Odmiana symplektyczna
W matematyce , A symplektycznych kolektor jest kolektor różnica wyposażony w różnicowy postaci stopnia 2 zamknięty i nie zdegenerowany , zwane formy symplektycznych . Badanie rozmaitości symplektycznych podlega geometrii symplektycznej . Rozmaitości symplektyczne pojawiają się w abstrakcyjnych, analitycznych przeformułowaniach mechaniki klasycznej przy użyciu pojęcia wiązki cotangens rozmaitości, zwłaszcza w reformulacji hamiltonowskiej , gdzie konfiguracje układu tworzą rozmaitość, której wiązka cotangens opisuje przestrzeń fazową układu.
Każda funkcja o wartościach rzeczywistych na rozmaitości symplektycznej definiuje pole wektorów Hamiltona , których krzywe całkowe są rozwiązaniami równań Hamiltona-Jacobiego . Pole wektorowe hamiltonianu opisuje diffeomorfizm hamiltonowski na rozmaitości symplektycznej. Zgodnie z twierdzeniem Liouville'a ten przepływ hamiltonianu zachowuje formę objętości .
Historyczny
Pojęcie różnorodności symplektycznej , a tym samym geometrii symplektycznej , powróci do Jean-Marie Souriau w 1953 r. Według Souriau, forma symplektyczna byłaby historycznie nazywana formą Lagrange'a lub haczykami Lagrange'a . Dokładniej, nawias Poissona dwóch funkcji zdefiniowanych w przestrzeni fazowej można zapisać jako gdzie jest kontrawariantny tensor Poissona . Jego odwrotnym tensorem jest kowariantny tensor Lagrange'a , który odpowiada składnikom haka Lagrange'a (czyli składnikom formy symplektycznej).
{fa1,fa2}=∑ja,jotσjajot(∂jafa1)(∂jotfa2){\ displaystyle \ {f_ {1}, f_ {2} \} = \ suma _ {i, j} \ sigma ^ {ij} (\ częściowe _ {i} f_ {1}) (\ częściowe _ {j} f_ {2})}
σjajot{\ displaystyle \ sigma ^ {ij}}![{\ displaystyle \ sigma ^ {ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18cf4efdcc4d1cfd4c8d62914ece1a1bbc765605)
Definicja
Pozwolić kolektora różnicowego z ograniczonym wymiarze. Symplektycznych postać na to różnica 2-forma , która jest zamknięta (tj ), a nie zdegenerowany (to znaczy, gdy nie jest równa zeru, to nie jest zero). Symplektycznych kolektor jest różnica kolektora obdarzoną symplektyczna postaci .
M{\ displaystyle M}
M{\ displaystyle M}
ω∈Ω2(M){\ Displaystyle \ omega \ in \ Omega ^ {2} (M)}
reω=0{\ Displaystyle \ mathrm {d} \ omega = 0}
v∈TM{\ displaystyle v \ in TM}
ω(v,⋅){\ Displaystyle \ omega (v, \ cdot)}
(M,ω){\ displaystyle (M, \ omega)}
M{\ displaystyle M}
ω{\ displaystyle \ omega}![\omega](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8)
Twierdzenie: Każda rozmaitość symplektyczna ma rzeczywiście równy wymiar.
