Pierwotne równania atmosfery

W atmosferyczne prymitywne równania to uproszczona wersja równań Naviera-Stokesa . Mają one zastosowanie w przypadku cieczy na powierzchni kuli przy założeniu, że składowa pionowa ruchu jest znacznie mniejsza niż składowa pozioma oraz że warstwa płynu jest bardzo cienka w stosunku do promienia kuli. Założenia te ogólnie odpowiadają strumienia na dużą skalę, znany jako synoptycznej skali części naziemnej atmosfery , a te równania są więc stosowane w Meteorologii i oceanography . W numerycznych modeli prognozowania pogody rozwiązania tych równań lub jego wariant, aby symulować zachowanie przyszłego atmosfery.

Z drugiej strony, prymitywne równania zastosowane w oceanografii umożliwiają symulację zachowania mórz. Zredukowana do jednego wymiaru, oni rozwiązywać równania Laplace'a fali, o wartości własnej problemu z których otrzymujemy analitycznie do lokalizacji geograficznej struktury o cyrkulacji oceanicznej .

Definicje

Ogólnie rzecz biorąc, wszystkie formy pierwotnych równań odnoszą się do pięciu zmiennych i ich ewolucji w czasie:

$u$ to prędkość strefowa (kierunek wschód / zachód, styczna do kuli).
$v$ to prędkość południowa (kierunek północ / południe).
w to ruch pionowy (wysokość)
$T$ to temperatura
$\ phi$ jest geopotencjał

Używają również znanych zmiennych:

$fa$ jest Coriolisa czynnik , który jest równy z szybkością obrotów Ziemi ( rad / h) i szerokości. ${\ Displaystyle 2 \ Omega \ sin (\ phi)}$ $\Omega$ ${\ Displaystyle 2 \ pi / 24}$ $\ phi$
$R$ jest idealną stałą gazową
$p$ to ciśnienie
$c_p$ jest ciepłem właściwym przy stałym ciśnieniu
$jot$ jest strumieniem ciepła na jednostkę czasu i masy
$\ Liczba Pi$ jest funkcją Exnera
$\ theta$ to potencjalna temperatura

Różne formy pierwotnych równań

Reprezentacja równań pierwotnych zależy od użytych współrzędnych pionowych. Możemy użyć ciśnienia , logarytmu ciśnienia lub tak zwanych współrzędnych „sigma”, które są stosunkiem ciśnienia na poziomie do nacisku powierzchniowego. Ponadto prędkość , temperaturę i geopotencjał można rozłożyć na ich wartość średnią i wartość perturbacji zgodnie z dekompozycją Reynoldsa .

W ciśnieniu i współrzędnych kartezjańskich

Jeśli użyjemy ciśnienia jako współrzędnych pionowych i (x, y) jako współrzędnych poziomych stycznych do kuli , pomijając krzywiznę Ziemi , otrzymamy prostą reprezentację zachodzących procesów fizycznych:

Ruch powietrza lub mórz w systemie wirującym jest równowagą między różnymi siłami: siłą Coriolisa , gradientem ciśnienia, grawitacją , siłą odśrodkową i tarciem . Zgodnie z drugą zasadą Newtona, dodajemy te siły, aby poznać całkowitą siłę wywieraną na płyn:

{\ Displaystyle {\ Frac {d {\ vec {V}}} {dt}} = - f {\ vec {k}} \ razy {\ vec {V}} - (\ nabla p / \ rho) - { \ vec {g}} ^ {*} \ + {\ frac {{\ vec {V}} ^ {2}} {R_ {c}}} + F_ {r} \ qquad {\ begin {cases} {\ vec {V}} = (u, v, w) \\ F_ {r} = {\ text {Tarcie}} \\ {\ vec {g}} ^ {*} = {\ text {przyspieszenie ziemskie}} \\ R_ {c} = {\ text {Promień krzywizny przepływu}} \ end {przypadki}}}

Geostroficzne równania ruchu (przeciwstawne ciśnienie i siła Coriolisa) uzyskuje się przez zaniedbanie tarcia i siły odśrodkowej. Ponieważ ruch jest poziomy, zero jest pionowe. Więc zmieniając współrzędne w geopotencjale , otrzymujemy:

{\ displaystyle {\ vec {g}} ^ {*}}

\ phi

{\ Displaystyle {\ Frac {du} {dt}} - fv = - {\ Frac {\ częściowe \ phi} {\ częściowe x}}}

