Równanie liniowe

Równanie z rzeczywistych lub złożonych współczynników uważa się za liniową , gdy może być przedstawiony w postaci

topór = b

lub równoważnie

topór - b = 0,

gdzie x to niewiadoma , a i b to dwie dane liczby. Jeśli a jest różne od zera, jedynym rozwiązaniem jest liczba

x = b / a .

Mówiąc ogólniej, równanie jest liniowe, gdy ma postać

u ( x ) = b ,

gdzie U jest liniowego odwzorowania między dwie przestrzenie wektora E i F , b jest wektor podane C . Szukamy nieznanego x w E .

Liniowość umożliwia wykonywanie liniowych sum i kombinacji rozwiązań, co jest znane w fizyce jako zasada superpozycji . Przestrzenie mają struktury przestrzeni wektorowych lub afinicznych . Stosowane są metody algebry liniowej, które mogą znacznie pomóc w rozwiązaniu.

Aplikacje

Równania liniowe ze współczynnikami rzeczywistymi są najprostszymi równaniami zarówno do wyrażenia, jak i do rozwiązania. Dlatego interesują się pedagogiką matematyczną , aby uczyć realizacji ogólnej metody rozwiązywania: równania, zastosowania metody rozwiązywania.

Z konkretnego punktu widzenia pewną liczbę zjawisk fizycznych można modelować za pomocą prawa liniowego (lub prawa proporcjonalnego ). Równanie liniowe jest wyrazem problemu, którego zjawisko może być modelowane przez takie prawo.

Wreszcie, bardziej złożone prawa mogą przybrać postać liniową:

albo przez przekształcenie go przez funkcję, albo przez zmianę zmiennej ; na przykład prawo potęgowe y = K x n (gdzie K i n są stałymi) jest przekształcane w prawo liniowe przez zastosowanie logarytmu ln y = ln K + n ln x ;
lub przez linearyzację , na przykład przez ograniczoną ekspansję pierwszego rzędu.

Uchwała ogólna

Niech u będzie liniowym odwzorowaniem E w F , a b wektorem F . Rozważamy równanie liniowe

u ( x ) = b .

Równanie

u ( x ) = 0,

że wiąże się jednorodna równanie ma Rozwiązanie rdzenia z U , który jest podprzestrzeń z E .

Pełne równanie u ( x ) = b

ma rozwiązania tylko wtedy, gdy b należący do obrazu o U ; mówi się wtedy, że jest zgodny (i w inny sposób niekompatybilny);
w tym przypadku przestrzeń rozwiązania jest przestrzenią afiniczną , kierowaną przez jądro. Oznaczając $x 0$ dane rozwiązanie całego równania, przestrzeń rozwiązań ma postać ${\ displaystyle \ mathrm {S} = x_ {0} + \ ker u = \ {x_ {0} + k \ mid k \ in \ ker u \}}$ ,

To, co często zachowuje się w postaci „rozwiązanie kompletnego równania, jest sumą rozwiązania szczególnego i ogólnego rozwiązania skojarzonego równania jednorodnego”.

Relacje obraz-jądro

Rozwiązanie równania sprowadza się zatem do wyznaczenia przestrzeni obrazu i jądra u . Jądro jest często łatwiejsze do obliczenia niż obraz, ale ten ostatni można w wielu przypadkach poznać z następującego twierdzenia.

Izomorfizm twierdzenia o dodatkowym rdzeniu - Niech u będzie liniowym odwzorowaniem E w F . Niech H będzie dodatkiem do jądra u .

Wtedy H jest izomorficzny z obrazem u .

Dokładniej, ograniczenie u do H indukuje izomorfizm H na I u .

Następstwo: relacja rang-jądro - z tymi samymi zapisami, jeśli dodatkowo przestrzeń początkowa E ma wymiar skończony ,

{\ styl wyświetlania \ dim \ ker u = \ dim E- \ dim \ operatorname {im} u}

Ta formuła jest czasami nazywana formułą rang. Albo nawet, bardziej ogólnie, jeśli jądro ma skończony kowymiar , ten współwymiar jest równy wymiarowi obrazu.

Rozwiązania nakładkowe

Jeśli dodać roztwór U ( x ) = B i roztwór U ( x ) = c , to uzyskać rozwiązanie równania u ( x ) = b + c . Bardziej ogólnie można przeprowadzić liniowe kombinacje rozwiązań, które w fizyce często nosi nazwę superpozycji .

Więc jeśli musimy rozwiązać u ( x ) = b dla wektora b ogólnie, widzimy, że po prostu wykonaj rozwiązanie dla wektora b bazy F .

Możemy spróbować rozszerzyć metodę superpozycji na „sumy nieskończone”, czyli szeregi . Ale musimy wtedy uzasadnić, że możemy przejść do granic możliwości.

Przykład zastosowania: interpolacja Lagrange'a

Niech n + 1 różne skalary x 0 ,…, x n i n + 1 skalary y 0 ,…, y n . Poszukiwanie wielomianów P takich, że dla wszystkich i , P ( x i ) = y i nazywa się problemem interpolacji Lagrange'a.