Demonstracja
Każde włókno styczne jest symplektyczną przestrzenią wektorową . Ale każda symplektyczna przestrzeń wektorowa ma równe wymiary .TxM{\ displaystyle T_ {x} M}
(TxM,ωx){\ displaystyle (T_ {x} M, \ omega _ {x})}
◻{\ Displaystyle \ kwadrat}
Włókno po włóknie, symplektyczna forma symplektycznej rozmaitości wywołuje płaską liniową aplikację :
ω{\ displaystyle \ omega}
(M,ω){\ displaystyle (M, \ omega)}![(M, \ omega)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d343da33a65bc6b0682b8da9ba31e5af966ce9eb)
♭:TxM→Tx∗M;v↦v♭: =ωx(v,⋅){\ displaystyle \ flat: T_ {x} M \ do T_ {x} ^ {*} M; v \ mapsto v ^ {\ flat}: = \ omega _ {x} (v, \ cdot)}![{\ displaystyle \ flat: T_ {x} M \ do T_ {x} ^ {*} M; v \ mapsto v ^ {\ flat}: = \ omega _ {x} (v, \ cdot)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1836d7b6c31de32ee4e60bfb2db62a2b434b4e7c)
Właściwość braku degeneracji form symplektycznych jest równoważna temu, że ta ostatnia liniowa mapa jest iniekcyjna. W wymiarze skończonym, ponieważ włókna stycznej mają taki sam wymiar jak cotangens , płaska mapa jest nie tylko iniekcyjna, ale także suriektywna, co czyni ją muzycznym izomorfizmem (nie) symplektyką, której odwrotnością jest ostry izomorfizm muzyczny symplektyka
TM{\ displaystyle TM}
T∗M{\ Displaystyle T ^ {*} M}
♯:Tx∗M→TxM;α↦α♯{\ Displaystyle \ ostry: T_ {x} ^ {*} M \ do T_ {x} M; \ alfa \ mapsto \ alpha ^ {\ ostry}}![{\ Displaystyle \ ostry: T_ {x} ^ {*} M \ do T_ {x} M; \ alfa \ mapsto \ alpha ^ {\ ostry}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/849727af207abaa39d5119fa5dfff04e0c195b18)
Uwaga: można również zdefiniować pojęcie rozmaitości symplektycznej o nieskończonym wymiarze (np. Przestrzenie połączeń na zorientowanej, zamkniętej gładkiej powierzchni). Musimy jednak odróżnić słabe formy symplektyczne (tj. Te, w których jest iniekcyjna) od silnych (tj. Te, w których jest izomorfizm).
♭{\ displaystyle \ flat}
♭{\ displaystyle \ flat}![\ mieszkanie](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a36cd97c6cdf0ae5b1810aa7a8769a71701c900)
Twierdzenie Darbouxa
Tak jak istnieje standardowa przestrzeń wektorów symplektycznych , istnieje też standardowa rozmaitość symplektyczna , również oznaczona . Niech kanoniczna podstawa . Odpowiada kanonicznej podwójnej podstawie określonej przez relacje
(R2nie,ω){\ Displaystyle (\ mathbb {R} ^ {2n}, \ omega)}
(R2nie,ω){\ Displaystyle (\ mathbb {R} ^ {2n}, \ omega)}
{mija,faja}ja=1,...,nie{\ Displaystyle \ {e_ {i}, f_ {i} \} _ {i = 1, ..., n}}
R2nie{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}
{mija∗,faja∗}ja=1,...,nie{\ Displaystyle \ {e_ {i} ^ {*}, f_ {i} ^ {*} \} _ {i = 1, ..., n}}![{\ Displaystyle \ {e_ {i} ^ {*}, f_ {i} ^ {*} \} _ {i = 1, ..., n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1157ed2e8bd85e01f9fac922df8f0894c4468f1f)
mija∗(mijot)=δja,jotmija∗(fajot)=0faja∗(mijot)=0faja∗(fajot)=δja,jot{\ Displaystyle e_ {i} ^ {*} (e_ {j}) = \ delta _ {ja, j} \ quad e_ {i} ^ {*} (f_ {j}) = 0 \ quad f_ {i} ^ {*} (e_ {j}) = 0 \ quad f_ {i} ^ {*} (f_ {j}) = \ delta _ {i, j}}![{\ Displaystyle e_ {i} ^ {*} (e_ {j}) = \ delta _ {ja, j} \ quad e_ {i} ^ {*} (f_ {j}) = 0 \ quad f_ {i} ^ {*} (e_ {j}) = 0 \ quad f_ {i} ^ {*} (f_ {j}) = \ delta _ {i, j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a3179be3a7aaf93c6a594141222f7430d13f5b)
Ta kanoniczna podwójna baza indukuje równie kanoniczny (globalny) układ współrzędnych zdefiniowany w każdym z nich przez:
{xja,yja}ja=1,...,nie{\ displaystyle \ {x_ {i}, y_ {i} \} _ {i = 1, ..., n}}
x∈R2nie{\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {2n}}![{\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {2n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4678a235b0cbe60a2a73784da11077724f34924e)
xja(x): =mija∗(x){\ Displaystyle x_ {i} (x): = e_ {i} ^ {*} (x)}
yja(x): =faja∗(x){\ Displaystyle y_ {i} (x): = f_ {i} ^ {*} (x)}
Kanoniczna forma symplektyczna na jest następnie zapisywana jawnie i globalnie jako:
ω{\ displaystyle \ omega}
