W Śulba-sutry są aneksy z Ved opisujące zasady dokonywania Ołtarze dla pewnych wedyjskich rytuałów . W tym celu przedstawiają liczne konstrukcje geometryczne, które ujawniają rozbudowaną wiedzę matematyczną, w szczególności tę, którą dziś nazywamy twierdzeniem Pitagorasa .
Śulba-Sutry są częścią Kalpa-Sutr, podręczników poświęconych rytualnym praktykom wedyjskim, tworzących jedną z sześciu Wedang (dodatków Wed), a dokładniej Śrauta-surr, podręczników, które dotyczą rytuałów ofiarnych.
Śulba-surry są napisane w sanskrycie . Są napisane krótkimi i trudnymi do zinterpretowania zwrotami zwanymi sutrami , co dosłownie oznacza „regułę” lub „instrukcję”. Te sutry są zwykle prozą, ale czasami mogą być wersetami.
Tytuł Śulba-Sutry pochodzi od słowa sutra i nazwy śulba nadanej strunom używanym do wykonywania ołtarzy. Oznacza etymologicznie „zasady liny”.
Historycy identyfikują 8 lub 9 Śulba-Sutr, przypisywanych następującym autorom: Baudhāyana, Mānava, Āpastamba, Kātyāyana, Laugāksi, Varāha, Vādhūla, Hiranyakeśin (i Maitrāyayana). Pierwsze cztery stanowią odrębne traktaty, podczas gdy pozostałe są rozdziałami odpowiednich Śrauta-sutr.
Szacunki dotyczące datowania Śulba-Sutrów są niepewne i opierają się wyłącznie na argumentach językowych (styl i gramatyka). Zostałyby skomponowane między 800 a 200 rokiem pne. Najstarszy mógł pochodzić z okresu od 800 do 500 rpne, a ostatni po 350 rpne.
Śulba-sutry są przeznaczone do użytku przez rodziny braminów odpowiedzialnych od ojca do syna za główne wedyjskie obrzędy ofiarne. Opisują szczegółowo ceglaną konstrukcję ołtarzy i palenisk dla obowiązkowych obrzędów i obrzędów wykonywanych w określonych celach.
Nie jest jednak jasne, w jaki sposób konstrukcje opisane w Śulba-Sutrach zostały wykonane w praktyce.
Różne rytuały wedyjskie opisane w Śulba-Sutrach i różne cele, które mają być osiągnięte przez te obrzędy, są związane z ołtarzami o różnych kształtach (na przykład ołtarz w kształcie sokoła, aby dosięgnąć nieba lub ołtarz w kształcie trójkąt równoramienny do unicestwienia wrogów). Kształty tych ołtarzy muszą być wykonane bardzo precyzyjnie i tylko przy użyciu lin i kołków, co wymaga wiedzy geometrycznej do ich budowy.
Bardzo często trzeba budować ołtarze o różnych kształtach, ale o tej samej powierzchni, co historycy proponują wyjaśnić, mówiąc, że równoważne ołtarze muszą znajdować się na tym samym obszarze lub mówiąc, że ta sama ilość świętej energii był postrzegany jako zdolny do ucieleśnienia na różne sposoby. Wymóg ten wymaga technik transformacji figur geometrycznych zachowujących obszar.
Śulba-Sutry w opisach wykonywania ołtarzy zawierają wiele zasad konstruowania figur geometrycznych. Poniższe akapity przedstawiają niektóre z nich.
Rysowanie linii wschód-zachódWszystkie ołtarze muszą być precyzyjnie zorientowane, pierwszą konstrukcją do osiągnięcia jest linia wschód-zachód. Konstrukcja ta nie jest opisana w pierwszych Śulba-Sutrach, ale jest opisana w konstrukcji Katyayany. Odbywa się to w następujący sposób:
Z linii wschód-zachód można narysować linię północ-południe. Ta konstrukcja, która we współczesnych terminach matematycznych odpowiada narysowaniu prostopadłej dwusiecznej segmentu, jest opisana w Śulba-Sutrze Kātyāyany następująco:
Śulba-Sūtras opisują również metody rysowania kąta prostego. Jeden z nich jest:
Metoda ta jest oparta na odwrotności tak zwanego twierdzenia Pitagorasa i obejmuje tryplet Pitagorasa (5,12,13). Stosowane są podobne metody, ale z innymi współczynnikami.