To jest liniowy problem z

{\ displaystyle u: {\ begin {macierz} K [X] & \ longrightarrow & K ^ {n + 1} \\ P & \ longmapsto & (P (x_ {0}), \ kropki, P (x_ {n }) ) \ end {matryca}} \ qquad b = (y_ {0}, \ kropki, y_ {n})}

Jądro u jest zbiorem zerowych wielomianów w x 0 ,…, x n :

{\ displaystyle \ ker u = (X-x_ {0}) \ kropki (X-x_ {n}) K [X] = \ {(X-x_ {0}) \ kropki (X-x_ {n}) Q \ środek Q \ w K [X] \}}

Jako dodatkową dopuszcza przestrzeń $K n [ X ]$ wielomianów stopnia mniejszego lub równego n .

W konsekwencji obraz u ma wymiar n + 1, co dowodzi, że u jest surjektywne i że problem zawsze ma rozwiązanie. Dodatkowo,

{\ displaystyle u_ {1}: {\ begin {macierz} K_ {n} [X] & \ longrightarrow & K ^ {n + 1} \\ P & \ longmapsto & (P (x_ {0}), \ kropki , P (x_ {n})) \ koniec {matryca}}}

jest izomorfizmem przestrzeni wektorowych.

Wyprowadzamy następujące wyniki istnienia i niepowtarzalności:

problem interpolacji Lagrange'a zawsze dopuszcza wielomiany rozwiązania;
tylko jeden z wielomianów rozwiązania ma stopień mniejszy lub równy n ;
pozostałe są z niej wydedukowane przez dodanie wielokrotności wielomianu ( X - x 0 )… ( X - x n ).

Wreszcie, izomorfizm u 1 może być użyty do jawnego uzyskania wielomianu interpolacji najniższego stopnia. Sprowadza się to do ustalenia poprzedzające o b o u 1 . Przez liniowość, wystarczy określić poprzednikach wektorami kanonicznej oparciu o K n + 1 .

Naturalnym zatem jest wzięcie udziału w podstawowym problemie interpolacji : znajdź

{\ displaystyle L_ {j} \ in K_ {n} [X] {\ hbox {takie jak}} \ forall i, \, 0 \ leq i \ leq n, \, L_ {j} (i) = \ delta _ {i, j}}

Wtedy naturalnie otrzymujemy wyrażenie:

{\ displaystyle L_ {j} (X): = \ prod _ {0 \ leq i \ leq n, i \ neq j} {\ frac {X-x_ {i}} {x_ {j} -x_ {i} }}}

i wreszcie, dla kompletnego problemu interpolacji:

{\ displaystyle P = \ suma _ {i = 0} ^ {n} b_ {j} L_ {j}}

W równaniach algebraicznych

Równanie liniowe z jednym nieznanym x jest równaniem postaci ax + b = 0, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi (lub kompleksami). Liczb rzeczywistych a i b są nazywane współczynników jest współczynnikiem przed x i b współczynnikiem stałym. Równanie to jest również nazywane równaniem pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.

Równanie liniowe z kilkoma niewiadomymi x, y, z , ... jest równaniem postaci

ax + przez + cz + dt +… = k

gdzie a , b , c ,…, k są liczbami rzeczywistymi (lub zespołami). Podobnie tutaj, a jest współczynnikiem przed x , b współczynnikiem przed y ,…, k stałym współczynnikiem.

Zbiór rozwiązań równania liniowego o n niewiadomych, z których co najmniej jeden współczynnik inny niż stały nie jest równy zero, jest podprzestrzenią afiniczną o wymiarze n - 1.

Przypadek jednorodnych równań liniowych

Jednorodne równania liniowe to takie, których stały współczynnik wynosi zero.

Własność: jeśli ( x , y , z ,…) i ( x ', y ', z ',…) są dwoma rozwiązaniami jednorodnego równania liniowego to jest tak samo dla ( kx , ky , kz ,…) i ( x + x ', y + y ', z + z ',…).

Zbiór rozwiązań jednorodnego równania liniowego o n niewiadomych, z których co najmniej jeden współczynnik nie jest równy zero, jest podprzestrzenią wektorową o wymiarze n - 1.

Zobacz także: Układ równań liniowych

W równaniach różniczkowych

Porozmawiamy tutaj o funkcjach zdefiniowanych na ℝ lub na ℂ o wartościach w in lub w ℂ.

Pierwszego rzędu liniowy różnicowego równania nieznanej Y jest równanie postaci

ay + przez '= c

gdzie a , b i c są funkcjami numerycznymi.

Liniowe równanie różniczkowe rzędu n i nieznanego y jest równaniem postaci

{\ displaystyle a_ {0} y + a_ {1} y '+ a_ {2} y' ' + \ ldots + a_ {n} r ^ {(n)} = a_ {n + 1}}

gdzie 0 , 1 , ..., n i n + 1 to funkcje liczbowe i Y ( k ) pochodna z rzędu k o r .

Jeśli 0 , 1 , ..., n i n + 1 są stałe, mówimy liniowego równania ze stałymi współczynnikami.

Przypadek równań jednorodnych

Jeśli a n + 1 = 0, liniowe równanie różniczkowe jest uważane za jednorodne.

Na przykład y "+ y = 0 jest jednorodnym liniowym równaniem różniczkowym o stałych współczynnikach.

Jeśli y 1 i y 2 są rozwiązaniami jednorodnego liniowego równania różniczkowego, to jest ono takie samo dla ky 1 i y 1 + y 2 ;

Jeśli znamy konkretne rozwiązanie liniowego równania różniczkowego, rozwiązanie ogólne tworzy suma tego konkretnego rozwiązania z ogólnym rozwiązaniem związanego z nim jednorodnego równania liniowego.

Liniowe sekwencje rekurencyjne

Zobacz również

Metoda fałszywej pozycji