k}} ^ {2} = {\ rm {ijk}} = - 1} ;
jajot=-jotja=k;jotk=-kjot=ja;kja=-jak=jot{\ Displaystyle {\ rm {ij}} = - {\ rm {ji}} = {\ rm {k}} \ quad; \ quad {\ rm {jk}} = - {\ rm {kj}} = { \ rm {i}} \ quad; \ quad {\ rm {ki}} = - {\ rm {ik}} = {\ rm {j}}}.
Jeśli q 1 = a 1 i + b 1 j + c 1 k i q 2 = a 2 i + b 2 j + c 2 k , iloczyn q 1 q 2 oblicza się natychmiast:
q1q2=-(w1w2+b1b2+vs1vs2)+(b1vs2-b2vs1)ja+(vs1w2-vs2w1)jot+(w1b2-w2b1)k.{\ Displaystyle q_ {1} q_ {2} = - (a_ {1} a_ {2} + b_ {1} b_ {2} + c_ {1} c_ {2}) + (b_ {1} c_ {2 } -b_ {2} c_ {1}) {\ rm {i}} + (c_ {1} a_ {2} -c_ {2} a_ {1}) {\ rm {j}} + (a_ {1 } b_ {2} -a_ {2} b_ {1}) {\ rm {k}}.}
Część rzeczywista jest podana do najbliższego znaku iloczynu skalarnego q 1 i q 2 ; część urojoną jest czystym kwaternionem, który odpowiada iloczynowi poprzecznemu, po identyfikacji z R 3 .
Zbieżność ta znajduje swoje wyjaśnienie w parametryzacji grupy SO (3) przez jednostki kwaternionów.
Elementy wyjaśniające
Odwzorowanie liniowe wysyłające 1 do 1, i do –i , j do –j oraz k do –k nazywa się koniugacją. Sprzężoną z kwaternionów q jest oznaczona przez Q . Quaternion jest prawdziwy wtedy i tylko wtedy, gdy jest równy swojemu koniugatowi. Zastosowanie wyznacza wewnętrzną produkt w przestrzeni wektorów H . Mówi się, że quaternion jest unitarny, gdy ma normę 1. W tym przypadku z samej definicji iloczynu skalarnego wynika, że jest on odwracalny i że jego odwrotność jest jego sprzężeniem. Zbiór kwaternionów jednostkowych, sfera jednostkowa S 3 , tworzy zwartą i łatwo połączoną grupę (Lie) . To działa na przestrzeni wyimaginowanych kwaterniony sprzęgania. Dla dowolnego unitarnego kwaternionu u i dla dowolnego urojonego kwaternionu q :
(q,q′)↦qq′¯{\ displaystyle (q, q ') \ mapsto q {\ overline {q'}}} u⋅q=uqu¯=uqu-1.{\ Displaystyle u \ cdot q = uq {\ overline {u}} = uqu ^ {- 1}.}
Ta akcja zachowuje standard; innymi słowy, jest to działanie izometryczne. Dlatego definiuje morfizm grup:
S3→SO(3){\ Displaystyle S ^ {3} \ rightarrow SO (3)}Ten morfizm jest w rzeczywistości uniwersalnym pokryciem grupy SO (3). Dlatego indukuje izomorfizm między algebrami Liego.
Algebra Liego S 3 jest dokładnie przestrzenią urojonych kwaternionów wyposażonych w hak Liego otrzymany jako urojona część iloczynu kwaternionów. Ta algebra Liego jest izomorficzna z algebrą Liego R 3 (dostarczoną z iloczynem krzyżowym).
Jest to podstawowy powód, dla którego urojona część dwóch urojonych kwaternionów jest utożsamiana z iloczynem krzyżowym.
