Kowariantne i kontrawariantne (algebra liniowa)
W algebrze liniowej przymiotniki kowariantne i kontrawariantne są używane do opisania sposobu, w jaki wielkości zmieniają się podczas zmiany podstawy . Mówi się, że wielkości te są kowariantne, gdy zmieniają się jak wektory podstawy, i kontrawariantne, gdy zmieniają się w odwrotny sposób.
Pojęcie to jest ściśle związane z pojęciem dualności : współrzędne kowariantne w bazie odpowiadają w efekcie współrzędnym kontrawariantnym w bazie dualnej i odwrotnie.
W geometrii różniczkowej uwzględnienie przestrzeni stycznych umożliwia rozszerzenie tych dwóch koncepcji na rodziny funkcji zdefiniowanych na rozmaitościach różniczkowych .
Manipulację wielkościami kowariantnymi i kontrawariantnymi ułatwia konwencja sumowania Einsteina , która będzie szeroko stosowana w tym artykule.
Definicja
Niech skończenie wymiarowa przestrzeń wektorowa , a także dwie bazy i taka, że zmiana podstawy wiersza jest zapisana:
V{\ displaystyle {\ mathcal {V}}}nie{\ displaystyle n}mi=(mi1,mi2,...,minie){\ Displaystyle \ mathbf {e} = (\ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {e} _ {2}, \ ldots, \ mathbf {e} _ {n})}mi′=(mi′1,mi′2,...,mi′nie){\ Displaystyle \ mathbf {e '} = (\ mathbf {e'} _ {1}, \ mathbf {e '} _ {2}, \ ldots, \ mathbf {e'} _ {n})}mi{\ displaystyle \ mathbf {e}}mi′{\ displaystyle \ mathbf {e '}}
mi′ja=Wjajotmijot{\ displaystyle \ mathbf {e '} _ {i} = A_ {i} ^ {j} \ mathbf {e} _ {j}}
gdzie współczynniki tworzą macierz przejścia .
Wjajot{\ Displaystyle A_ {i} ^ {j}}
Niech więc będzie rodziną funkcji, każda w kierunku przestrzeni wektorowej z tym samym ciałem co .
X=(X(ja))ja=1...nie{\ Displaystyle X = (X (i)) _ {i = 1 \ ldots n}}Vnie{\ displaystyle {\ mathcal {V}} ^ {n}}V{\ displaystyle {\ mathcal {V}}}
Rodziny wektorów i są następnie oznaczane odpowiednio i .
(X(ja)(mi′))ja=1...nie{\ Displaystyle (X (i) (\ mathbf {e} ')) _ {i = 1 \ ldots n}}(X(ja)(mi))ja=1...nie{\ Displaystyle (X (i) (\ mathbf {e})) _ {i = 1 \ ldots n}}(x′(ja))ja=1...nie{\ Displaystyle (x '(i)) _ {i = 1 \ ldots n}}(x(ja))ja=1...nie{\ Displaystyle (x (i)) _ {i = 1 \ ldots n}}
X{\ displaystyle X}mówi się, że jest kowariantny, kiedyx′(ja)=∑jot=1nieWjajotx(jot){\ Displaystyle x '(i) = \ suma _ {j = 1} ^ {n} A_ {i} ^ {j} x (j)}
Wskazówka jest następnie zapisywana na dole i można zastosować konwencję Einsteina, tak aby była napisana:
xja′=Wjajotxjot{\ displaystyle x_ {i} '= A_ {i} ^ {j} x_ {j}}
X{\ displaystyle X}mówi się, że jest sprzeczne, kiedyx(jot)=∑ja=1nieWjajotx′(ja){\ Displaystyle x (j) = \ suma _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} ^ {j} x '(i)}
Wskazówka jest następnie odnotowana u góry i można użyć konwencji Einsteina, tak aby była napisana:
xjot=Wjajotx′ja{\ Displaystyle x ^ {j} = A_ {i} ^ {j} x '^ {i}}
Poprzez lekkie nadużycie języka terminy kowariantny i kontrawariantny są również stosowane do rodzin wektorów i , implikowana jest zależność od wyboru podstawy.
