W matematyce The wzajemny bijection (lub wzajemny lub odwrotnością funkcji ) o bijection ƒ jest mapa którym stowarzyszone z każdym elementem przybycia ustawiony unikalny poprzednik przez ƒ. Notuje siebie .
Rozważamy mapę ƒ od R do R określoną przez:
ƒ ( x ) = x 3 .Dla każdego rzeczywistego y istnieje jedna i tylko jedna rzeczywista x taka, że
y = x 3 = ƒ ( x ),zatem dla y = 8 jedynym odpowiednim x jest 2, z drugiej strony dla y = –27 jest to –3. W kategoriach matematycznych, mówimy, że x jest tylko poprzednik z Y i że ƒ jest bijection .
Możemy rozważyć aplikację, która wysyła y do swojego poprzednika, który w tym przypadku nazywa się sześcienny pierwiastek z y : to ten, który nazywamy „odwrotność” z ƒ bijection.
Jeśli spróbujemy wykonać tę samą konstrukcję dla pierwiastka kwadratowego i rozważymy odwzorowanie g od R do R zdefiniowane przez:
g ( x ) = x 2 ,to nie jest takie proste. Rzeczywiście, dla niektórych wartości y istnieją dwie wartości x takie, że g ( x ) = y ; zatem, dla y = 4, możemy wybrać x = 2, ale także x = –2, ponieważ 2 2 = 4, ale także (–2) 2 = 4. Odwrotnie, dla innych wyborów y , żadne x nie jest odpowiednie; zatem dla y = –1, równanie x 2 = –1 nie ma rzeczywistego rozwiązania. W kategoriach matematycznych mówimy, że g nie jest ani iniektywna, ani surjektywna . W tym przykładzie poniższe definicje nie pozwalają mówić o „wzajemnym bijekcji” (ani nawet o „wzajemnym zastosowaniu”) g .
Jeśli ƒ jest bijekcją ze zbioru X na zbiór Y, oznacza to (z definicji bijekcji), że każdy element y z Y ma poprzednik i tylko jeden przez ƒ. Więc możemy zdefiniować aplikację g od Y-X, która to łączy swoją niepowtarzalną historię, to znaczy,
ƒ( g ( y )) = y .Mapa g jest bijekcją, zwaną bijekcją odwrotną ƒ.
Bardziej ogólnie, używając notacji funkcyjnej , jeśli ƒ jest odwzorowaniem ze zbioru X na zbiór Y i jeśli istnieje odwzorowanie g ze zbioru Y na X takie, że:
i ,wtedy ƒ i g są bijekcjami, a g jest odwrotną bijekcją ƒ.
Odwrotna bijekcja ƒ jest często oznaczana jako ƒ −1 , zwracając uwagę na możliwe pomylenie z zapisem ujemnych wykładników , dla którego mamy x −1 = 1 / x .
Podwójna własność:
orazpokazuje, że ƒ jest również odwrotnością bijekcją ƒ −1 , czyli że
Odwrotność związkuOdwrotność związku dwóch bijekcji jest dana wzorem
Możemy zauważyć, że kolejność ƒ i g została odwrócona; aby „cofnąć” ƒ następnie g , musimy najpierw „cofnąć” g potem „cofnąć” ƒ.
InwolucjaNiektóre bijekcje od E do E są ich własnymi odwrotnościami, na przykład mapa odwrotna
lub dowolna symetria ortogonalna w płaszczyźnie.
Mówi się, że takie aplikacje są niewymuszone .
Twierdzenie o wartości pośredniej i jego następstwem, twierdzenie bijection , że każda ściśle monotonicznie ciągły mapę w przedziale I określa bijection z I o ƒ (I) = J a J jest odstęp. Oznacza to, że taka funkcja ma odwrotną mapę zdefiniowaną na J z wartościami w I.
Ta właściwość umożliwia tworzenie nowych funkcji zdefiniowanych jako wzajemne zastosowanie zwykłych funkcji.
