Tensor Levi-Civita
W wymiarze zorientowanym na przestrzeń euklidesową , tensor Levi-Civita - lub
tensor dualiseur - jest tensorem, którego współrzędne w bezpośredniej bazie ortonormalnej zapewnia symbol rzędu N Levi-Civita . Rzeczywiście, symbol Levi-Civity rzędu N lub (zwany także całkowicie antysymetrycznym pseudotensorem jednostki) nie jest tensorem. Na przykład jego składowe należy pomnożyć przez zmniejszenie układu współrzędnych o współczynnik 2.
NIE{\ displaystyle N}ϵja1...jaNIE{\ displaystyle \ epsilon _ {i_ {1} \ ldots i_ {N}}}ϵja1...jaNIE{\ Displaystyle \ epsilon ^ {i_ {1} \ ldots i_ {N}}}2NIE{\ displaystyle 2 ^ {N}}
Tensor Dualizer
Definicja
W zorientowanej przestrzeni euklidesowej istnieje kanoniczna forma objętości , opisana tutaj , zdefiniowana jako unikalna forma objętości, taka jak dla (a zatem dla każdej) bezpośredniej bazy ortonormalnej .
η{\ displaystyle \ eta}η(b)=1{\ Displaystyle \ eta (B) = 1}b{\ displaystyle B}
Tensor jest również nazywany tensorem Levi-Civita lub nawet tensorem dualizującym .
η{\ displaystyle \ eta}
Współrzędne kowariantne i kontrawariantne
W każdej bazie można odnotować macierz tensora metrycznego i jego macierz odwrotną. Wyznacznikiem może być wyrażona za pomocą symbolu Levi Civita.
b{\ displaystyle B}(soljajot){\ displaystyle (g_ {ij})}(soljajot){\ Displaystyle (g ^ {ij})} sol=detb(soljajot){\ displaystyle g = \ det \ nolimits _ {B} (g_ {ij})}
solja1jot1...soljaNIEjotNIEϵjot1...jotNIE=solϵja1...jaNIE{\ Displaystyle g_ {i_ {1} j_ {1}} \ ldots g_ {i_ {N} j_ {N}} \ epsilon ^ {j_ {1} \ ldots j_ {N}} = g \ epsilon _ {i_ { 1} \ ldots i_ {N}}}
Współrzędne kowariantne i kontrawariantne tensora Levi-Civita weryfikują relacje
ηja1...jaNIE=solja1jot1...soljaNIEjotNIEηjot1...jotNIE{\ Displaystyle \ eta _ {i_ {1} \ ldots i_ {N}} = g_ {i_ {1} j_ {1}} \ ldots g_ {i_ {N} j_ {N}} \ eta ^ {j_ {1 } \ ldots j_ {N}}}
i
ηja1...jaNIE=solja1jot1...soljaNIEjotNIEηjot1...jotNIE{\ Displaystyle \ eta ^ {i_ {1} \ ldots i_ {N}} = g ^ {i_ {1} j_ {1}} \ ldots g ^ {i_ {N} j_ {N}} \ eta _ {j_ {1} \ ldots j_ {N}}}
Dedykujemy na jakiejkolwiek bezpośredniej podstawie relacje
ηja1...jaNIE=solϵja1...jaNIE{\ Displaystyle \ eta _ {i_ {1} \ ldots i_ {N}} = {\ sqrt {g}} \ epsilon _ {i_ {1} \ ldots i_ {N}}}
i
ηja1...jaNIE=1solϵja1...jaNIE{\ Displaystyle \ eta ^ {i_ {1} \ ldots i_ {N}} = {\ frac {1} {\ sqrt {g}}} \ epsilon ^ {i_ {1} \ ldots i_ {N}}}
Ponieważ w bazie ortonormalnej znajdujemy to, co zostało powiedziane we wstępie.