R2nie{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}![\ mathbb {R} ^ {{2n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47460f1a92774729807be11cf62b9178b5771b4a)
ω=∑ja=1nierexja∧reyja{\ Displaystyle \ omega = \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {d} x_ {i} \ klin \ mathrm {d} y_ {i}}![{\ Displaystyle \ omega = \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {d} x_ {i} \ klin \ mathrm {d} y_ {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44fda78492d859a8d9417f18d159bbd615894cf5)
Twierdzenie Darboux wynika, że każdy punkt z symplektyczna kolektora przyznaje otwarte otoczenie z lokalnym układzie współrzędnych jako
x∈M{\ displaystyle x \ in M}
(M,ω){\ displaystyle (M, \ omega)}
U{\ displaystyle U}
{xja,yja}ja=1,...,nie{\ displaystyle \ {x_ {i}, y_ {i} \} _ {i = 1, ..., n}}![{\ displaystyle \ {x_ {i}, y_ {i} \} _ {i = 1, ..., n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8408f18e057bca30eca8f2d3767ef9861e3ec3eb)
ω|U=∑ja=1nierexja∧reyja{\ Displaystyle \ omega | _ {U} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {d} x_ {i} \ wedge \ mathrm {d} y_ {i}}![{\ Displaystyle \ omega | _ {U} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {d} x_ {i} \ wedge \ mathrm {d} y_ {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/128828f192c6eabd4df5173e798a5fde4ab95f6d)
Dwa różne dowody twierdzenia Darboux można znaleźć wi w.
Twierdzenie Darboux sugeruje, że w przeciwieństwie do geometrii Riemanna, w której krzywizna metryki Riemanna jest niezmiennikiem lokalnym, w geometrii symplektycznej nie ma niezmiennika lokalnego .
sol{\ displaystyle g}![sol](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
Włókna Cotangent
Innym typowym przykładem rozmaitości symplektycznej jest wiązka cotangent rozmaitości różniczkowej. Niech będzie różnorodną odmianą. Niech jego pakiet cotangens. Istnieje różniczkowa forma 1 , zwana kanoniczną 1-formą Liouville'a , zdefiniowana w dowolnym punkcie i na dowolnym wektorze przez:
Q{\ displaystyle Q}
π:T∗Q→Q{\ Displaystyle \ pi: T ^ {*} Q \ do Q}
λ{\ displaystyle \ lambda}
T∗Q{\ displaystyle T ^ {*} Q}
p∈T∗Q{\ displaystyle p \ in T ^ {*} Q}
v∈Tp(T∗Q){\ Displaystyle v \ w T_ {p} (T ^ {*} Q)}![{\ Displaystyle v \ w T_ {p} (T ^ {*} Q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29a0f779e42769592c97a3cd97315ace32f6eee3)
λ|p(v): =p(π∗v){\ Displaystyle \ lambda | _ {p} (v): = p (\ pi _ {*} v)}![{\ Displaystyle \ lambda | _ {p} (v): = p (\ pi _ {*} v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0643e882e34f93b4e70939a801e1c4464d55007)
Różnica zewnętrzna jest symplektycznych formy zwanej postaci kanonicznej symplektycznych na . W szczególności, w lokalnym układzie współrzędnych na otwartej z indukuje lokalnym systemie współrzędnych na określonych w dowolnym momencie przez:
ω: =reλ{\ Displaystyle \ omega: = \ mathrm {d} \ lambda}
M: =T∗Q{\ Displaystyle M: = T ^ {*} Q}
{xja}ja=1,...,nie{\ Displaystyle \ {x ^ {i} \} _ {i = 1, ..., n}}
U{\ displaystyle U}
Q{\ displaystyle Q}
{pja,qja}ja=1,...,nie{\ Displaystyle \ {p_ {i}, q ^ {i} \} _ {i = 1, ..., n}}
π-1(U){\ Displaystyle \ pi ^ {- 1} (U)}
p∈π-1(U){\ Displaystyle p \ in \ pi ^ {- 1} (U)}![{\ Displaystyle p \ in \ pi ^ {- 1} (U)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77d53a266dcff74a0d9496756e58a0c752dda9aa)
pja(p): =p(∂∂xja){\ Displaystyle p_ {i} (p): = p \ lewo ({\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe x ^ {i}}} \ prawo)}
qja(p): =xja(π(p)){\ Displaystyle q ^ {i} (p): = x ^ {i} (\ pi (p))}
Można to wtedy wykazać
ω|π-1(U)=∑ja=1nierepja∧reqja{\ Displaystyle \ omega | _ {\ pi ^ {- 1} (U)} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {d} p_ {i} \ klin \ mathrm {d} q ^ {ja}}![{\ Displaystyle \ omega | _ {\ pi ^ {- 1} (U)} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {d} p_ {i} \ klin \ mathrm {d} q ^ {ja}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/109b9eb7da0d8862849c4b185691b26cfd7d1e62)
Tak więc lokalnie kanoniczna forma symplektyczna na wiązce cotangens jest naturalnie zapisywana we współrzędnych Darboux.