(xja)ja=1...nie{\ Displaystyle (x_ {i}) _ {i = 1 \ ldots n}}(xja)ja=1...nie{\ Displaystyle (x ^ {i}) _ {i = 1 \ ldots n}}
Przykłady
Rozkład w bazie
Twierdzenie i definicja -
Współczynniki niepowtarzalnego rozkładu wektora w bazie tworzą kontrawariantną rodzinę skalarów zwanych współrzędnymi kontrawariantnymi , które dlatego są oznaczone wysokim indeksem.
x=xjamija{\ Displaystyle \ mathbf {x} = x ^ {i} \ mathbf {e} _ {i}}
Demonstracja
Niech będzie wektorem i bazą .
x{\ displaystyle \ mathbf {x}}(mija)ja=1...nie{\ Displaystyle (\ mathbf {e} _ {i}) _ {i = 1 \ ldots n}}
x{\ displaystyle \ mathbf {x}} jest napisane w wyjątkowy sposób:
x=∑ja=1niex(ja)mija{\ Displaystyle \ mathbf {x} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} x (i) \ mathbf {e} _ {i}}Następnie skalary tworzą rodzinę funkcji robaków .
(x(ja))ja=1...nie{\ Displaystyle (x (i)) _ {i = 1 \ ldots n}}Vnie{\ displaystyle {\ mathcal {V}} ^ {n}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
W bazie jest napisane:
(mija′)ja=1...nie{\ Displaystyle (\ mathbf {e} '_ {i}) _ {i = 1 \ ldots n}}x{\ displaystyle \ mathbf {x}}
x=∑ja=1niex′(ja)mija′{\ Displaystyle \ mathbf {x} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} x '(i) \ mathbf {e}' _ {i}}W związku z tym:
x=∑ja=1niex′(ja)Wjajotmijot=∑jot=1nie(∑ja=1niex′(ja)Wjajot)mijot{\ Displaystyle \ mathbf {x} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} x '(i) A_ {i} ^ {j} \ mathbf {e} _ {j} = \ suma _ {j = 1} ^ {n} (\ sum _ {i = 1} ^ {n} x '(i) A_ {i} ^ {j}) \ mathbf {e} _ {j}}A zatem, biorąc pod uwagę wyjątkowość rozkładu w bazie :
x{\ displaystyle \ mathbf {x}}(mijot)jot=1...nie{\ Displaystyle (\ mathbf {e} _ {j}) _ {j = 1 \ ldots n}}
x(jot)=∑ja=1niex′(ja)Wjajot=∑ja=1nieWjajotx′(ja){\ Displaystyle x (j) = \ suma _ {i = 1} ^ {n} x '(i) A_ {i} ^ {j} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} ^ {j} x '(i)}∎
Produkty kropkowe w bazie
Twierdzenie i definicja - iloczyn skalarny wektora przez wektory podstawy tworzą kowariantną rodzinę skalarów zwanych współrzędnymi kowariantnymi , które dlatego są oznaczone niskim indeksem.
xja=x⋅mija{\ Displaystyle x_ {i} = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} _ {i}}
Demonstracja
Iloczyn skalarny wektora przez wektory bazy można zapisać:
x{\ displaystyle \ mathbf {x}}(mija)ja=1...nie{\ Displaystyle (\ mathbf {e} _ {i}) _ {i = 1 \ ldots n}}
x(ja)=x⋅mija{\ Displaystyle x (i) = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} _ {i}}Te skalary tworzą rodzinę funkcji robaków .
Vnie{\ displaystyle {\ mathcal {V}} ^ {n}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
Mamy wtedy:
x′(ja)=x⋅mija′=x⋅(Wjajotmijot)=Wjajotx⋅mijot=Wjajotx(jot){\ displaystyle {\ begin {tablica} {rcl} x '(i) & = & \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e}' _ {i} \\ & = & \ mathbf {x} \ cdot ( A_ {i} ^ {j} \ mathbf {e} _ {j}) \\ & = & A_ {i} ^ {j} \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} _ {j} \\ & = & A_ {i} ^ {j} x (j) \ end {tablica}}}Rodzina jest zatem dobrze kowariantna.