Budowa placuKilka metod budowy kwadratu za pomocą lin i kołków opisano w Śulba-Sūtras. Oprócz tych opartych na konstrukcji kątów prostych możemy przytoczyć:
Transformacje figur są szczególnie ważne w Śulba-Surtach. W poniższych akapitach przedstawiono kilka przykładów.
Suma i różnica dwóch kwadratówPierwsza transformacja opisana w Śulba-Sutras polega na skonstruowaniu kwadratu o powierzchni równej sumie powierzchni dwóch innych kwadratów. Podana metoda jest następująca:
Druga transformacja polega na skonstruowaniu kwadratu o powierzchni równej różnicy pól dwóch innych kwadratów. Metoda jest tym razem:
Te dwie reguły są oparte na tak zwanym twierdzeniu Pitagorasa.
Przekształcenie prostokąta w kwadratInną transformacją opisaną w Śulba-Surtach jest przekształcenie prostokąta w kwadrat o tej samej powierzchni. Oto proponowana metoda:
Kolejną transformacją wymaganą przy budowie ołtarzy jest przekształcenie kwadratu w okrąg o tej samej powierzchni (cyrkulacja kwadratu). Ponieważ nie można tego zrobić dokładnie za pomocą lin i kołków, Śulba-sutry zawierają zasadę, aby osiągnąć tę konstrukcję w przybliżony sposób:
Odwrotna transformacja, przekształcenie koła w kwadrat o tej samej powierzchni ( podniesienie koła do kwadratu ), również daje początek przybliżonej konstrukcji, chociaż wydaje się, że nie ma ona świętych zastosowań:
Ta reguła ma warianty oparte na tej samej zasadzie, ale z różnymi współczynnikami.
Inne przemianyŚulba-Sūtras opisują również następujące przekształcenia: przekształcenie kwadratu w prostokąt, przekształcenie prostokąta lub kwadratu w trapez i odwrotnie, przekształcenie kwadratu w trójkąt równoramienny i odwrotnie, przekształcenie rombu w prostokąt, połączenie kilku kwadratów tej samej wielkości w kwadrat i podziel kwadrat na kilka kwadratów tej samej wielkości.
W konstrukcjach opisanych przez Śulba-Sūtrasa występuje wiele właściwości matematycznych. Niektóre, jak tak zwane twierdzenie Pitagorasa, są wyrażone wprost, ale większość nie jest i pojawia się tylko w sposób dorozumiany.
„Twierdzenie Pitagore'a”To, co dziś nazywamy twierdzeniem Pitagorasa , a historycy częściej nazywają w tym kontekście kwadrat twierdzenia o przekątnej, zostało wyraźnie sformułowane w Śūlba-Sutras w następujący sposób:
„ Przekątna kwadratu jest dwukrotnie większa od powierzchni. »(Śulba-Sūtras of Baudhāyana - 1,9)
„ Obszary utworzone odpowiednio przez długość i szerokość prostokąta razem dają obszar utworzony przez przekątną. »(Śūlba-Sūtras of Baudhāyana - 1.12)
Zauważ, że w przeciwieństwie do tego, do czego jesteśmy przyzwyczajeni, ten wynik nie jest podawany dla prostokątów, ale dla kwadratów i prostokątów. Jest na przykład używany do budowy kwadratu równego sumie lub różnicy dwóch kwadratów.
Odwrotność tego twierdzenia nie jest sformułowana jawnie, ale jest również używana, w szczególności w konstrukcjach kątów prostych.
Obliczenia powierzchniŚulba-sutry świadczą o znajomości pewnej liczby relacji między obszarami i długościami. W szczególności zawierają one określenia powierzchni kwadratów, trapezów równoramiennych, trójkątów równoramiennych, trójkątów prostokątnych i rombów.
Przestrzenne właściwości figur płaskichWiele właściwości figur płaskich używanych pośrednio można znaleźć również w Śulba-Sutras. Niektóre konstrukcje wykorzystują fakt, że okrąg jest miejscem punktów w tej samej odległości od danego punktu lub że prostopadła dwusieczna prostej jest miejscem punktów w tej samej odległości od jej dwóch końców. Prześwietla również wiele relacji między bokami i przekątnymi, na przykład to, czy przekątne prostokąta przecinają się w ich środku i dzielą go na cztery równe części, czy też przekątne rombu przecinają się w środku. Pod kątem prostym.
Właściwości podobnych figurŚulba-Sūtras stosują dwie ważne właściwości podobnych figur, a mianowicie to, że boki i linie odpowiadające sobie na podobnych figurach są proporcjonalne, a obszary podobnych figur są w tym samym stosunku co kwadraty ich boków.