{\ Displaystyle {\ Frac {dv} {dt}} + fu = - {\ Frac {\ częściowe \ phi} {\ częściowe y}}}

Równanie równowagi hydrostatycznej , gdzie R jest idealną stałą gazową , dla szczególnego przypadku ruchu pionowego, w którym nie ma przyspieszenia:

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ phi} {\ częściowe p}} = - {\ Frac {RT} {p}}}

Równanie ciągłości, które łączy poziomą zbieżność / rozbieżność masy z ruchem pionowym (brak tworzenia / utraty masy, tylko zmiana poziomu):

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe u} {\ częściowe x}} + {\ Frac {\ częściowe v} {\ częściowe y}} + {\ Frac {\ częściowe w} {\ częściowe p}} = 0}

Równanie energii termodynamicznej z pierwszej zasady termodynamiki

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe T} {\ częściowe t}} + u {\ frac {\ częściowe T} {\ częściowe x}} + v {\ Frac {\ częściowe T} {\ częściowe y}} + w \ left ({\ frac {\ partial T} {\ part p}} + {\ frac {RT} {pc_ {p}}} \ right) = {\ frac {J} {c_ {p}}}}

Dodając równanie składu, które odnosi się do zawartości wody w powietrzu (lub soli w morzu) i jej zmienności w przestrzeni, otrzymujemy zbiór zmiennych opisujących zachowanie atmosfery (morza).

We współrzędnych sigma i stereograficznej projekcji biegunowej

Jeśli podzielimy atmosferę nie na ciśnienie absolutne, ale na poziomy mające taki sam związek z ciśnieniem powierzchniowym, mówimy o współrzędnych sigma. Na przykład, jeśli podzielimy warstwę atmosferyczną na trzy poziomy: powierzchnia, poziom, na którym ciśnienie jest o połowę niższe niż na ziemi i na górze atmosfery (ciśnienie zerowe); mielibyśmy sigma = 1, sigma = 0,5 i sigma = 0.

Z drugiej strony stereograficzną projekcję biegunową można przedstawić za pomocą płaszczyzny umieszczonej na biegunie, na którą rzutowane są kontury kontynentów, tak jakby światło oświetlało kulę ziemską ze środka Ziemi. Rezultatem jest planarne odwzorowanie kartograficzne. Ta projekcja może być traktowana jako widok Ziemi nad biegunem północnym. Ta projekcja jest odpowiednia dla obszarów w pobliżu 60 stopni szerokości geograficznej północnej. Jest ważny do bieguna północnego, ale nie jest zalecany dla regionów w pobliżu równika, ponieważ odkształcenia znacznie zwiększają się, gdy tylko się do niego zbliżamy.

Używając tych dwóch typów współrzędnych, możemy uprościć równania pierwotne w następujący sposób:

Temperatura: ${\ Displaystyle {\ Frac {\ delta T} {\ delta t}} = u \ lewo ({\ Frac {\ delta T} {\ delta x}} \ prawo) + v \ lewo ({\ Frac {\ delta T} {\ delta y}} \ right) + w \ left ({\ frac {\ delta T} {\ delta z}} \ right)}$
Wiatr u: ${\ Displaystyle {\ Frac {\ delta u} {\ delta t}} = \ eta v - {\ Frac {\ delta \ Phi} {\ delta x}} - C_ {p} \ Theta \ left ({\ Frac {\ delta \ pi} {\ delta x}} \ right) -z \ left ({\ frac {\ delta u} {\ delta \ sigma}} \ right) - {\ frac {\ delta {\ frac {\ lewo (u ^ {2} + y \ right)} {2}}} {\ delta y}}}$

Wiatr v: ${\ Displaystyle {\ Frac {\ delta v} {\ delta t}} = \ eta \ lewo ({\ Frac {u} {v}} \ prawo) - {\ Frac {\ delta \ Phi} {\ delta y }} - C_ {p} \ Theta \ left ({\ frac {\ delta \ pi} {\ delta y}} \ right) -z \ left ({\ frac {\ delta v} {\ delta \ sigma}} \ right) - {\ frac {\ delta {\ frac {\ left (u ^ {2} + y \ right)} {2}}} {\ delta y}}}$