Znowu możliwe jest uzasadnienie niezmienności za pomocą izometrii. Każda izometria przestrzeni urojonych kwaternionów jest zapisywana jako koniugacja przez unitarny kwaternion. Jeśli q jest unitarnym kwaternionem, a q 1 , q 2 są urojonymi kwaternionami, wystarczy zauważyć:
[qq1q¯].[qq2q¯]=q(q1q2)q¯{\ Displaystyle \ lewo [qq_ {1} {\ overline {q}} \ prawo]. \ lewo [qq_ {2} {\ overline {q}} \ prawo] = q (q_ {1} q_ {2}) {\ overline {q}}}aby wydedukować izometryczną niezmienność iloczynu krzyżowego.
Przez iloczyn tensora
Niech będą dwoma wektorami u i v, których 3 współrzędne w bezpośredniej bazie ortonormalnej oznaczamy odpowiednio i . Możemy zdefiniować tensor, którego 9 współrzędnych jest
uja{\ displaystyle u_ {i}}vjot{\ displaystyle v_ {j}} u⊗v{\ displaystyle u \ otimes v}
(u1v1u1v2u1v3u2v1u2v2u2v3u3v1u3v2u3v3){\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} u_ {1} v_ {1} i u_ {1} v_ {2} i u_ {1} v_ {3} \\ u_ {2} v_ {1} i u_ {2} v_ {2} & u_ {2} v_ {3} \\ u_ {3} v_ {1} & u_ {3} v_ {2} & u_ {3} v_ {3} \\\ end {pmatrix}}}który w notacji tensorycznej jest napisany po prostu .
(u⊗v)jajot=ujavjot{\ Displaystyle (u \ otimes v) _ {ij} = u_ {i} \, v_ {j}}
Ten tensor można podzielić na połowę sumy dwóch tensorów, jeden całkowicie symetryczny, który ma 6 niezależnych współrzędnych podanych przez , a drugi całkowicie antysymetryczny, który ma 3 niezależne współrzędne podane przez .
u⊙v=u⊗v+v⊗u{\ Displaystyle u \ odot v = u \ otimes v + v \ otimes u}(u⊙v)jajot=ujavjot+vjaujot{\ Displaystyle (u \ odot v) _ {ij} = u_ {i} \, v_ {j} + v_ {i} \, u_ {j}}u∧v=u⊗v-v⊗u{\ displaystyle u \ wedge v = u \ otimes vv \ otimes u}(u∧v)jajot=ujavjot-vjaujot{\ Displaystyle (u \ klin v) _ {ij} = u_ {i} \, v_ {j} -v_ {i} \, u_ {j}}
Możemy skojarzyć wektor z, którego współrzędne są:
u∧v{\ displaystyle u \ wedge v}
z1=(u∧v)23,z2=(u∧v)31,z3=(u∧v)12{\ Displaystyle z_ {1} = (u \ klin v) _ {23} \; z_ {2} = (u \ klin v) _ {31} \; z_ {3} = (u \ klin v) _ {12}}który za pomocą symbolu Levi-Civita można zapisaćε{\ displaystyle \ varepsilon}zk=εjajotkujavjot{\ displaystyle z_ {k} = \ varepsilon _ {ijk} \, u_ {i} \, v_ {j}}
Zgodnie z konwencją sumowania Einsteina sumujemy po i i j w powyższym wzorze. Na przykład dla k = 3 ( i i j w zakresie od 1 do 3) ,.
z3=εjajot3ujavjot=ε123u1v2+ε213u2v1=u1v2-v1u2{\ Displaystyle Z_ {3} = \ varepsilon _ {ij3} \, u_ {i} \, v_ {j} = \ varepsilon _ {123} \, u_ {1} \, v_ {2} + \ varepsilon _ { 213} \, u_ {2} \, v_ {1} = u_ {1} \, v_ {2} -v_ {1} \, u_ {2}}
Ponieważ ta równość jest zachowana podczas zmiany bezpośredniej bazy ortonormalnej, z jest rzeczywiście iloczynem krzyżowym u i v .