Niektóre zasady przekształcania liczb obejmują to, co dziś nazwalibyśmy przybliżeniami liczb niewymiernych , na przykład:
Śulba-surry dodatkowo świadczą o świadomości, że niektóre z tych przybliżeń są dokładniejsze niż inne. Nic nie wskazuje na to, w jaki sposób te przybliżenia zostały uzyskane, ani w Śulba-Surtach, ani w otaczających je tekstach.
Przybliżenie 13/15 dla stosunku boku kwadratu do średnicy koła o tej samej powierzchni nie jest zbyt dobre, błąd przekracza 4%, ale wydaje się, że był używany najczęściej, l Drugi przybliżenie jest dokładniejsze, ale z błędem nadal wynoszącym 1,7%, a co ciekawe, pierwsze dwa składniki sumy dałyby lepsze przybliżenie.
Przybliżenie przekątnej kwadratu jest znacznie lepsze: w rzeczywistości mamy √ 2 ≈ 1,4142136 do 10 −7 . Ale nic w Śulba-Sutras nie wskazuje na to, że chodziło o dążenie do precyzji i jest to jedyny znaleziony tam poziom precyzji. Stosuje się tam również przybliżenie 1 + 5/12 .
Na jedynych zeznań tego zbliżenia, oraz na fakt, że co najmniej w Kātyāyana za Śulba-Sutra jest określone, że nie jest dokładna, niektórych historyków nauki , zwłaszcza na koniec 19 wieku i na początku XX th wieku stwierdzili, że irracjonalność na pierwiastek kwadratowy z dwóch był znany autorom Sulba-sutr, ale to wydaje się mało bronił dziś.
Wielu historyków próbowało zasugerować pochodzenie reguł przedstawionych w Śulba-Sutras. W tej części wymieniono kilka, ale żaden nie jest wyraźnie potwierdzony w tekstach.
Przede wszystkim można zauważyć podobieństwa pomiędzy Śulba-Sutras i pierwiastków z Euklidesie : tzw twierdzenie Pitagorasa zamieszczonego w Śulba-Sutras jest przedmiotem twierdzenia I.47 z elementów , problem Konstrukcję dane równa w obszarach się w sercu tych rozprawach i budowa figur geometrycznych liną i udział w Śulba-sutras można porównać do konstrukcji za pomocą linijki i kompas w elementy .
Jednakże wydaje się, że pewne właściwości geometryczne, takie jak twierdzenie Pitagorasa, były znane już w czasie pisania starszych tekstów wedyjskich, takich jak sutry , bramini i sahmici , mimo że nie są one jednoznaczne. Ponieważ teksty te są starsze niż pierwsze greckie teksty matematyczne, wykluczałoby to, że geometria Śulba-Sutras ma swój początek w tych greckich tekstach. Greckie pochodzenie zostało również odrzucone z innego powodu: The Elements to abstrakcyjny traktat daleko odbiegający stylem i metodą od tradycji Śulba-Sutras, a autorom tych ostatnich trudno byłoby wyciągnąć informacje.
Historycy uważali również, że część wiedzy matematycznej o Śulba-Sutrach mogła pochodzić z Mezopotamii , ponieważ tak zwane twierdzenie Pitagorasa jest poświadczone w paleobabilońskich tekstach matematycznych z początku drugiego tysiąclecia pne. Hipoteza ta została odrzucona, ale późniejsze prace zdają się unieważniać zastosowany na jej podstawie argument. Wydaje się zatem, że pytanie pozostaje otwarte.
Wreszcie ostatnia zaproponowana hipoteza jest taka, że Aryjczycy , którzy najechali Indie około 1500 rpne, sprowadzili te geometryczne rytuały z Bliskiego Wschodu. Wiedza sumeryjska mogłaby być wówczas wspólnym źródłem Śulba-Sutr, matematyki paleo-babilońskiej i pitagorejczyków, ale jest to dalekie od prawdy.
Żaden tekst matematyczny w sanskrycie, który do nas dotarł, nie pozwala bezpośrednio powiązać Śulba-Sutr z późniejszymi utworami, tworzonymi od połowy pierwszego tysiąclecia naszej ery. Czasami jednak znajdujemy podobieństwa między matematyką tych dwóch okresów, takie jak obfite użycie tak zwanego twierdzenia Pitagorasa lub użycie tych samych terminów geometrycznych. Ponadto traktaty architektoniczne z późniejszych epok posługują się metodami bardzo podobnymi do tych opisanych w Śulba-Sutras.