Różnorodność na pokładzie

W topologii , kolektora na pokładzie jest rozszerzeniem koncepcji topologicznej kolektora lub, w zależności od kontekstu, rozmaitość różniczkowa . Kolektor w zwykłym sensie, czasami nazywany „bez obramowania” jest przestrzenią topologiczną modelowane lokalnie (tj homeomorficzny do) na przestrzeni euklidesowej . Rozmaitości na krawędzi przypominają sąsiedztwo każdego punktu w przestrzeni euklidesowej lub w półprzestrzeni. Pojęcie krawędzi odmiany (na krawędzi) jest więc dobrze zdefiniowane, a ta krawędź jest z kolei odmianą (bez krawędzi), która sama może nosić struktury zgodne z tymi z odmiany pierwotnej. Rnie{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}

W topologii różniczkowej pojęcie krawędzi rozmaitości jest przydatne do sformułowania ogólnej wersji twierdzenia Stokesa . Formuła ta może być interpretowana jako dualizm między krawędzią operatora a pochodną zewnętrzną , pod warunkiem dostatecznego rozszerzenia ram badania poprzez wprowadzenie pojęcia prądu .

Relację kobordyzmu między dwiema rozmaitościami definiujemy jako tworzące razem krawędź rozmaitości o większym wymiarze. Relacja ta jest podstawowym narzędziem klasyfikacji odmian.

Definicja

Rozmaitość z brzegiem M wymiaru n jest zdefiniowana jako oddzielna przestrzeń, w której każdy punkt dopuszcza sąsiedztwo homeomorficzne albo do przestrzeni euklidesowej ℝ n albo do półprzestrzeni utworzonej z elementów ℝ n, których ostatnia współrzędna jest dodatnia. Wariant tej definicji polega na zadaniu, aby każdy punkt dopuszczał homeomorficzne sąsiedztwo do otwartego punktu tej półprzestrzeni.

Następnie odróżnić wewnętrzny int (M) w M , zbudowaną z punktów, które przyjmują na homeomorficzną sąsiedztwie albo na euklidesowej ℝ przestrzeni n , która jest rozdzielacz, w normalnym znaczeniu, a granica kolektora, która pokrywa się z pojęciem granica w sensie topologicznym Int (M) . ∂M{\ styl wyświetlania \ częściowy M}

Na przykład kula jest rozmaitością, której krawędzią jest sfera i podobnie torus może być postrzegany jako krawędź bryły torusa.

Krawędź, gdy jest niepusta, sama w sobie jest naturalnie zaopatrzona w topologiczną strukturę rozmaitości o wymiarze n-1 , ale tym razem jest to rozmaitość bez granic: . W tym przypadku możemy przeciwstawić rozmaitości na krawędzi wielościanom lub kompleksom CW, dla których mamy ciąg komórek o coraz mniejszych wymiarach. ∂(∂M)=∅{\ displaystyle \ częściowy (\ częściowy M) = \ pusty zbiór}

Struktury komplementarne

Odmiany mogą być dostarczane na pokładzie z uzupełniającymi strukturami, czasami z określonymi wymaganiami lub konwencjami. Więc

• nadanie orientacji na rozmaitości na krawędzi indukuje orientację krawędzi;
• w przypadku pokładowego kolektora różnicowego zastosowania różniczkowe określone w „tablice na pokładzie” muszą umożliwiać płynne wydłużenie; istnieje zatem rzeczywista przestrzeń styczna również w punktach krawędzi.

Aplikacje

Formuła Stokesa

W twierdzenie Stokesa ma stwierdzeń, które mogą się nieznacznie różnić. Jedna integruje formę różniczkową ω na rozmaitości z krawędzią M i istnieje założenie zwartości, które może odnosić się albo do podparcia jednej, albo do drugiej. Twierdzenie to pokazuje zewnętrzną pochodną d na M oraz formę indukowaną przez ω na granicy. Formalnie chodzi o wzajemny obraz ω przez wstrzyknięcie kanoniczne , ale często przyswajamy go do ω w notacjach. ja*ω{\ styl wyświetlania i ^ {*} \ omega}ja:∂M→M{\ displaystyle i: \ częściowe M \ do M}

Stokes' twierdzenie  -  Niech M będzie kompaktowy, zorientowany n- zorientowane Kolektor różnica od klasy C k . Ω jest ( n- 1) - formą różniczkową na M . Następnie, podając krawędzi ∂ M indukowaną orientację, otrzymujemy:

∫Mreω=∫∂Mω{\ displaystyle \ int _ {M} \! \ mathrm {d} \ omega = \ int _ {\ częściowe M} \! \ omega}

Możemy podać formalne pismo związane z tym twierdzeniem, które nabiera głębszego znaczenia w ramach teorii prądów  : chodzi o formę dualizmu między operatorami „krawędź” i „pochodna zewnętrzna”

<∂M,ω> = <M,reω>.{\ styl wyświetlania <\ częściowy M, \ omega> = <M, \ mathrm {d} \ omega>.}

Relacja Cobordime

Dwie odmiany kompaktowe M i N są uważane cobordant lub bordyzm jeśli ich związek rozłączne może być osiągnięte podobnie jak krawędzi odmiany o zwartej L krawędzi . Kobordyzm zapewnia relację równoważności dla (klas) odmian zwartych, znacznie bardziej zgrubnych niż dyfeomorfizmy lub homeomorfizmy, ale dzięki czemu klasyfikacja odmian jest bardziej dostępna.

Uwagi i referencje

1. (pl) Allen Hatcher , Topologia algebraiczna , CUP ,2001, XII + 544  str. ( ISBN  978-0-521-79540-1 , czytaj online ), s. 252.
2. Na przykład (en) Thierry Aubin , Niektóre nieliniowe problemy w geometrii riemannowskiej , Berlin, Springer-Verlag, coll.  „Monografie Springera z matematyki”,1998( ISBN  3-540-60752-8 ), s.  25 .
3. Hatcher 2001 , s. 253.
4. Patrick Massot, kurs topologii różniczkowej , 2016, s. 30.
5. Aubin 1998 , s.  26 .
6. (w) Robert Stong, Uwagi na temat teorii kobordyzmu , Princeton University Press,1968