Uwagi: W fizyce kolektor odgrywa rolę przestrzeni konfiguracyjnej i jego cotangens że w przestrzeni fazowej .
Q{\ displaystyle Q}
M=T∗Q{\ displaystyle M = T ^ {*} Q}![{\ displaystyle M = T ^ {*} Q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0729f32e066ee87595cd943e53d5ea35ca490cd)
Kształt objętości
Powyżej pokazano, że każda rozmaitość symplektyczna ma równe wymiary . Biorąc pod uwagę iloczyn iloczynu zewnętrznego formy symplektycznej 2 , to rozmaitość otrzymuje wtedy postać różniczkową . Jest więc możliwe, aby wykazać, czy to za pomocą określenia , albo przy zastosowaniu twierdzenia Darboux jest, że ta ostatnia forma -differential jest objętościowo sur- formy . W ten sposób każda odmiana symplektyczna jest zorientowana kanonicznie i otrzymuje miarę kanoniczną zwaną miarą Liouville'a .
(M,ω){\ displaystyle (M, \ omega)}
2nie{\ displaystyle 2n}
nie{\ displaystyle n}
ω{\ displaystyle \ omega}
M{\ displaystyle M}
2nie{\ displaystyle 2n}
ω∧nie{\ Displaystyle \ omega ^ {\ klin n}}
ω{\ displaystyle \ omega}
2nie{\ displaystyle 2n}
ω∧nie{\ Displaystyle \ omega ^ {\ klin n}}
M{\ displaystyle M}
ω∧nie/nie!{\ Displaystyle \ omega ^ {\ klin n} / n!}![{\ Displaystyle \ omega ^ {\ klin n} / n!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0164aff1f8ad7021f5071287a65564956d7d823)
Uwaga: miara Liouville jest używana:
Hamiltonowskie pole wektorowe i przepływ hamiltonianu
Niech będzie odmianą symplektyczną. Niech będzie funkcją gładką (którą nazwiemy hamiltonianem ). Z jest skojarzone hamiltonowskie pole wektorowe zdefiniowane niejawnie przez:
(M,ω){\ displaystyle (M, \ omega)}
H.∈VS∞(M;R){\ displaystyle H \ in {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (M; \ mathbb {R})}
H.{\ displaystyle H}
XH.∈X(M){\ Displaystyle X_ {H} \ w {\ mathfrak {X}} (M)}![{\ Displaystyle X_ {H} \ w {\ mathfrak {X}} (M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/475d13d221837270cd801a9c4824056d01356f17)
ω(XH.,⋅)=-reH.{\ Displaystyle \ omega (X_ {H}, \ cdot) = - \ mathrm {d} H}![{\ Displaystyle \ omega (X_ {H}, \ cdot) = - \ mathrm {d} H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2460f7a32c2017ed549d0e46647231bff56f98d6)
lub znowu, w kategoriach symplektycznej ostrej muzykalności, przez:
XH.: =-(reH.)♯{\ Displaystyle X_ {H}: = - \ lewo (\ mathrm {d} H \ prawo) ^ {\ ostry}}![{\ Displaystyle X_ {H}: = - \ lewo (\ mathrm {d} H \ prawo) ^ {\ ostry}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/109f3714a348daa8ad979f5f0373db37b4e6fd01)
Jeśli jest pełne pole wektorowe, że wiąże się z grupy 1-parametrów Dyfeomorfizm , tj homomorfizmu grup , zwany Hamiltona przepływu od .