Uwaga: W powyższym piśmie oznacz iloczyn zewnętrzny wektorów u i v . Z notacją dla iloczynu krzyżowego możemy napisać itd. co nie stanowi żadnego problemu. Z francuską notacją iloczynu krzyżowego otrzymujemy coś, co może prowadzić do nieporozumień.
u∧v{\ displaystyle u \ wedge v}×{\ displaystyle \ times}(u×v)1=(u∧v)23{\ Displaystyle (u \ razy v) _ {1} = (u \ klin v) _ {23}}∧{\ displaystyle \ wedge}(u∧v)1=(u∧v)23{\ Displaystyle (u \ klin v) _ {1} = (u \ klin v) _ {23}}
W ogólnym przypadku podstawa niekoniecznie jest bezpośrednia ortonormalna. Ponieważ produkt zewnętrzny , określa się wewnętrznie (definicja tensora), wyrażenie jego współrzędnych niezmienione . Ale to nie jest to samo w przypadku iloczynu krzyżowego. Aby uogólnić przypadek dowolnej bazy (zawsze w wymiarze 3), konieczne jest wprowadzenie współrzędnych kowariantnych i kontrawariantnych oraz tensora Levi-Civitau∧v{\ displaystyle u \ wedge v}(u∧v)jajot=ujavjot-vjaujot{\ Displaystyle (u \ klin v) _ {ij} = u_ {i} \, v_ {j} -v_ {i} \, u_ {j}} η{\ displaystyle \ eta}
Otrzymujemy wtedy lub w równoważny sposóbzk=ηjajotkujavjot{\ Displaystyle Z_ {k} = \ eta _ {ijk} \, u ^ {i} \, v ^ {j}}zk=ηjajotkujavjot{\ displaystyle z ^ {k} = \ eta ^ {ijk} \, u_ {i} \, v_ {j}}
Z własności algebraicznych
Charakterystyka iloczynu krzyżowego w wymiarze 3
Twierdzenie: jeśli mapa bilinear oznaczamy przez w E , E przestrzeń rzeczywista wektora wymiarze 3, spełnia dla wszystkich :
∧{\ displaystyle \ wedge}mi×mi{\ displaystyle E \ razy E}u,v,w{\ Displaystyle u, v, w}
- Reguła wymiany: (u∧v)⋅w=u⋅(v∧w){\ Displaystyle (u \ klin v) \ cdot w = u \ cdot (v \ klin w)}
- Podwójna formuła produktu: u∧(v∧w)=(u⋅w)v-(u⋅v)w{\ Displaystyle u \ klin (v \ klin w) = (u \ cdot w) v- (u \ cdot v) w \ qquad}
Wtedy istnieje orientację E , jak to produkt wektora E .
∧{\ displaystyle \ wedge}
Kolejne etapy demonstracji:
w. Pokazujemy zaczynając od i używając 1, a następnie 2.
‖u∧v‖2=‖u‖2‖v‖2-(u⋅v)2{\ Displaystyle \ lVert u \ klin v \ rVert ^ {2} = \ lVert u \ rVert ^ {2} \ lVert v \ rVert ^ {2} - (u \ cdot v) ^ {2}}‖u∧v‖2=(u∧v)⋅(u∧v){\ Displaystyle \ lVert u \ klin v \ rVert ^ {2} = (u \ klin v) \ cdot (u \ klin v)}
b. Wyprowadza się z tego bezpośrednio (równość w nierówności Cauchy'ego-Schwarza ), a następnie obliczając .
u∧v=0⇔(u,v) uwiązany{\ Displaystyle u \ klin v = 0 \ Leftrightarrow (u, v) {\ tekst {połączony}}}u∧v=-v∧u{\ Displaystyle u \ klin v = -v \ klin u}(u+v)∧(u+v){\ Displaystyle (u + v) \ klin (u + v)}
vs. Niech będą dwoma ortogonalnymi znormalizowanymi wektorami, a następnie używając 1 i a. pokazujemy, że jest ortonormalny, to i .