Funkcja ƒ ( x ) | Wyjazd i przylot | Wzajemna funkcja | Wyjazd i przylot | Uwagi |
---|---|---|---|---|
niezerowa naturalna liczba całkowita | ||||
ściśle pozytywne prawdziwe | ||||
prawdziwe niezerowe | ||||
Korzystając z tych funkcji, poszukiwanie odwzorowania odwrotnego polega na rozwiązaniu równania ƒ ( x ) = y , o nieznanym x :
Funkcja jest bijekcją z ] –∞, 0] na [3, + ∞ [ i ma odwrotną mapę, którą staramy się określić rozwiązując, dla y w [3, + ∞ [ , równanie x 2 + 3 = y , a nawet x 2 = y - 3. Ponieważ y ≥ 3, równanie to ma dwa rozwiązania, z których tylko jedno należy do przedziału ] –∞, 0] : x = - √ y - 3 . Zatem odwrotność ƒ jest ƒ- 1 zdefiniowana przez ƒ- 1 ( y ) = -√ y -3 .
Badania te mogą okazać się nieskuteczne i wymagać stworzenia nowej funkcji. Zatem funkcja jest bijekcją od [0, + ∞ [ do [0, + ∞ [ ; odpowiadające mu równanie nie ma dającego się wyrazić rozwiązania przy użyciu zwykłych funkcji, które obligują do wyrażenia x = ƒ −1 ( y ), do zdefiniowania nowej funkcji, funkcji W Lamberta .
Gdy dwie funkcje są odwrotne, to ich reprezentacje graficzne w płaszczyźnie wyposażonej w ortonormalny układ współrzędnych są symetryczne względem prostej (D) równania y = x (zwanej też pierwszą dwusieczną).
Rzeczywiście, jeśli M ( x , y ) jest punktem na wykresie ƒ, to y = ƒ ( x ) dlatego x = ƒ −1 ( y ) dlatego M '( y , x ) jest punktem na wykresie ƒ - 1 . Jednak punkt M'( y , x ) jest symetryczny względem punktu M ( x , y ) względem prostej (D), z następujących dwóch powodów:
Środek odcinka [M, M '] leży na prostej (D), a z drugiej strony wektor jest prostopadły do wektora współrzędnych (1, 1), który jest wektorem kierunkowym prostej (D ) ( ich kanoniczny iloczyn skalarny wynosi zero).
Wiemy zatem, że s (M) jest punktem na wykresie ƒ −1 . Analogiczne rozumowanie dowodzi, że jeśli M jest punktem na wykresie o wartości ƒ −1 , to s (M) jest punktem na wykresie o wartości ƒ.
Ogólnie rzecz biorąc, odwrotność funkcji ciągłej nie jest ciągła, ale odwrotność funkcji ciągłej na przedziale I z wartościami w przedziale J jest funkcją ciągłą na J, zgodnie z twierdzeniem bijekcyjnym .
Jeśli jest funkcją ciągłą na przedziale o wartościach w przedziale, a jeśli jest jego odwrotnością, funkcja jest różniczkowalna w dowolnym punkcie, o ile ma niezerową pochodną.
Pochodna w de to wtedy
.Prostym sposobem na zrozumienie, ale nie zademonstrowanie tego zjawiska, jest użycie notacji różniczkowej i zauważenie, że:
Demonstrację możemy znaleźć w artykule
.Nie zawsze da się analitycznie wyznaczyć odwrotnie: umiemy obliczyć , ale nie umiemy obliczyć . Konieczne jest wówczas zastosowanie metody graficznej lub numerycznej .
Metoda graficzna polega na wykreśleniu reprezentatywnej krzywej . Rysujemy daną linię rzędnych , szukamy przecięcia tej prostej z krzywą i rysujemy linię równoległą do osi rzędnych przechodzących przez to przecięcie. Punkt przecięcia tej prostej z osią x daje żądaną wartość . Taka jest zasada dużej liczby liczydeł .
