Funkcja o wartościach wektorowych

Funkcja wektorowa

W matematyce , A funkcji o wartościach wektora lub wektorze funkcją jest funkcja którego przestrzeń przybycia jest zbiorem wektorów , jej definicja zestaw może być zbiorem skalarnych lub wektorów.

Przykład: sparametryzowane krzywe

Klasycznym przykładem funkcji wektorowych są sparametryzowane krzywe , to znaczy funkcje zmiennej rzeczywistej (reprezentującej na przykład czas w zastosowaniach mechaniki punktów ) o wartościach w przestrzeni euklidesowej , na przykład zwykłej płaszczyźnie (mówi się wtedy z krzywych powierzchni ) lub zwykłego przestrzeni (mówi się wtedy z lewej krzywych ). $t$

Jeśli w kategoriach współrzędnych kartezjańskich $($ $e$ $1$ $, ...,$ $e$ $n$ $)$ , sparametryzowaną krzywą można zapisać jako ${\ Displaystyle E = \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} \ dwukropek I \ podzbiór \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R} ^ {n}}$

{\ Displaystyle \ mathbf {r} (t) = f_ {1} (t) \, \ mathbf {e} _ {1} + \ cdots + f_ {n} (t) \, \ mathbf {e} _ { nie}}

gdzie są funkcje współrzędnych. ${\ displaystyle f_ {j} \ dwukropek I \ do \ mathbb {R}}$

Na przykład w przestrzeni kartezjańskiej , zapisując $i$ $= (1,0,0)$ , $j$ $= (0,1,0)$ i $k$ $= (0,0,1)$ zwykłe wektory jednostkowe, sparametryzowaną krzywą s 'zapisaną w formularz ${\ mathbb R} ^ {3}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} \, \ dwukropek I \ subset \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R} ^ {3}}$

{\ Displaystyle \ mathbf {r} (t) = f (t) \, \ mathbf {i} + g (t) \, \ mathbf {j} + h (t) \, \ mathbf {k}}

gdzie są funkcje współrzędnych. ${\ Displaystyle f, g, h \, \ dwukropek I \ do \ mathbb {R}}$

Definicja

Funkcja o wartościach wektorowych jest funkcją dowolnego zbioru $X$ w przestrzeni wektorowej $E$ nad polem $K$ (przemiennym).

Niektóre typowe przypadki to:

$X$ jest podzbioru (na przykład przedział od ), i . Ta ramka obejmuje w tym rachunku w ograniczonym wymiarze (parametrycznych tym krzywych przedstawionych powyżej) i dużą liczbę narzędzi fizycznych, takich jak te, które stosuje się w mechanicznego punktu w mechanice płynów , w termodynamice , etc. $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ mathbb {R}$ $K = {\ mathbb R}$ ${\ Displaystyle E = \ mathbb {R} ^ {n}}$
$X$ jest przestrzenią prawdopodobieństwa , a . Funkcje wektorowe od $X$ do $E,$ które są mierzalne, nazywane są wektorami losowymi , uogólniając pojęcie zmiennej losowej . $K = {\ mathbb R}$ ${\ Displaystyle E = \ mathbb {R} ^ {n}}$

Funkcje zmiennej rzeczywistej z wartościami wektorowymi

Rozważenia w tym rozdziale na wektorach $f$ danego przedziału z wartościami . Zwracamy uwagę na powiązane funkcje współrzędnych: ${\ Displaystyle I \ subset \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {n} \ dwukropek I \ do \ mathbb {R}}$

{\ Displaystyle \ mathbf {f} (t) = (fa_ {1} (t), \ ldots, f_ {n} (t)) = fa_ {1} (t) \, \ mathbf {e} _ {1 } + \ cdots + f_ {n} (t) \, \ mathbf {e} _ {n}}

dla wszystkich $t \in I$ , w którym $e j$ są wektory kanonicznej oparciu o . $\ mathbb {R} ^ {n}$

Możemy wydedukować właściwości $f$ z właściwości $f j$ i odwrotnie. Na przykład :

$f ( t )$ dąży do wektora $a = ( a 1 , ..., a n ),$ gdy $t$ dąży do $t 0$ (prawdopodobnie $t 0 = \pm \infty$ ) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy $f j ( t )$ dąży do $a j,$ gdy $t$ ma tendencję do $t 0$ ;
$f$ jest ciągłe nad $I$ wtedy i tylko wtedy, gdy każde $f j$ jest ciągłe ;
$f$ jest różniczkowalne po $I$ wtedy i tylko wtedy, gdy każdy $f j$ jest.

Jeśli $f$ jest różniczkowalne na $I$ , jego pochodna odpowiada pochodnemu składnikowi po składniku:

{\ Displaystyle \ mathbf {f} ^ {\ pierwsza} (t) = (f_ {1} ^ {\ pierwsza} (t), \ ldots, f_ {n} ^ {\ pierwsza} (t)) = f_ { 1} ^ {\ prime} (t) \, \ mathbf {e} _ {1} + \ cdots + f_ {n} ^ {\ prime} (t) \, \ mathbf {e} _ {n}.}

Geometrycznie, $f '( t )$ reprezentuje (jeśli nie jest zerem) wektor styczny do krzywej reprezentatywnej dla $f$ w punkcie $f ( t )$ .

Z tego można wywnioskować pewną liczbę wzorów, które są przydatne w analizie wektorowej . Na przykład, jeśli istnieją dwie różniczkowalne funkcje wektorowe, to: ${\ Displaystyle \ mathbf {f}, \ mathbf {g} \, \ dwukropek I \ do \ mathbb {R} ^ {n}}$

Kanoniczny iloczyn skalarny jest różniczkowalna i mamy ${\ Displaystyle \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {g} \, \ dwukropek I \ do \ mathbb {R}}$

{\ Displaystyle \ lewo (\ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {g} \ prawej) ^ {\ prime} = \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {g} ^ {\ prime} + \ mathbf {f} ^ {\ prime} \ cdot \ mathbf {g}}

W przypadku $n = 3$ The produkt przekrój jest różniczkowalną i mamy ${\ Displaystyle \ mathbf {f} \ wedge \ mathbf {g} \, \ dwukropek I \ do \ mathbb {R} ^ {3}}$

{\ Displaystyle \ lewo (\ mathbf {f} \ klin \ mathbf {g} \ prawej) ^ {\ prime} = \ mathbf {f} \ klin \ mathbf {g} ^ {\ prime} + \ mathbf {f} ^ {\ prime} \ wedge \ mathbf {g}}

Powiązane artykuły