x(ja){\ Displaystyle x (i)}∎
Kierunkowe pochodne
W analizie wektorowej możliwe jest zdefiniowanie operatora pochodnej kierunkowej według kierunku w następujący sposób:
re{\ displaystyle \ mathbf {d}}
∂re:miV→miVfa↦(x↦limϵ→0fa(x+ϵre)-fa(x)ϵ){\ displaystyle {\ begin {tablica} {rccl} \ częściowa _ {\ mathbf {d}}: & {\ mathcal {E}} ^ {\ mathcal {V}} & \ rightarrow & {\ mathcal {E}} ^ {\ mathcal {V}} \\ & f & \ mapsto & (\ mathbf {x} \ mapsto \ lim _ {\ epsilon \ rightarrow 0} {\ frac {f (\ mathbf {x} + \ epsilon \ mathbf {d}) -f (\ mathbf {x})} {\ epsilon}}) \ end {tablica}}}
Twierdzenie - Operatory wyprowadzenia kierunkowego zgodnie z kierunkami określonymi przez wektory bazy tworzą kowariantną rodzinę operatorów, które są zatem oznaczone niskim indeksem.
∂ja=∂mija{\ Displaystyle \ częściowe _ {i} = \ częściowe _ {\ mathbf {e} _ {i}}}
Demonstracja
Jest to bezpośrednia konsekwencja liniowości operatora wyprowadzenia kierunkowego zgodnie z kierunkiem.
∂mija′=∂Wjajotmijot=Wjajot∂mijot{\ Displaystyle \ częściowe _ {\ mathbf {e} '_ {i}} = \ częściowe _ {A_ {i} ^ {j} \ mathbf {e} _ {j}} = A_ {i} ^ {j} \ częściowe _ {\ mathbf {e} _ {j}}}∎
∂jafa{\ displaystyle \ częściowy _ {i} f}jest czasami odnotowywany .
fa,ja{\ displaystyle f _ {, i}}
Nieruchomości
Połączenie z podwójnymi podstawami
Jeśli jest skończoną wymiarową - lub - przestrzenią wektorową, to i jej dwoistość są izomorficzne . Dlatego każdy wektor z odpowiadały jednemu wektora z , a czasami zidentyfikować dwa. W poniższym stwierdzeniu drugą równość należy zatem rozumieć raczej jako korespondencję niż równość.
mi{\ displaystyle E}R{\ displaystyle \ mathbf {R}}VS{\ displaystyle \ mathbf {C}}mi{\ displaystyle E}mi∗{\ displaystyle E ^ {*}}x{\ displaystyle \ mathbf {x}}mi{\ displaystyle E}x∗{\ displaystyle \ mathbf {x ^ {*}}}mi∗{\ displaystyle E ^ {*}}
Co więcej, przez „iloczyn skalarny” rozumie się w poniższym stwierdzeniu i jego dowód jest w rzeczywistości nawias dualności z i z , to znaczy wynikiem zastosowania formy liniowej do .
x⋅mija{\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} ^ {i}}mija{\ displaystyle \ mathbf {e} ^ {i}}x{\ displaystyle \ mathbf {x}}mija(x){\ Displaystyle \ mathbf {e} ^ {i} (\ mathbf {x})}mija{\ displaystyle \ mathbf {e} ^ {i}}x{\ displaystyle \ mathbf {x}}
Twierdzenie - Współrzędne kowariantne w bazie są współrzędnymi kontrawariantnymi w bazie podwójnej i odwrotnie.