Liczbowo wyszukiwanie jest jak wyszukiwanie pierwiastków funkcji
Jeśli wiemy, że dziedzina poszukiwań - przedział możliwych xs - jest "ograniczona" i że funkcja jest różniczkowalna na tym przedziale, możemy zlinearyzować funkcję, czyli zastąpić ją funkcją afiniczną uzyskaną przez ograniczony rozwój
Mamy więc aproksymację rozwiązania, jeśli :
Jest to podejście algorytmu Newtona, ale z tylko jedną iteracją.
Możliwe jest również użycie bardziej złożonej, ale jednak odwracalnej funkcji aproksymacji.
Transformacje płaszczyzny to zastosowania płaszczyzny jeden-do-jednego; dlatego interesujące jest poznanie odwrotności, przynajmniej dla przekształceń referencyjnych.
Transformacja | Wzajemna transformacja |
---|---|
Tłumaczenie wektorowe | Tłumaczenie wektorowe |
Symetria środka O lub osi (D) | Symetria środka O lub osi (D) |
Jednorodność ze środkiem C i stosunkiem k | Jednorodność z centrum C i stosunkiem 1 / k |
Obrót środka C i kąta θ | Obrót środka C i kąt –θ |
Bezpośrednie podobieństwo do środka C, stosunku k i kąta . | Bezpośrednie podobieństwo środka C, stosunek 1 / k i kąt –θ |
Pośrednie podobieństwo środka C, stosunek k i oś (D) | Pośrednie podobieństwo środka C, stosunek 1/ k i oś (D) |
Oś ciągniona (D) i symetria wektora | Oś ciągniona (D) i symetria wektora |
Oś (D) powinowactwo kierunku (D ') i stosunek k | Oś (D) powinowactwo kierunku (D') i stosunek 1 / k |
W algebrze bijektywny morfizm grup, pierścieni, pól, przestrzeni wektorowych dopuszcza odwzorowanie odwrotne, które jest również morfizmem tego samego typu. Mapa i jej odwrotność nazywane są izomorfizmami .
W przypadku przekształcenia liniowego ƒ z przestrzeni wektorowej E do przestrzeni wektorowej F, zarówno o skończonych wymiarach, jak i wyposażonej w bazy, ƒ jest bijektywna wtedy i tylko wtedy, gdy jej macierz M w stałych podstawach jest odwracalną macierzą kwadratową . Macierz w tych podstawach odwrotności ƒ jest więc macierzą odwrotną M, oznaczoną przez M -1 .
Niech ƒ: X → Y będzie odwzorowaniem.
Odwrotności funkcji ƒ nie należy mylić z odwrotną funkcją ƒ. To zamieszanie jest częste ze względu na powszechną notację ƒ −1 i dlatego, że angielski termin odwrotność często tłumaczy się jako odwrotność we francuskim, podczas gdy angielski przymiotnik odwrotny czasami tłumaczy się jako odwrotność we francuskim.
Twierdzenie o lokalnej inwersji określa warunki lokalnego istnienia odwzorowania odwrotnego dla funkcji ƒ. Jest to uogólnienie prostego twierdzenia o funkcjach zmiennej rzeczywistej.
Jeśli ƒ określa się na przedziale I, jeśli jest elementem I, jeśli ƒ posiada na niezerowy pochodną ciągłą wtedy istnieje przedział I a wokół a , przedział J ƒ ( a ) wokół ƒ ( a ) oraz funkcja ƒ -1 określona na J ƒ ( a ) , która jest wzajemnym zastosowaniem ograniczenia od ƒ do I a . Ta odwrotna mapa jest również różniczkowalna w ƒ ( a ).Twierdzenie o lokalnej inwersji uogólnia tę własność na funkcje zdefiniowane na rzeczywistych przestrzeniach wektorowych o skończonych wymiarach. Warunek „ƒ '(a) nie zero” zostaje następnie zastąpiony przez „ jabian ƒ w a nie jest zerem”. Co więcej, jeśli ƒ jest klasy C k , odwrotność również jest odwzorowana.