mi1,mi2{\ Displaystyle e_ {1}, e_ {2}}mi3=mi1∧mi2{\ displaystyle e_ {3} = e_ {1} \ klin e_ {2}}(mi1,mi2,mi3){\ displaystyle (e_ {1}, e_ {2}, e_ {3})}mi2∧mi3=mi1{\ Displaystyle e_ {2} \ klin e_ {3} = e_ {1}}mi3∧mi1=mi2{\ Displaystyle e_ {3} \ klin e_ {1} = e_ {2}}
re. Wyrażając u i v w tej bazie, oświadczył bezpośredni, możemy obliczyć współrzędne , które następnie pokazać, że „ten” krzyż produkt jest rzeczywiście.
u∧v{\ displaystyle u \ wedge v}∧{\ displaystyle \ wedge}
Inna charakterystyka w dowolnym wymiarze a priori
Zwany produkt wektorów w przestrzeni euklidesowej V mapowania dwuliniowo oznaczona x w zakresie od V x V do V , o następujących właściwościach:
(x,y)↦x×y{\ Displaystyle (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) \ mapsto \ mathbf {x} \ times \ mathbf {y}}
x⋅(x×y)=(x×y)⋅y=0{\ Displaystyle \ mathbf {x} \ cdot (\ mathbf {x} \ times \ mathbf {y}) = (\ mathbf {x} \ times \ mathbf {y}) \ mathbf {\ cdot y} = 0} (ortogonalność),
i:
|x×y|2=|x|2|y|2-(x⋅y)2{\ Displaystyle | \ mathbf {x} \ razy \ mathbf {y} | ^ {2} = | \ mathbf {x} | ^ {2} | \ mathbf {y} | ^ {2} - (\ mathbf {x } \ cdot \ mathbf {y}) ^ {2}} (związek między normami),
gdzie ( x · y ) jest iloczynem skalarnym, a | x | jest normą wektora x . Równoważne sformułowanie, wykorzystujące kąt θ między wektorami, to:
|x×y|=|x||y|grzechθ,{\ Displaystyle | \ mathbf {x} \ razy \ mathbf {y} | = | \ mathbf {x} || \ mathbf {y} | \ sin \ theta,}który jest obszarem równoległoboku (w płaszczyźnie X i Y ), mający dwa wektory stronach. Można również wykazać, że poniższe wyrażenie jest równoważne dwóm poprzednim:
|x×y|=|x||y| gdyby (x⋅y)=0{\ Displaystyle | \ mathbf {x} \ razy \ mathbf {y} | = | \ mathbf {x} || \ mathbf {y} | ~ {\ mbox {si}} \ \ lewo (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} \ right) = 0}.
Następnie udowadniamy, że nietrywialny iloczyn krzyżowy może istnieć tylko w wymiarze trzecim i siódmym; ponadto w trzecim wymiarze ten iloczyn krzyżykowy jest wyjątkowy, z wyjątkiem znaku.
Aplikacje
Mechaniczny
Operator rotacyjny definiujemy następująco:
beknięcie→ u→=∇→∧u→=|ja→jot→k→∂x∂y∂zuxuyuz|.{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} \ {\ vec {u}} = {\ vec {\ nabla}} \ wedge {\ vec {u}} = {\ begin {vmatrix} {\ vec {i}} & {\ vec {j}} & {\ vec {k}} \\\ częściowy _ {x} & \ częściowy _ {y} & \ częściowy _ {z} \\ u_ {x} & u_ {y} & u_ {z} \ end {vmatrix}}.}
W mechanice półprzewodnikowych , jest to operacja bardzo często stosowana w szczególności w stosunku Varignon która łączy te dwa pola wektorowe o torsor . Z drugiej strony równania Maxwella dotyczące elektromagnetyzmu są wyrażane za pomocą operatora obrotu, a także równań mechaniki płynów , w szczególności równań Naviera-Stokesa .