x=(x⋅mija)mija=(x⋅mija)mija{\ Displaystyle \ mathbf {x} = (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} ^ {i}) \ mathbf {e} _ {i} = (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} _ {i}) \ mathbf {e} ^ {i}}
To jest do powiedzenia:
xja=x⋅mijax=xjamija{\ displaystyle {\ begin {array} {c} x ^ {i} = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e ^ {i}} \\\ mathbf {x} = x_ {i} \ mathbf {e } ^ {i} \ end {tablica}}}
Demonstracja
Z definicji współrzędnych wektora mamy :
x{\ displaystyle \ mathbf {x}}
x=xjamija{\ Displaystyle \ mathbf {x} = x ^ {i} \ mathbf {e} _ {i}}Z definicji podwójnej podstawy mamy zatem obliczenie iloczynu skalarnego przez :
mija⋅mijot=δjajot{\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ cdot \ mathbf {e} ^ {j} = \ delta _ {i} ^ {j}}mijot{\ displaystyle \ mathbf {e} ^ {j}}
x⋅mijot=xjamija⋅mijot=xjaδjajot=xjot{\ Displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} ^ {j} = x ^ {i} \ mathbf {e} _ {i} \ cdot \ mathbf {e} ^ {j} = x ^ {i } \ delta _ {i} ^ {j} = x ^ {j}}A więc:
xjot=x⋅mijot{\ Displaystyle x ^ {j} = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} ^ {j}}To jest do powiedzenia:
x=(x⋅mija)mija{\ Displaystyle \ mathbf {x} = (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} ^ {i}) \ mathbf {e} _ {i}}∎
Demonstracja
x{\ displaystyle \ mathbf {x}}jest napisane w podwójnej bazie :
mija{\ displaystyle \ mathbf {e} ^ {i}}
x=x~(ja)mija{\ Displaystyle \ mathbf {x} = {\ tylda {x}} (i) \ mathbf {e} ^ {i}}Iloczyn skalarny daje:
mijot{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {j}}
x⋅mijot=x~(ja)mija⋅mijot=x~(ja)δjotja=x~(jot){\ Displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} _ {j} = {\ tilde {x}} (i) \ mathbf {e} ^ {i} \ cdot \ mathbf {e} _ {j} = {\ tylda {x}} (i) \ delta _ {j} ^ {i} = {\ tylda {x}} (j)}a więc:
x⋅mijot=x~(jot){\ Displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} _ {j} = {\ tilde {x}} (j)}Skąd:
x=(x⋅mija)mija{\ Displaystyle \ mathbf {x} = (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} _ {i}) \ mathbf {e} ^ {i}}∎
Produkt objęty umową
Twierdzenie i definicja -
Niech
i będą dwiema odpowiednio kontrawariantnymi i kowariantnymi rodzinami, z wartościami w algebrze asocjacyjnej . Wyrażenie
(wja)ja=1...nie{\ Displaystyle (a ^ {i}) _ {i = 1 \ ldots n}}(bja)ja=1...nie{\ Displaystyle (b_ {i}) _ {i = 1 \ ldots n}}
wjabja{\ displaystyle a ^ {i} b_ {i}}
nie zależy od wyboru używanej podstawy i nazywany jest produktem zakontraktowanym .
Demonstracja
Zwracając uwagę i wyrażenia dwóch rodzin w bazie , otrzymujemy :
(w′ja)ja=1...nie{\ Displaystyle (a '^ {i}) _ {i = 1 \ ldots n}}(bja′)ja=1...nie{\ displaystyle (b '_ {i}) _ {i = 1 \ ldots n}}mija=1...nie′{\ displaystyle \ mathbf {e} '_ {i = 1 \ ldots n}}
w′jabja′=w′ja(Wjajotbjot)=Wjajotw′jabjot=(Wjajotw′ja)bjot=wjotbjot{\ displaystyle {\ begin {tablica} {rcl} a '^ {i} b' _ {i} & = & a '^ {i} (A_ {i} ^ {j} b_ {j}) \\ & = & A_ {i} ^ {j} a '^ {i} b_ {j} \\ & = & (A_ {i} ^ {j} a' ^ {i}) b_ {j} \\ & = & a ^ {j} b_ {j} \ end {tablica}}}∎
Rozszerzenie w geometrii różniczkowej
W geometrii różniczkowej rozważane przestrzenie, to znaczy rozmaitości różniczkowe , nie mają struktury przestrzeni wektorowej i jako takie pojęcia kowariancji i kontrawariancji nie mają bezpośredniego zastosowania. Jednak rozmaitości różniczkowe są lokalnie przyswajalne z przestrzeniami wektorowymi poprzez przestrzenie styczne . Naturalne odpowiedniki umożliwiają zatem zdefiniowanie pojęć widzianych powyżej już nie w odniesieniu do zmiany bazy, ale raczej w odniesieniu do zmiany współrzędnych .
x′μ(xμ){\ Displaystyle x '^ {\ mu} (x ^ {\ mu})}
Lokalnie te współrzędne różnią się w zależności od różnic:
rex′μ=∂x′μ∂xνrexν=∂νx′μrexν=Wνμrexν{\ Displaystyle dx '^ {\ mu} = {\ Frac {\ częściowe x' ^ {\ mu}} {\ częściowe x ^ {\ nu}}} dx ^ {\ nu} = \ częściowe _ {\ nu} x '^ {\ mu} dx ^ {\ nu} = A _ {\ nu} ^ {\ mu} dx ^ {\ nu}}Różniczki następnie tworzą podstawę w przestrzeni stycznej, podczas gdy częściowe pochodne tworzą macierz przejścia.