sol=1{\ displaystyle g = 1}
W wsteczny (lub pośredni) zasadach, ekspresja współrzędnych z wykorzystaniem symbolu Levi-Civita jest lekko zmodyfikowany: musi być zastąpiona przez . Wprowadzając symbol równy 1, jeśli podstawa jest bezpośrednia i -1, jeśli podstawa jest pośrednia, mamy w ogólnym przypadku
sol{\ displaystyle {\ sqrt {g}}}-sol{\ displaystyle - {\ sqrt {g}}}(-1)b=η(b)/|η(b)|{\ Displaystyle (-1) ^ {B} = \ eta (B) / \ lewo | \ eta (B) \ prawej |}
ηja1...jaNIE=(-1)bsolϵja1...jaNIE{\ Displaystyle \ eta _ {i_ {1} \ ldots i_ {N}} = (- 1) ^ {B} {\ sqrt {g}} \ epsilon _ {i_ {1} \ ldots i_ {N}}}
i
ηja1...jaNIE=(-1)b1solϵja1...jaNIE{\ Displaystyle \ eta ^ {i_ {1} \ ldots i_ {N}} = (- 1) ^ {B} {\ Frac {1} {\ sqrt {g}}} \ epsilon ^ {i_ {1} \ ldots i_ {N}}}
Przypadek przestrzeni pseudo-euklidesowych
W przestrzeni pseudo-euklidesowej wyznacznik tensora metrycznego niekoniecznie jest dodatni. Na przykład w przypadku przestrzeni Minkowskiego (czterowymiarowej czasoprzestrzeni szczególnej teorii względności) wyznacznik tensora metrycznego jest ujemny.
Powyższe relacje można zapisać, w dowolnej bazie, w ważnej formie, niezależnie od znaku sol{\ displaystyle g}
ηja1...jaNIE=(-1)b|sol|ϵja1...jaNIE{\ Displaystyle \ eta _ {i_ {1} \ ldots i_ {N}} = (- 1) ^ {B} {\ sqrt {| g |}} \ epsilon _ {i_ {1} \ ldots i_ {N} }}
i
ηja1...jaNIE=(-1)b|sol|solϵja1...jaNIE{\ Displaystyle \ eta ^ {i_ {1} \ ldots i_ {N}} = (- 1) ^ {B} {\ Frac {\ sqrt {| g |}} {g}} \ epsilon ^ {i_ {1 } \ ldots i_ {N}}}
Następnie użyjemy symbolu zamiast litery greckiej .
∗{\ displaystyle *}η{\ displaystyle \ eta}
Właściwości tensora dualizera
Produkt dualizujących tensorów
Następujące wzory wynikają bezpośrednio otrzymać preparaty o symbolu Levi Civita z N-tego rzędu . Symbolem jest symbol Kroneckera , reprezentujący tensor jedności . Umieszczamy się w sprawie euklidesowej.
δjotja{\ displaystyle \ delta _ {j} ^ {i}}
Zamów 2 wyniki
∗kja2...jaNIE∗lja2...jaNIE=(NIE-1)!×δlk{\ Displaystyle * ^ {k \; i_ {2} \ ldots i_ {N}} * _ {l \; i_ {2} \ ldots i_ {N}} = \ lewo (N-1 \ prawo)! \ razy \ delta _ {l} ^ {k}}
Rzeczywiście, jeśli k jest różne od l, istnieją co najmniej dwa równe wskaźniki, albo we współczynniku pierwszego tensora, albo we współczynniku drugiego. Odpowiedni współczynnik wynosi zero, podobnie jak iloczyn. Jeśli k jest równe l , odpowiednie współczynniki i występujące w każdym z dwóch tensorów są uproszczone. Symbole Levi Civita i ma taką samą wartość +1 lub -1 w dwóch współczynników i ich produktów jest równa 1. Ponadto, w każdej ze wspólnych wartości k = l , jest możliwy wybór wskaźników .