Moment siły jest zdefiniowana jako iloczynu tej siły przez wektor łączącą jej punkt styczności A do obrotu P bierze pod uwagę:
fa→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}}}WP.→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {AP}}}}M→fa/P.→=fa→∧WP.→=P.W→∧fa→.{\ Displaystyle {\ vec {\ mathrm {M}}} _ {\ vec {\ mathrm {F / P}}} = {\ vec {\ mathrm {F}}} \ klin {\ vec {\ mathrm {AP }}} = {\ vec {\ mathrm {PA}}} \ wedge {\ vec {\ mathrm {F}}}.}
Jest to pierwotne pojęcie w mechanice brył.
Równanie płaszczyzny w przestrzeni
Niech A , B i C będą trzema niezrównanymi punktami w przestrzeni, dzięki którym możemy uformować płaszczyznę ( ABC ).
M ( x , y , z ) należy do ( ABC ) wtedy i tylko wtedy, gdy współrzędne M spełniają równanie ( ABC ).
Równanie kartezjańskie funkcji ( ABC ) ma postać ax + by + cz + d = 0 , gdzie a , b , c i d są liczbami rzeczywistymi i jest wektorem normalnym do ( ABC ), tj. Jego iloczyn skalarny z wektorem lub z wektorem lub z wektorem wynosi zero, dlatego si jest wektorem ortogonalnym do dwóch niekoliniowych wektorów ( ABC ).
w→{\ displaystyle {\ vec {w}}}Wb→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}}}WVS→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AC}}}bVS→{\ displaystyle {\ overrightarrow {BC}}}w→{\ displaystyle {\ vec {w}}}
Liczb rzeczywistych , B i C, są zatem odpowiednie składniki x , Y i Z wektora , poprzecznym iloczyn dwóch nie leżących na jednej prostej wektorów płaszczyzny ( ABC ), na przykład a .
w→{\ displaystyle {\ vec {w}}}Wb→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}}}WVS→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AC}}}
Geometria płaszczyzny
Niech ABCD będzie równoległobok , to znaczy mamy relację
Wb→=reVS→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}} = {\ overrightarrow {DC}}}.
Jak wskazano powyżej w definicji, pole tego równoległoboku jest równe normie iloczynu poprzecznego dwóch wektorów, na których jest oparty:
‖Wb→∧Wre→‖{\ displaystyle \ left \ | {\ overrightarrow {AB}} \ wedge {\ overrightarrow {AD}} \ right \ |}.
Uwagi i odniesienia
Uwagi
-
Wszystkie trójwymiarowe zorientowane euklidesowe przestrzenie wektorowe są izomorfami dwa na dwa ; izomorfizm jest dobrze zdefiniowaną izometrią aż do składu poprzez rotację .
-
W rzeczywistości możliwe jest zdefiniowanie operacji o podobnych właściwościach w przestrzeniach 7-wymiarowych; patrz „ Produkt wektorowy w wymiarze 7 ”.
-
Możemy również zdefiniować iloczyn poprzeczny wektorów n -1 w zorientowanej euklidesowej przestrzeni wektorowej o wymiarze n .
-
Inną wadą jest to, że iloczyn krzyżowy nie jest ani asocjacyjny, ani przemienny, ale tak jest również w przypadku „produktów” w algebrach niezespolonych .
-
Zobacz sekcję Definicja # Jako produkt kłamstwa .
-
Równoważność między tą definicją a poprzednią jest zademonstrowana na przykład w lekcji „Produkt wektorowy” na Wikiversity .
-
Aby zapoznać się z demonstracją, zobacz na przykład lekcję „Produkt wektorowy” na Wikiwersytecie .
Bibliografia
-
Crowe 1994 .
-
Jean-Paul Collette, Historia matematyki , t. 2, Vuibert, 1979 ( ISBN 0-7767-0164-9 ) , str. 244 .
-
Joseph-Louis Lagrange, „ Analytical solutions of some problems on triangular pyramids ”, New Memoirs of the Royal Academy of Sciences and Belles-Lettres ,1773, przedrukowane w Serret, Œuvres de Lagrange , t. 3, Gauthier-Villars ,1869( czytaj online ) , s. 661-692
-
Jean Dieudonné (red.), Abrégé d'histoire des mathematiques 1700-1900 [ szczegóły wydań ], 1986, s. 107 .