XH.{\ displaystyle X_ {H}}
ϕH.t{\ displaystyle \ phi _ {H} ^ {t}}
ϕH.:(R,+)→rejafafa(M){\ Displaystyle \ phi _ {H}: (\ mathbb {R}, +) \ do \ mathrm {różnic} (M)}
H.{\ displaystyle H}![H.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b)
Uwagi:
- można również zdefiniować hamiltonowskie pole wektorowe i hamiltonianowy przepływ nieautonomicznego hamiltonianu (czyli zależny od czasu);H.∈VS∞(M×R){\ Displaystyle H \ w {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (M \ razy \ mathbb {R})}
- według twierdzenia Liouville'a forma objętości jest zachowana przez przepływ hamiltonowski. Ale to nie wszystko ! Przepływ hamiltonowski zachowuje nie tylko formę symplektyczną objętości, ale także formę symplektyczną . Przepływ hamiltonowski zatem działa na zasadzie symplektomorfizmów .ω∧nie{\ Displaystyle \ omega ^ {\ klin n}}
ω{\ displaystyle \ omega}
(M,ω){\ displaystyle (M, \ omega)}![(M, \ omega)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d343da33a65bc6b0682b8da9ba31e5af966ce9eb)
- Powyższa definicja pola wektorowego Hamiltona pozwala zdefiniować nawias Poissona dwóch klasycznych obserwabli jako:fa,sol∈VS∞(M;R){\ displaystyle f, g \ in {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (M; \ mathbb {R})}
![{\ displaystyle f, g \ in {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (M; \ mathbb {R})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa3e5537110a108569d53150af5ed0b80de055cc)
{fa,sol}: =Xfa(sol){\ Displaystyle \ {f, g \}: = X_ {f} (g)}![{\ Displaystyle \ {f, g \}: = X_ {f} (g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7127907498c73236c12a8acd0c5edab2316d3c97)
Następnie otrzymujemy relację między nawiasem Poissona dwóch klasycznych obserwabli a formą symplektyczną:
{fa,sol}=ω(Xfa,Xsol){\ Displaystyle \ {f, g \} = \ omega (X_ {f}, X_ {g})}![{\ Displaystyle \ {f, g \} = \ omega (X_ {f}, X_ {g})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/646d329108793259f528295be9d4a94e1a8d1fe1)
To równanie jest równoważne, aż do podpisania, z faktem, że hak Lagrange'a jest odwrotnym tensorem haka Poissona. Korzystając z zamknięcia formy symplektycznej, bezpośrednie obliczenia pokazują, że nawias Poissona spełnia tożsamość Jacobiego:
0={fa,{sol,godz}}+{godz,{fa,sol}}+{sol,{godz,fa}}{\ Displaystyle 0 = \ {f, \ {g, h \} \} + \ {h, \ {f, g \} \} + \ {g, \ {h, f \} \}}![{\ Displaystyle 0 = \ {f, \ {g, h \} \} + \ {h, \ {f, g \} \} + \ {g, \ {h, f \} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f737c2d60363a519472feaf051512894e665a3b7)
Korzystając z tożsamości Jacobiego nawiasu Poissona, otrzymujemy relację między nawiasem Lie z hamiltonowskich pól wektorowych a formą symplektyczną:
X{fa,sol}=[Xfa,Xsol]{\ Displaystyle X _ {\ {f, g \}} = [X_ {f}, X_ {g}]}![{\ Displaystyle X _ {\ {f, g \}} = [X_ {f}, X_ {g}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f8dd674abd7328e6089155a12187c65f3d79881)
Innymi słowy, nawias Poissona algebry Poissona funkcji gładkich na rozmaitości symplektycznej jest zgodny z nawiasem Lie pól wektorowych.