rexμ{\ displaystyle dx ^ {\ mu}}
Dlatego, gdy zbiór funkcji zmienia się, podobnie jak różniczki, to znaczy kiedy
Tμ{\ displaystyle T ^ {\ mu}}
T′μ=∂νx′μTν{\ Displaystyle T '^ {\ mu} = \ częściowe _ {\ nu} x' ^ {\ mu} T ^ {\ nu}}
wtedy mówi się, że indeks jest kowariantny „dla” (lub „według”) .
T{\ displaystyle T}μ{\ displaystyle \ mu}
Kiedy zbiór zmienia się w odwrotny sposób, czyli kiedy
Tν{\ displaystyle T _ {\ nu}}
Tν=∂νx′μTμ′{\ Displaystyle T _ {\ nu} = \ częściowe _ {\ nu} x '^ {\ mu} T' _ {\ mu}}
lub
,
T′μ=∂xν∂x′μTν=∂μxνTν{\ Displaystyle {T '} _ {\ mu} = {\ Frac {\ częściowe x ^ {\ nu}} {\ częściowe x' ^ {\ mu}}} T _ {\ nu} = \ częściowe _ {\ mu} x ^ {\ nu} T _ {\ nu}}
wtedy mówi się, że jest kontrawariantny „dla” (lub „według”) indeksu .
T{\ displaystyle T}ν{\ displaystyle \ nu}
T{\ displaystyle T}może być bardzo kowariantna dla niektórych indeksów i kontrawariantna dla innych. Następnie zapisuje się najbardziej ogólną transformację:
T′ν1...νkμ1...μl=∂ν1x′α1...∂νkx′αk∂β1xμ1...∂βlxμlTα1...αkβ1...βl{\ Displaystyle {T '} _ {\ nu _ {1} \ ldots \ nu _ {k}} ^ {\ mu _ {1} \ ldots \ mu _ {l}} = \ częściowe _ {\ nu _ { 1}} {x '} ^ {\ alpha _ {1}} \ ldots \ Partial _ {\ nu _ {k}} {x'} ^ {\ alpha _ {k}} \ Partial _ {\ beta _ { 1}} x ^ {\ mu _ {1}} \ ldots \ Partial _ {\ beta _ {l}} x ^ {\ mu _ {l}} T _ {\ alpha _ {1} \ ldots \ alpha _ {k}} ^ {\ beta _ {1} ... \ beta _ {l}}}
Stanowi to uproszczoną definicję pojęcia tensora .
Niektórzy autorzy, tacy jak Sean M. Carroll (por. Bibliografia), wolą umieszczać symbol główny na indeksach, a nie na tensorze. Zauważają, co następuje:
Tν1′...νk′μ1′...μl′=∂ν1′xμ1...∂νk′xμk∂ν1xμ1′...∂νlxμl′Tμ1...μkν1...νl{\ Displaystyle T _ {\ nu _ {1} '\ ldots \ nu _ {k}'} ^ {\ mu _ {1} '\ ldots \ mu _ {l}'} = \ częściowe _ {\ nu _ {1} '} {x} ^ {\ mu _ {1}} \ ldots \ części _ {\ nu _ {k}'} {x} ^ {\ mu _ {k}} \ częściowe _ {\ nu _ {1}} x ^ {\ mu _ {1} '} \ ldots \ Partial _ {\ nu _ {l}} x ^ {\ mu _ {l}'} T _ {\ mu _ {1} \ ldots \ mu _ {k}} ^ {\ nu _ {1} ... \ nu _ {l}}}
Inne zastosowania tego terminu
Pojęcia kowariancji i kontrawariancji można znaleźć w innych dziedzinach, takich jak informatyka, w szczególności w zakresie typowania danych . Związek między tymi różnymi zastosowaniami odzwierciedla bardziej abstrakcyjną wspólną strukturę, która zasadniczo podlega teorii kategorii .
Bibliografia
Powiązane artykuły
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">