-
Crowe 1994 , s. 85.
-
(w) William Clifford, Elements of Dynamic: An Introduction to the Study of Motion and Rest in Solid and Fluid Codies, MacMillian and Co (Londyn)1878, s. 95
-
Cajori 1993 , s. 134 i 136.
-
Cajori 1993 , s. 138.
-
„ Produkt wektorowy ”
-
Typowym francuskim zapisem trójwymiarowego iloczynu krzyżowego jest , ale wydaje się, że w literaturze nie ma wzmianki o ogólnym przypadkux∧y{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}}
-
(w) WS Massey, " Iloczyn krzyżowy wektorów w wyższych wymiarach przestrzeni euklidesowych " , American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America , vol. 90 N O 10,1993, s. 697–701 ( DOI 10.2307 / 2323537 , czytaj online )
-
Massey (1993) i (w) Robert B Brown i Alfred Gray, „ Produkty krzyżowe wektorowe ” , Commentarii Mathematici Helvetici , Birkhäuser Basel, vol. 42,1967, s. 222–236 ( DOI 10.1007 / BF02564418 , czytaj online ) poproś, aby aplikacja była dwuliniowa.
-
Definicja kąta w przestrzeni wymiaru n jest generalnie podawana za pomocą iloczynu skalarnego, jako wartości
. Dlatego też, stosując twierdzenie Pitagorasa do relacji między normami
,, sin θ zawsze dodatnimi w tym przedziale. Wyświetl (en) Francis Begnaud Hildebrand, Methods of Applied Mathematics , Courier Dover Publications ,θ=(x⋅y)^=arccos(x⋅y|/(x||y|)), wvmivs 0≤θ≤π{\ Displaystyle \ theta = {\ widehat {(\ mathbf {x \ cdot y})}} = \ arccos (\ mathbf {x \ cdot y} | / (\ mathbf {x} || \ mathbf {y} | )), \ \ mathrm {with} \ 0 \ leq \ theta \ leq \ pi}|x×y|=|x||y|grzechθ{\ Displaystyle | \ mathbf {x} \ razy \ mathbf {y} | = | \ mathbf {x} || \ mathbf {y} | \ sin \ theta}1992, Przedruk Prentice-Hall 1965 wyd. , 362 pkt. , kieszeń ( ISBN 978-0-486-67002-7 , czytaj online ) , s. 24
-
(en) Pertti Lounesto , Clifford algebras and spinors , Cambridge, UK, Cambridge University Press ,2001, 2 II wyd. , 338 s. , kieszeń ( ISBN 978-0-521-00551-7 , LCCN 2001025396 , czytaj online ) , s. 96-97.
-
(w) MG Kendall , Kurs geometrii wymiarów N , Publikacje Courier Dover ,2004, 63 str. , kieszeń ( ISBN 978-0-486-43927-3 , LCCN 2004047769 , czytaj online ) , s. 19
-
(in) ZK Silagadze, Wielowymiarowy produkt wektorowy ,2002, " Math.RA / 0204357 " , swobodnie dostępny tekst, na arXiv ..
Wspomniane prace
-
(en) Florian Cajori , A History of Mathematical Notations [ szczegóły wydań ], 1993
- (en) Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis (en) : The Evolution of the Idea of a Vectorial System , Dover ,1994, 2 II wyd. ( 1 st ed. 1985), 270 , str. ( ISBN 0-486-67910-1 , czytaj online )
Zobacz też
Powiązane artykuły
Bibliografia
Marcel Berger , Geometry [ szczegóły wydań ]
Link zewnętrzny
www.isima.fr/~leborgne/IsimathMeca/Produitvectoriel.pdf . „Iloczyn krzyżowy, iloczyn pseudo-krzyżowy i endomorfizmy antysymetryczne”. 9 stron.
QCM Prod , darmowy program w języku Python do szkolenia w zakresie produktów wektorowych.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">