(-1)bsol{\ displaystyle (-1) ^ {B} {\ sqrt {g}}}(-1)b1sol{\ Displaystyle (-1) ^ {B} {\ Frac {1} {\ sqrt {g}}}}ϵkja2...jaNIE{\ Displaystyle \ epsilon ^ {k \; i_ {2} \ ldots i_ {N}}}ϵlja2...jaNIE{\ Displaystyle \ epsilon _ {l \; i_ {2} \ ldots i_ {N}}}(NIE-1)!{\ Displaystyle (N-1)!}ja2,...,jaNIE{\ displaystyle i_ {2}, \ kropki, i_ {N}}
Zamów wynik 4
∗kmja3...jaNIE∗lnieja3...jaNIE=(NIE-2)!×(δlkδniem-δniekδlm){\ Displaystyle * ^ {km \; i_ {3} \ ldots i_ {N}} * _ {ln \; i_ {3} \ ldots i_ {N}} = \ lewo (N-2 \ prawo)! \ razy \ left (\ delta _ {l} ^ {k} \ delta _ {n} ^ {m} - \ delta _ {n} ^ {k} \ delta _ {l} ^ {m} \ right)}
Dowodem na to jest porównywalny z poprzednim przypadku, jedynie przypadki, w którym otrzymujemy niezerowy wynik jest ten, w którym k = l i m = n , w którym symbole Levi Civita występujące w dwóch tensorów ma ten sam znak, i przypadek, w którym k = n i l = m , dla którego symbole mają przeciwne znaki, stąd znak - z przodu . Dla pary { k , l } danych różnych elementów istnieje możliwość wyboru indeksów .
δniekδlm{\ Displaystyle \ delta _ {n} ^ {k} \ delta _ {l} ^ {m.}}(NIE-2)!{\ Displaystyle (N-2)!}ja3,...,jaNIE{\ displaystyle i_ {3}, \ kropki, i_ {N}}
Nieważność kowariantnej pochodnej tensora dualizatora
Kowariantna pochodną tensora dualizer wynosi zero:
rejot(∗ja1ja2...jaNIE)=0{\ Displaystyle D_ {j} \ lewo (* ^ {i_ {1} i_ {2} \ ldots i_ {N}} \ prawej) = 0}.
Demonstracja
Wyrażenie pochodnej kowariantnej z pochodnej prostej i daje
symbole Christoffela
rejot(∗ja1ja2...jaNIE)=∂jot(∗ja1ja2...jaNIE)+Γkjotja1∗kja2...jaNIE+Γkjotja2∗ja1k...jaNIE+...+ΓkjotjaNIE∗ja1ja2...k{\ Displaystyle D_ {j} \ lewo (* ^ {i_ {1} i_ {2} \ ldots i_ {N}} \ prawej) = \ częściowe _ {j} \ lewo (* ^ {i_ {1} i_ { 2} \ ldots i_ {N}} \ right) + \ Gamma _ {kj} ^ {i_ {1}} * ^ {ki_ {2} \ ldots i_ {N}} + \ Gamma _ {kj} ^ {i_ {2}} * ^ {i_ {1} k \ ldots i_ {N}} + \ ldots + \ Gamma _ {kj} ^ {i_ {N}} * ^ {i_ {1} i_ {2} \ ldots k }}
Przepiszmy pierwszy wyraz w formie
∂jot(ϵja1ja2...jaNIEdetsol){\ Displaystyle \ częściowe _ {j} \ lewo ({\ Frac {\ epsilon ^ {i_ {1} i_ {2} \ ldots i_ {N}}} {\ sqrt {\ det {g}}}} \ prawo )}.
Levi Civita symbolem N-tego rzędu jest stała, termin ten staje
ϵja1ja2...jaNIE∂jot(1detsol){\ Displaystyle \ epsilon ^ {i_ {1} i_ {2} \ ldots i_ {N}} \ częściowy _ {j} \ lewo ({\ Frac {1} {\ sqrt {\ det {g}}}} \ dobrze)}.