Zawartość wody: ${\ Displaystyle {\ Frac {\ delta W} {\ delta t}} = u \ lewo ({\ Frac {\ delta W_ {x}} {\ delta x}} \ prawej) + V \ lewo ({\ Frac {\ delta W_ {y}} {\ delta y}} \ right) + z \ left ({\ frac {\ delta W_ {z}} {\ delta z}} \ right)}$
Grubość docisku: ${\ Displaystyle {\ Frac {\ delta \ lewo ({\ Frac {\ delta p} {\ delta \ sigma}} \ prawej)} {\ delta t}} = u \ lewo [{\ Frac {\ lewo ({ \ frac {\ delta p} {\ delta \ sigma}} \ right) _ {x}} {\ delta x}} \ right] + v \ left [{\ frac {\ left ({\ frac {\ delta p } {\ delta \ sigma}} \ right) _ {y}} {\ delta y}} \ right] + z \ left [{\ frac {\ left ({\ frac {\ delta p} {\ delta \ sigma }} \ right) _ {z}} {\ delta z}} \ right]}$

Lub

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} \ Theta: {\ tekst {temperatura potencjalna}} \\\ Phi: {\ tekst {geopotential}} \\\ sigma: {\ tekst {poziom sigma}} \ koniec {przypadków} }}

W tym układzie współrzędnych kilka zmiennych (takich jak temperatura, temperatura potencjalna i zawartość wody) pozostaje na tym samym poziomie sigma i porusza się wraz z wiatrem na tym poziomie. Ten ostatni jest obliczany na podstawie wysokości geopotencjału, ciepła właściwego, funkcji Exnera ( ) i zmiany poziomu sigma. $\ Liczba Pi$

Rozwiązywanie równań pierwotnych

Analityczne rozwiązanie pierwotnych równań daje fale sinusoidalne , które różnią się w czasie i przestrzeni. Można go zatem podzielić na harmoniczne, których współczynniki są związane z szerokością i wysokością, co daje fale i przypływy atmosferyczne.

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} u, v, \ phi \ end {Bmatrix}} = {\ begin {Bmatrix} {\ hat {u}}, {\ hat {v}}, {\ hat {\ phi }} \ end {Bmatrix}} e ^ {i (s \ lambda + \ sigma t)}}

{\ displaystyle s {\ text {i}} \ sigma}

są odpowiednio strefową liczbą falową i częstotliwością kątową.

Aby uzyskać takie rozwiązanie, należy zlinearyzować równania i ogólnie uprościć je, stosując często nierealistyczne założenia (brak rozpraszania fal, atmosfera izotermiczna itp.). W praktycznych zastosowaniach tych równań, takich jak prognozowanie pogody, stosuje się metody analizy numerycznej polegające na podzieleniu fal na wartości dyskretne w celu uwzględnienia wszystkich zmiennych.

Bibliografia

Beniston, Martin. Od turbulencji do klimatu: numeryczne badania atmosfery z hierarchią modeli. Berlin: Springer, 1998 .
Firth, Robert. Budowa i dokładność siatek modeli meteorologicznych w mezoskali i mikroskali. LSMSA, 2006 .
Pielke, Roger A. Mesoscale Meteorological Modeling. Orlando: Academic Press, Inc., 1984 .
Departament Handlu Stanów Zjednoczonych, National Oceanic and Atmospheric Administration, National Weather Service. National Weather Service Handbook n O 1 -. Telefaks Produkty Waszyngton: Departament Handlu, 1979 .
Thompson Philip. Numeryczna analiza i prognozy pogody. Nowy Jork: The Macmillan Company, 1961 .

Uwagi

(w) Problem prognozy pogody, widziany z punktu widzenia mechaniki i fizyki przez Vilhelma Bjerknesa z witryny NOAA
(w) James R. Holton, Wprowadzenie do meteorologii dynamicznej , Amsterdam, Elsevier Academic Press,2004, 4 th ed. , 526 s. ( ISBN 0-12-354015-1 , czytaj online ) , „1 i 2” , str. 5-22, 26-31
http://www.windatlas.ca/en/faq.php#T1Q5 Stereograficzna projekcja polarna w kanadyjskim atlasie energii wiatrowej
Podręcznik National Weather Service nr 1 - Produkty faksymilowe

Zobacz też

Powiązane artykuły

Link zewnętrzny

Katia Chancibault, „ Numerical weather weather ” [PDF] , Hydro-meteorological risk , floods and floods , na yumpu.com , Laboratory for the Study of Transfers in Hydrology and Environment (LTHE) (dostęp: 19 marca 2021 r. )