- We współrzędnych lokalnych Darboux wyraźnie:(pja,qja)ja=1,...,nie{\ Displaystyle (p_ {i}, q ^ {i}) _ {i = 1, ..., n}}
![{\ Displaystyle (p_ {i}, q ^ {i}) _ {i = 1, ..., n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59701499f4ddda2577a15f251a320da726efafa0)
ω=∑jarepja∧reqja{\ Displaystyle \ omega = \ suma _ {i} dp_ {i} \ klin dq ^ {i}}
Xfa=∑ja∂fa∂pja∂∂qja-∂fa∂qja∂∂pja{\ Displaystyle X_ {f} = \ suma _ {i} {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe p_ {i}}} {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe q ^ {i}}} - { \ frac {\ częściowe f} {\ częściowe q_ {i}}} {\ frac {\ części} {\ częściowe p ^ {i}}}}
{fa,sol}=∑ja∂fa∂pja∂sol∂qja-∂fa∂qja∂sol∂pja{\ displaystyle \ {f, g \} = \ suma _ {i} {\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe p_ {i}}} {\ frac {\ częściowe g} {\ częściowe q ^ {i} }} - {\ frac {\ częściowy f} {\ częściowy q_ {i}}} {\ frac {\ częściowy g} {\ częściowy p ^ {i}}}}
Xpja=∂∂qja{\ Displaystyle X_ {p_ {i}} = {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe q ^ {i}}}}
Xqja=-∂∂pja{\ Displaystyle X_ {q ^ {i}} = - {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe p_ {i}}}}
{pja,qjot}=δjajot{\ Displaystyle \ {p_ {i}, q ^ {j} \} = \ delta _ {i} ^ {j}}
Lagrangian i inne podgatunki
Mówi się, że różnicową odmianą podrzędną rozmaitości symplektycznej jest:
NIE{\ displaystyle N}
(M,ω){\ displaystyle (M, \ omega)}![(M, \ omega)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d343da33a65bc6b0682b8da9ba31e5af966ce9eb)
Lagrange'a podrozmaitość symplektycznej rozmaitości jest zawsze o połowę mniejsza od .
NIE{\ displaystyle N}
(M,ω){\ displaystyle (M, \ omega)}
M{\ displaystyle M}![M](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
Przypadki szczególne i uogólnienia
Bibliografia
-
2000, Patrick Iglesias-Zemmour, Symetrie i momenty Science Education Collection. Hermann. p.15
-
1953, J.-M. Souriau, Różniczkowa geometria symplektyczna, zastosowania, Coll. Int. CNRS, str. 53, CNRS, Strasburg.
-
to na uwadze, forma symplektyczna jest wyimaginowanym składnikiem formy Kählera. Pojęcie odmiany Kähler pochodzi z notatki Kählera z 1933 roku, patrz przedmowa do książki Variétés kählériennes autorstwa André Weila, 1958.
-
J.-M. Souriau, 1966, Geometric quantification, Commun. matematyka. Lek Wojsk, 1, strony 374–398. Na str. 381.
-
J.-L. Lagrange, 1811, Mechanika analityczna.
-
J.-M. Souriau, 1966, Geometric quantification, Commun. matematyka. Lek Wojsk, 1, strony 374–398. Na str. 380.
-
MF Atiyah i R. Bott, The Yang-Mills Equations over Riemann Surfaces, 1982
-
A.Kriegl i PW Michor, Wygodne ustawienie analizy globalnej, 1997
-
VI Arnol'd, Matematyczne metody mechaniki klasycznej, 1989
-
D.McDuff i D.Salamon, Wprowadzenie do topologii symplektycznej, 2017
-
lub Huyghensien dla bliskich przyjaciół. Patrz: P. Iglesias, Symétries et Moments, s. 158-159
-
NMJ Woodhouse, 1991, kwantyzacja geometryczna. Clarendon Press, wydanie drugie. p.11
-
NMJ Woodhouse, 1991, kwantyzacja geometryczna. Clarendon Press, wydanie drugie. Strony 9 i 11.
Zobacz też
Linki zewnętrzne
-
(en) McDuff and D. Salamon, Introduction to Symplectic Topology (1998), Oxford Mathematical Monographs , ( ISBN 0-19-850451-9 ) .
-
(en) Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics (1978), Benjamin-Cummings, Londyn , ( ISBN 0-8053-0102-X )
-
(en) Alan Weinstein, „ Rozmaitości symplektyczne i ich Lagrangian submanifolds ”, Adv. Matematyka. 6 (1971), 329–346
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">