Na poniższej liście terminów pierwsze jest zredukowane do wartości, dla której , drugie do wartości, dla której itd. Dlatego suma N składników jest warta . Biorąc pod uwagę wyraz kurczenia się symbolu Christoffelak=ja1{\ displaystyle k = i_ {1}}k=ja2{\ displaystyle k = i_ {2}}Γkjotk∗ja1ja2...jaNIE{\ Displaystyle \ Gamma _ {kj} ^ {k} * ^ {i_ {1} i_ {2} \ ldots i_ {N}}}
Γkjotk=-∂jot(1detsol){\ Displaystyle \ Gamma _ {kj} ^ {k} = - \ częściowe _ {j} \ lewo ({\ Frac {1} {\ sqrt {\ det g}}} \ prawej)},
znaleźliśmy
rejot(∗ja1ja2...jaNIE)=0{\ Displaystyle D_ {j} \ lewo (* ^ {i_ {1} i_ {2} \ ldots i_ {N}} \ prawej) = 0}.
∎
Definicja tensorów dualnych w rozumieniu Hodge
Iloczyn tensora dualizującego z tensorem porządku w przestrzeni wymiarowej
definiuje tensor porządku , jego podwójny w sensie Hodge'a.
M{\ displaystyle M}NIE{\ displaystyle N}NIE-M{\ displaystyle NM}
[∗w]ja1ja2...jaNIE-M=1M!∗ja1ja2...jaNIEwjaNIE-M+1...jaNIE{\ Displaystyle \ lewo [* a \ prawo] ^ {i_ {1} i_ {2} \ ldots i_ {NM}} = {\ Frac {1} {M!}} * ^ {i_ {1} i_ {2 } \ ldots i_ {N}} a_ {i_ {NM + 1} \ ldots i_ {N}}}
Iloczyn tutaj arbitralnie wprowadza do gry ostatnie wskaźniki tensora dualizującego. Równie dobrze mogliśmy wziąć pierwsze wskazówki. Te dwie konwencje różnią się od znaku - w niektórych przypadkach.
M{\ displaystyle M}M{\ displaystyle M}
Przykład, podwójne tensory w wymiarze 3 :
Wektor ma podwójny tensor antysymetryczny:
bk{\ displaystyle b ^ {k}}
[∗b]jajot=∗jajotkbk{\ Displaystyle \ lewo [* b \ prawo] _ {ij} = * _ {ijk} b ^ {k}}.
I odwrotnie, podwójny tensora antysymetrycznego jest wektorem:
wjajot{\ displaystyle a_ {ij}}
[∗w]ja=12×∗jajotkwjotk.{\ Displaystyle \ lewo [* a \ prawo] ^ {i} = {\ Frac {1} {2}} \ razy * ^ {ijk} a_ {jk}.}
Dwoistość dualna to wektor lub sam tensor antysymetryczny. Rzeczywiście, mamy dla wektora:
[∗∗b]ja=12∗jajotk[∗b]jotk=12∗jajotk∗jotklbl=δljabl=bja{\ Displaystyle \ lewo [** b \ prawo] ^ {i} = {\ Frac {1} {2}} * ^ {ijk} \ lewo [* b \ prawo] _ {jk} = {\ Frac {1 } {2}} * ^ {ijk} * _ {jkl} b ^ {l} = \ delta _ {l} ^ {i} b ^ {l} = b ^ {i}}.
a dla tensora antysymetrycznego:
[∗∗w]jajot=∗jajotk[∗w]k=12∗jajotk∗klmwlm=12(δjajotlm-δjajotml)wlm=wjajot{\ Displaystyle \ lewo [** a \ prawo] _ {ij} = * _ {ijk} \ lewo [* a \ prawo] ^ {k} = {\ Frac {1} {2}} * _ {ijk} * ^ {klm} a_ {lm} = {\ frac {1} {2}} \ left (\ delta _ {ij} ^ {lm} - \ delta _ {ij} ^ {ml} \ right) a_ {lm } = a_ {ij}}.
Zobacz też
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">